高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明本章整合 新人教B版選修2-2

1、高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明本章整合 新人教B版選修2-2知識網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一合情推理與演繹推理1歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納，然后提出猜想的推理，我們統(tǒng)稱為合情推理合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向歸納推理的思維過程大致如下：類比推理的思維過程大致如下：2演繹推理是由一般到特殊的推理，又叫邏輯推理其中三段論推理是演繹推理的主要形式演繹推理具有如下特點：(1)演繹的前提是一般性原理，演繹所得的結(jié)論完全蘊涵于前提之中(2)演繹推理中，前提與結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系，演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具(3)演繹推理是一種收斂性的思維方法，它創(chuàng)造性較

2、少，但卻具有條理清晰、令人佩服的論證作用，有助于科學(xué)的理論化和系統(tǒng)化【例1】 證明下列各等式，并從中歸納出一個一般性的結(jié)論2cos，2cos，2cos.證明：2cos2×，2cos2×2×，2cos2×2×.從以上各式歸納可得一般性的結(jié)論如下：2cos (nN，n1)【例2】 已知橢圓具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關(guān)的定值試對雙曲線1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明解：類似的性質(zhì)為：若M，N是雙曲線1上關(guān)于原點

3、對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關(guān)的定值證明：設(shè)點M，P的坐標(biāo)為(m，n)，(x，y)，則N(m，n)因為點M(m，n)在已知雙曲線上，所以n2m2b2.同理y2x2b2.因為kPM·kPN··(定值)，所以kPM與kPN之積是與點P的位置無關(guān)的定值專題二直接證明與間接證明1直接證明的兩種基本方法是綜合法與分析法綜合法與分析法的區(qū)別與聯(lián)系：分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件綜合法的特點是：從“已知”看“可知”

4、，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是尋找它的必要條件分析法與綜合法各有其特點有些具體的問題，用分析法或綜合法都可以證明出來，人們往往選擇比較簡單的一種在解決問題時，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P.若由Q可以推出P成立，就可以證明結(jié)論成立2反證法是一種間接證明命題的方法，它的理論基礎(chǔ)是互為逆否命題的兩個命題為等價命題，反證法反映了“正難則反”的證明思想用反證法證明問題時要注意以下三點：(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時，必須羅列出各種可能的情況，缺少任何一種可能，反證

5、都是不完全的；(2)反證法必須從否定結(jié)論進行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進行推理，就不是反證法；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的【例3】 設(shè)集合Sx|xR且|x|1，若S中定義運算“*”，使得a*b.證明：(1)如果aS，bS，那么a*bS；(2)對于S中的任何元素a，b，c，都有(a*b)*ca*(b*c)成立證明：(1)由aS，bS，則|a|1，|b|1，a*b，要證a*bS，即證|a*b|1，只需證|ab|1ab|，即只需證(ab)2(1ab)

6、2，即證(1a2)(1b2)0.|a|1，|b|1，a21，b21，(1a2)(1b2)0成立，a*bS.(2)(a*b)*c*c，同理a*(b*c)a*，(a*b)*ca*(b*c)【例4】 有10只猴子共分了56個香蕉，每只猴子至少分到1個香蕉，最多分到10個香蕉，試證：至少有兩只猴子分到同樣多的香蕉證明：假設(shè)10只猴子分到的香蕉都不一樣多每只猴子最少分到一個香蕉，至多分到10個香蕉，只能是分別分到1,2,3，10個香蕉此時10只猴子共分了：1231055(個)，這與共分了56個香蕉相矛盾，故至少有兩只猴子分得同樣多的香蕉專題三歸納猜想證明的方法探索性命題是近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，此類問題未給出問題結(jié)論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結(jié)論它的解題思路是：從所給條件出發(fā)，通過觀察、試驗、歸納、猜想，探索出結(jié)論，然后再對歸納、猜想的結(jié)論進行證明【例5】 若不等式對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論解：取n1，.令，得a26，而aN，所以取a25，下面用數(shù)