高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.3數(shù)學(xué)歸納法課堂探究新人教B版選

1、高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法課堂探究 新人教B版選修2-2探究一 利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，要注意弄清楚等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，例如：等式兩邊的項(xiàng)數(shù)是多少，項(xiàng)的多少與n 的關(guān)系是什么，由n k 到n k 1時(shí)項(xiàng)數(shù)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)等【典型例題1】 用數(shù)學(xué)歸納法11×414×717×101 3n 2 3n 1n 3n 1(n N 證明：(1當(dāng)n 1時(shí)，左邊11×414，右邊13×1114左邊右邊，所以等式成立(2假設(shè)當(dāng)n k (k 1，k N 時(shí)等式成立，即11×414×717

2、5;101 3k 2 3k 1 k 3k 1則當(dāng)n k 1時(shí)，11×414×717×101 3k 2 3k 1 1 3k 1 3k 4k 3k 11 3k 1 3k 4 3k 24k 1 3k 1 3k 4 3k 1 k 1 3k 1 3k 4 k 13k 4k 13 k 1 1所以當(dāng)n k 1時(shí)，等式也成立由(1(2知等式對n N 成立探究二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，在利用了歸納假設(shè)后，要注意根據(jù)欲證目標(biāo)，靈活地運(yùn)用比較法、放縮法等技巧來進(jìn)行證明【典型例題2】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：112131n (其中n N ，n 1 思路分析：按照數(shù)學(xué)

3、歸納法證明數(shù)學(xué)問題的方法與步驟進(jìn)行證明，在由n k 證n k 1成立時(shí)，可利用比較法或放縮法證得結(jié)論證明：(1當(dāng)n 2時(shí)，左邊1122， 11221220，所以左邊右邊，即不等式成立(2假設(shè)當(dāng)n k (k 2，k N 時(shí)，不等式成立，即112131k ，則當(dāng)n k 1時(shí)， 112131k 11 k 1k 1(方法1 因?yàn)?k 1k 1k 1k 2k 1 k 1 k 1k 2k k k 1k k 1 k 2k k0， k 1k 1k 1， 即112131k 1k 1k 1. (方法2 k 1k 1k 2k 1k 1k 21k 1k 1k 1k 1， 所以112131k 1k 1 k 1.即當(dāng)n

4、k 1時(shí)原不等式也成立，由(1(2知原不等式成立點(diǎn)評 本例中在應(yīng)用歸納假設(shè)后，方法1是利用了比較法，方法2是利用了放縮法來進(jìn)行后面的證明探究三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題與正整數(shù)有關(guān)的整除性問題常用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明的關(guān)鍵在于第二步中，根據(jù)歸納假設(shè)，將n k 1時(shí)的式子進(jìn)行增減項(xiàng)、倍數(shù)調(diào)整等變形，使之能與歸納假設(shè)聯(lián)系起來【典型例題3】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：n 3(n 1 3(n 2 3能被9整除(n N 思路分析：在第二步時(shí)注意根據(jù)歸納假設(shè)進(jìn)行拼湊證明：(1當(dāng)n 1時(shí)，13233336能被9整除，所以結(jié)論成立；(2假設(shè)當(dāng)n k (k N ，k 1時(shí)結(jié)論成立，即k 3(k 1 3(k 2 3能被9

5、整除則當(dāng)n k 1時(shí)，(k 1 3(k 2 3(k 3 3k 3(k 1 3(k 2 3(k 3 3k 3k 3(k 1 3(k 2 39k 227k 27k 3(k 1 3(k 2 39(k 23k 3 因?yàn)閗 3(k 1 3(k 2 3能被9整除，9(k 23k 3 也能被9整除，所以(k 1 3(k 2 3(k 3 3也能被9整除，即n k 1時(shí)結(jié)論也成立由(1(2知命題對一切n N 成立探究四 歸納猜想證明1由已知條件首先計(jì)算數(shù)列a n 的前幾項(xiàng)的值，根據(jù)前幾項(xiàng)值的特點(diǎn)，猜想出數(shù)列a n 的通項(xiàng)公式或遞推公式，利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明是求數(shù)列通項(xiàng)的一種常見的方法2在對猜想得到的結(jié)論用數(shù)學(xué)

6、歸納法進(jìn)行證明時(shí)，要注意從歸納的過程中發(fā)現(xiàn)證明的方法【典型例題4】 某數(shù)列的第一項(xiàng)為1，并且對所有的自然數(shù)n 2，數(shù)列的前n 項(xiàng)之積為n 2.(1寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)；(2寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明思路分析：根據(jù)數(shù)列前五項(xiàng)寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號變化的關(guān)系，歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律同時(shí)還要特別注意第一項(xiàng)與其他各項(xiàng)的差異，必要時(shí)可分段表示證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可用數(shù)學(xué)歸納法解：(1已知a 11，由題意，得a 1·a 222，a 222.a 1·a 2·a 332，a 33222同理，可得a 4423，a 5524. 因此該數(shù)列的前五項(xiàng)為

7、1,4，94，1692516. (2觀察這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)，猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)為a n 1，n 1，n 2n 1 2n 2，n N . 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n 2，n N 時(shí)，a n n 2 n 1 2. 當(dāng)n 2時(shí)，a 222 21 22，猜想正確 假設(shè)當(dāng)n k (k 2，k N 時(shí)，猜想正確，即a k k 2k 1 2.a 1·a 2··a k 1(k 1 2，a 1·a 2··a k 1·a k ·a k 1(k 1 2，a k 1 k 1 2 a 1·a 2··a k 1 &

8、#183;a k k 1 2 k 1 2· k 1 2k 2 k 1 2k 2 k 1 2 k 1 12 當(dāng)n k 1時(shí)，猜想也正確根據(jù)和，可知當(dāng)n 2，n N 時(shí)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是a n n 2 n 1 . a n 1，n 1，n 2n 1 ，n 2，n N . 探究五 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：因不運(yùn)用歸納假設(shè)而出錯(cuò)【典型例題5】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：12×414×616×812n 2n 2 n 4 n 1(n N 錯(cuò)證：(1當(dāng)n 1時(shí)，左邊12×414 11 14×2，等式成立 (2假設(shè)當(dāng)n k (k 1，k N 時(shí)等式成立，那么當(dāng)n

9、k 1時(shí)，直接使用裂項(xiàng)相減法求得12×414×616×812k 2k 2 1 2k 2 2k 412 1214 1416 12k 12k 2 12k 212k 4 12 1212k 4k 14 k 1 1，即當(dāng)n k 1時(shí)等式成立 由(1和(2，可知等式對一切n N 都成立錯(cuò)因分析：由n k 到n k 1時(shí)等式的證明沒有用歸納假設(shè)，而是運(yùn)用了數(shù)列中的求和方法證得的，雖然結(jié)論正確，但沒有運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，不符合題目要求正確證法：(1當(dāng)n 1時(shí)，左邊12×418，右邊18，等式成立 (2假設(shè)當(dāng)n k (k 1，k N 時(shí)，12×414×616×812k 2k 2 k 4 k 1成立 那么當(dāng)n k 1時(shí)，12×4