高一數(shù)學(xué)人教新課標(biāo)專題3

1、高一數(shù)學(xué)人教（新課標(biāo)）專題三 簡易邏輯一、知識概述邏輯聯(lián)結(jié)詞、四種命題及充分條件與必要條件理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義，理解并掌握四種命題及其相互關(guān)系，掌握充分條件與必要條件，關(guān)鍵是要掌握關(guān)于充要條件的判斷掌握反證法。二、重難點(diǎn)知識的歸納與剖析1“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞不含邏輯聯(lián)結(jié)詞，是簡單命題；由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成，是復(fù)合命題或、且、非是三種最基本的邏輯聯(lián)結(jié)詞課本給出了三種簡單的復(fù)合命題“p且q”，“p或q”和“非p”的真值表2四種命題的形式是原命題：若p則q， 逆命題：若q則p否命題：若則， 逆否命題：若則四種命題之間的相互關(guān)系3一個命題的真假與其它三

2、個命題的真假有如下三條關(guān)系：（1）原命題為真，它的逆命題不一定為真例如，原命題“若a=0，則ab=0”是真命題，它的逆命題“若ab=0，則a=0”是假命題（2）原命題為真，它的否命題不一定為真例如，原命題“若a=0，則ab=0”是真命題，它的否命題“若a0，則ab0”是假命題（3）原命題為真，它的逆否命題一定為真例如，原命題“若a=0，則ab=0”是真命題，它的逆否命題“若ab0，則a0”是真命題4從邏輯推理關(guān)系上看（1）若pq且qp，則p是q的充分而不必要條件；（2）若qp且pq，則p是q的必要而不充分條件；（3）若pq且qp（或pq且pq）則p是q的充要條件；（4）若pq且qp，則p既不是

3、q的充分條件也不是q的必要條件。從集合與集合之間關(guān)系上看（1）若AB，則A是B的充分條件；（2）若AB，則A是B的必要條件；（3）A=B，則A是B的充要條件；（4）若AB且BA，則A既不是B的充分條件，也不是B的必要條件。三、難點(diǎn)知識剖析1對反證法的理解反證法的理論根據(jù)是：原命題為真，則它的逆否命題也為真.在直接證明原命題有困難時，就可轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題成立.用反證法證明命題的一般步驟是第一步：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；第二步：從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；第三步：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.一般地來說，在什么條件下(或問題中)想到用反證法來證

4、明，下面提供幾種情形作為參考.第一，問題共計(jì)有n種情況，現(xiàn)要證明其中一種情況成立時，可想到用反證法證明把其他的n-1種情況都排除，從而確定這種情況成立.如要證明兩條直線相交，可用反證法證明這兩條直線平行不成立，因?yàn)樵谕黄矫鎯?nèi)，兩條直線的位置關(guān)系是平行或相交，平行不成立，那么間接的證明兩條直線相交；第二，命題用否定形式敘述的，如證明2不是方程2x+1=0的根，可用反證法證明，假設(shè)2是方程2x+1=0的根，則2×2+1應(yīng)等于0，而2×2+1=5，產(chǎn)生矛盾，從而確定2不是方程2x+1=0的根成立；第三，命題用“至少”的字樣敘述時，可用反證法證明，如證明ab，bc至少有一個成立，

5、那我們可用反證法證明如下：假設(shè)ab，bc都不成立，即a=b且b=c，從這一條件出發(fā)推得矛盾，故a=b，且b=c不成立，因此，ab，bc至少有一個成立；第四，當(dāng)命題成立非常明顯，而要直接證明，所用的理論不少，且不容易說明白，而它的逆命題易證，如（1）中的舉例，證明兩條直線相交的依據(jù)幾乎沒有，而平行線有很多性質(zhì)，易于推理，因此，用反證法把證明兩條直線相交問題轉(zhuǎn)化到平行線的性質(zhì)若p表示命題，“非p”叫做命題的否定.如果原命題是“若p則q”，那么這個原命題的否定是“p則非q”，即只否定結(jié)論.原命題的否定命題是“若非p，則非q”，即否定條件又否定結(jié)論，例如“菱形的四條邊都相等”的否定為“菱形的四條邊不都

6、相等”；把“菱形的四條邊都相等”作為原命題，則它的否命題是“若四邊形不是菱形，則它的四條邊不都相等.”3三個邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算的關(guān)系。(1) 對“或”的理解可聯(lián)想到集合中“并集”的概念，或中的“或”，它是指“xA”或“xB”中至少有一個是成立。(2) 對“且”的理解，可聯(lián)想到集合中“交集”的概念，或中的“且” 是指“xA”或“xB”這兩個條件都要滿足。(3) 對“非”的理解，可聯(lián)想到集合中的“補(bǔ)集”概念，若命題中對應(yīng)于集合P，則命題非P就應(yīng)對應(yīng)著集合P在全集U中的補(bǔ)集CuP。4用集合觀點(diǎn)來理解“充分條件”、“必要條件”、“充要條件”(1) 若pq，則p是q的充分條件；若pq，則p

