高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變換 33 幾個三角恒等式例題與

1、高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變換 3.3 幾個三角恒等式例題與探究 蘇教版必修4典題精講 例1 (江蘇高考卷，14) cot20°cos10°+sin10°tan70°-2cos40°=_思路分析：本題方法不拘泥,要注意靈活運用公式.解：cot20°cos10°+sin10°tan70°-2cos40°=-2cos40°=-2cos40°=-2cos40°=-2cos40°=2. 綠色通道：在求解三角函數(shù)的問題中,要注意這樣的規(guī)律,即要“三看”： (1)看角

2、,把角盡量向特殊角或可計算角轉(zhuǎn)化，(2)看名稱,把一道等式盡量化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的弦，或把所有的弦轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的切，(3)看式子,看式子是否滿足三角函數(shù)的公式.如果滿足直接使用,如果不滿足轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱,就可以使用. 變式訓(xùn)練 1(福建高考卷，理1) tan15°+cot15°等于( )A.2 B. D.思路解析：原式=4.答案：C變式訓(xùn)練 2計算：coscoscos.思路分析:通過觀察、分析已知式子中各角的特點，可先將cos轉(zhuǎn)化為sin，然后再利用二倍角的正弦公式進行求解.將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角是求值常用的方法.解：原式=coss

3、in=sin=. 例2 若sin=,sin=,且,是銳角，求+的值.思路分析：可先求出+的某種三角函數(shù)值.但應(yīng)當注意對+的角的范圍進行討論.解：,是銳角，cos=cos=.sin(+)=sincos+cossin=.又sin=,sin=，0°30°,0°30°.0°+60°.+=45°. 黑色陷阱：此題在解出sin(+)=時，易誤認為+=45°或+=135°.忽視了sin,sin的取值對,范圍的進一步限制. 變式訓(xùn)練 已知cos(+)=,，求cos(2+)的值.思路分析:先將cos(2+)變形為用已知角或

4、有關(guān)的角來表示.本題若不注意cos(+)=對+的限制，在求sin(+)時將會出現(xiàn)兩種情況.解：cos(2+)=cos2cos-sin2sin=(cos2-sin2).<，+<.又cos(+)>0，<+<.sin(+)=-.cos2=sin(2+)=2sin(+)cos(+)=.sin2=-cos(+2)=1-2cos2(+)=.原式=×(-)=.例3 (2006陜西高考卷，理17) 已知函數(shù)f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(xR).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合.思路分析：對于形如asin+bc

5、os(a,b不同時為0)的式子可先引入輔助角變?yōu)锳sin(+)的形式，再進行三角函數(shù)的化簡,求周期和最值等.解:(1) f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-)=2sin2(x-)-cos2(x-)+1=2sin2(x-)-+1=2sin(2x-)+1,T=.(2)當f(x)取最大值時,sin(2x-)=1,有2x-=2k+,即x=k+(kZ).所求x的集合為xR|x= k+,kZ . 黑色陷阱：忽視題目中角與角的關(guān)系，即(2x-)與(x-)是二倍角的關(guān)系，思維受阻，同時在三角變換上出現(xiàn)計算錯誤. 變式訓(xùn)練 (2005重慶高考卷，文17) f(x)=-asincos(-)的最大值為2，

6、試確定常數(shù)a的值.思路分析:首先分析已知函數(shù)式的特點和角的特點，然后根據(jù)三角關(guān)系式對f(x)進行化簡，再來確定常數(shù).解：f(x)=-asincos(-)=+asincos=cosx+sinx=sin(x+)(其中tan=a).由題意有+=4，解得a=±.問題探究 問題1 對于三角函數(shù)的求值問題可歸納哪些類型? 導(dǎo)思:三角函數(shù)的求值問題可歸納為三種類型：給角求值、給值求值、給值求角.需要注意的是以上無論哪種計算,每一步都要注意所給條件，特別是隱含條件對角的范圍的限制而引起的值的范圍的變化. 探究:(1)給角求值，一般所給的角都是非特殊角，需仔細觀察所給角與特殊角的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特

7、殊角的三角函數(shù)求解.(2)給值求值，實質(zhì)上也是“給角求值”，關(guān)鍵也是把所求角用已知角或特殊角的形式表示. (3)給值求角，實質(zhì)上是“給值求值”，關(guān)鍵是根據(jù)條件求出所求角的某種三角函數(shù)值，再結(jié)合所求角的范圍求出角. 問題2 求解有關(guān)三角函數(shù)的最值問題，總結(jié)起來有哪些方法？ 導(dǎo)思:關(guān)于三角函數(shù)的最值問題一般歸結(jié)為四種類型，需要注意的是無論哪種方法都要注意角的取值范圍引起的某些變量的變化范圍. 探究:關(guān)于三角函數(shù)的最值問題一般歸結(jié)為四種類型：(1)形如y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x的函數(shù),先降冪再化為Acos(x+)+B的形式，利用sin的有界性求最值；(2)形如y=或y=的函數(shù),利用反函數(shù)法解出sin、cos，利用sin、cos的有界性求最值；(3)可化為形如y