7、是q的必要條件。設(shè)A=x|p，B=x|q，如果AB，就是xA則xB，則A是B的充分條件，即pq。如圖：(2) 若A=B則A是B的充要條件，即pq.5結(jié)合轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等用集合觀點(diǎn)來解決簡易邏輯中一些問題。例1、寫出若a、b<0則a<0且a>0的否命題分析：“若p則q”的否命題“若p則q”，它涉及了邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定，對此我們從集合角度來看，a<0且b>0可表示為一個點(diǎn)集A，用圖形表示。如圖，不滿足“a<0且b>0”的點(diǎn)（a,b），在陰影的另一部分，即。它可以看作是軸及以下部分(b0)和軸及右側(cè)部分（a0）部分合起來構(gòu)成，即兩塊區(qū)域的并集， a、b

8、滿足“a0或b0”。因而，否命題為若a、b0則a0或b0。說明：“p且q”的否定為“非p或非q”，用集合的觀點(diǎn)來解釋，并結(jié)合圖形，同學(xué)更容易接受并理解。例2、對實(shí)數(shù)x、y、“|x|+|y|1”是“|x|1，|y|1”的什么條件?分析：從集合的角度判斷，考慮集合A=(x,y)| |x|+|y|1與B=(x,y)| |x|1，|y|1的包含關(guān)系。如圖可以知道，AB，所以 |x|+|y|1是|x|1，|y|1的充分而不必要條件。說明：充分條件、必要條件充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，在判斷時應(yīng)確定條件是什么、結(jié)論是什么；嘗試從條件推導(dǎo)結(jié)論，從結(jié)論推導(dǎo)條件；確定條件是結(jié)論的什么條件。而前面我們已經(jīng)用集合的觀

9、點(diǎn)來概括“充分”、“必要”、“充要”條件，因此解決這類問題時，有時可以借助集合的運(yùn)算及包含關(guān)系來解決。四、例題講解例1、判斷下列命題的真假，并寫出它的逆命題，否命題，逆否命題，同時，也判斷這些命題的真假.若ab，則ac2bc2若ab，則 若一個式子是等式，則它的兩邊都乘以同一個數(shù)，所得結(jié)果仍是等式若圓心到直線的距離等于半徑，則該直線是圓的切線若四邊形的對角互補(bǔ)，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形若在二次函數(shù)yax2+bx+c中，b2-4ac0，則該二次函數(shù)圖像與x軸有公共點(diǎn)分析：要判斷命題的真假性，關(guān)鍵是看條件是否能推出結(jié)論，如果能，則是真命題，如果不能，則是假命題寫出其它的幾個命題時，關(guān)鍵是分清條件

10、和結(jié)論以及條件和結(jié)論的否定解：當(dāng)c0時，ac2bc2，該命題為假命題逆命題：若ac2bc2否命題：若ab，則ac2bc2.為真逆否命題：若ac2bc2該命題為假命題： 當(dāng)a0，b0時>逆命題：若<，則ab.為假(如b0，a0時)否命題：若ab，則.為假(如b0，a0時)逆否命題：若 ，則ab.為假(如a0，b0時)該命題為真，這是等式的性質(zhì)逆命題：若兩個式子都乘以同一個數(shù)，所得結(jié)果相等，則這兩個式子相等.為假，如把x和x2+1都乘以0后相等，但xx2+1該命題為真該命題為真該命題為假，當(dāng)b2-4ac0時，二次方程ax2bxc0沒有實(shí)根.因此二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸無公共點(diǎn)

11、.逆命題：若二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸有公共點(diǎn)，則b24ac否命題：若二次函數(shù)yax2bxc中，b24ac逆否命題：若二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)，則b24ac0，為假.點(diǎn)評：1.寫出一個命題的逆命題，否命題及逆命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫.2.在判斷原命題、逆命題、否命題、逆否命題的真假時，要利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性（即同真同假），逆命題與否命題的等價(jià)性例2、設(shè)集合A、B是全集U的兩個子集，則AB是的（）解：若AB，用文氏圖可知成立。若，比如A=B滿足條件，但AB不成立。所以AB是的充分不必要條件。答案：A例3、已知.若是的必要而不充分條件

12、，求實(shí)數(shù)m的取值范圍分析：可以有兩個思路：（1）先求出和，然后根據(jù)，求得m的取值范圍；（2）若原命題為“若，則”，其逆否命題是“若p則q”，由于它們是等價(jià)的，可以把求是的必要而不充分條件等價(jià)轉(zhuǎn)換為求p是q的充分而不必要條件解法一  可求出由是的必要而不充分條件，知A，它等價(jià)于解得m的取值范圍是解法二  根據(jù)思路二，是的必要而不充分條件，等價(jià)于p是q的充分而不必要條件設(shè)所以，AB，它等價(jià)于同樣解得m的取值范圍是例4、已知下列三個方程：x2+4ax-4a+30，x2+(a-1)x+a20，x2+2ax-2a0至少有一個方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析：從正面入手，本題所要

13、考慮的情況較多，但其反面情況僅有一種情況，故可考慮用反證法的思想去求解.解答：假設(shè)三個方程均無實(shí)數(shù)根，則有(4a)2-4×(-4a+3)0，                  (a-1)2-4a20，                  &#

14、160;     (2a)2-4×(-2a)0.                    由得4a2+4a-30，即由得(a+1)(3a-1)0，即a-1，或由得a(a+2)0，即-2a0.取、的并集得則使三個方程至少有一個方程有實(shí)根的實(shí)數(shù)a的取值范圍應(yīng)為，即評析：本題要求“三個方程中至少有一個方程有實(shí)數(shù)根時的a的取值范圍”，只要求“其反面即三個方程均無實(shí)數(shù)根

15、時a的取值集合M，再求即可”.這種反證法的思想很重要，用起來也很簡潔明了.否則，用直接法求a的取值范圍將是很困難的.簡易邏輯檢測一、選擇題1、命題“若AB=AC，則ABC是等腰三角形”與它的逆命題，否命題、逆否命題這四個命題中，真命題的個數(shù)是（）A4B3 C2D02、若命題p：2m1（mZ）是奇數(shù)，q：2n1（nZ）是偶數(shù)，則下列說法正確的是（）Ap或q為真Bp且q為真 C非p為真D非q為假3、已知h>0，設(shè)命題甲為：兩個實(shí)數(shù)a、b滿足|ab|<2h；命題乙為：兩個實(shí)數(shù)a、b滿足|a1|<h，|b1|<h，那么（）A甲是乙的充分但不必要條件 B甲是乙的必要但不充分條件C

16、甲是乙的充要條件 D甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件4、設(shè)命題p：關(guān)于x的不等式a1x2b1xc1>0與a2x2b2xc2>0的解集相同；命題q：，則命題q是命題p的（）A充要條件B充分但不必要條件C必要但不充分條件D既非充分也非必要條件5、已知A和B是兩個命題，如果A是B的充分但不必要條件，那么A是B的（）A充分但不必要條件 B必要但不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件6條件p:|x|=x,條件q:則p是q的（） 7若，則使|a|+|b|>1成立的充分必要條件是（）A. B. C.D.8命題“對頂角相等”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題是 （）A上述

17、四個命題 B原命題與逆命題D逆命題與否命題 C原命題與逆否命題9若命題p的逆命題是q，命題p的否命題是r，則q是r的（）A逆命題 B否命題C逆否命題 D以上答案都不正確10用反證法證明“則ab能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容是（）Aa、b都能被5整除 Ba、b都不能被5整除Ca、b不都能被5整除 Da不能被5整除二、填空題11、已知條件p：|x1|>2，條件q：5x6>x2，則p是q的_條件.12、已知p：2，q：x22x1m20（m>0），若p是q的充分而不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_13“”是“方程的一個根大于1，另一個根小于1”的_條件三、解答題 14 寫出命題

18、“若a2b2，則ab”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷這四種命題的真假.15、 設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)中的a、b、c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)，求證：f(x)=0無整數(shù)根.16、若甲是乙的充分條件，乙是丙的充要條件，丙是丁的必要條件，丁是乙的必要條件，問甲是丙的什么條件？乙是丁的什么條件？答案及提示：1-10 CABDB ADDCB1、原命題與其逆否命題真.2、p為真，q為假，“p或q”為真.3、 |ab|=|(a1)(b1)|a1|b1|<hh=2h. 命題乙命題甲.4、例如：x23x2>0與x23x2>0的解集不同；又如 x2x1>

19、;0與x2x3>0解集相同.5、6、由|x|=x得，由得或，所以若p成立則q成立，而q成立而p不一定成立，故p是q的充分不必要條件7、對于前3個選項(xiàng)，當(dāng)為等式時，都有可能使|a|+|b|=1，即前3者都不是成立的充分條件，故選D8、原命題顯然正確，否命題為“不是對頂角就不相等”，是真命題9、一個命題的逆命題與其否命題是互為逆否的10、至少有一個的反面是一個也沒有，故選B11、答案：充分但不必要條件提示：p：x<3或x>1，q：2<x<3，則qp，故 12、答案： 0<m3提示： 13、答案：充分但不必要條件提示：設(shè)， 則14、解：原命題：若a2b2，則ab， 逆命題：若ab，則a2b2， 否命題：若a2b2，則ab， 逆否命題：若ab，則a2b2. 因?yàn)?-1)202，但-10，所以原命題為假. 又因?yàn)?2-3，但(-2)2(-3)2，所以逆命題為假. 根據(jù)原命題與逆否命題，逆命題與否命題等價(jià)的性質(zhì)，這四種命題全為假.15、證明：(1)設(shè)方程f(x)=0有一個整數(shù)根k，則ak2+bk=-c 又因f(0)=c，f(1)=a+b+c均為奇數(shù)，所以有a+b為偶