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1、1、 材料力學(xué)的任務(wù): 強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性;應(yīng)力單位面積上的內(nèi)力。平均應(yīng)力FpmAFdF全應(yīng)力 plim pmlimAdAA 0A 0正應(yīng)力 垂直于截面的應(yīng)力分量,用符號(hào)切應(yīng)力 相切于截面的應(yīng)力分量,用符號(hào)應(yīng)力的量綱:( 1.1)( 1.2)表示。表示。國(guó)際單位制:2 、圖1.2Pa( N / m )MPa GPa工程單位制:kgf / m 2、 kgf / cm 2線應(yīng)變 單位長(zhǎng)度上的變形量,無(wú)量綱,其物理意義是構(gòu)件上一點(diǎn)沿某一方向變形量的大小。外力偶矩傳動(dòng)軸所受的外力偶矩通常不是直接給出,而是根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速 n 與傳遞的功率 P 來(lái)計(jì)算。當(dāng)功率 P 單位為千瓦( kW ),轉(zhuǎn)速為 n(r/m
2、in )時(shí),外力偶矩為M e9549 P (N .m)n當(dāng)功率 P 單位為馬力( PS),轉(zhuǎn)速為 n(r/min )時(shí),外力偶矩為M e7024 P (N .m)n拉(壓)桿橫截面上的正應(yīng)力拉壓桿件橫截面上只有正應(yīng)力,且為平均分布,其計(jì)算公式為FN(3-1)A式中 FN 為該橫截面的軸力,A 為橫截面面積。正負(fù)號(hào)規(guī)定拉應(yīng)力為正,壓應(yīng)力為負(fù)。公式( 3-1)的適用條件:( 1)桿端外力的合力作用線與桿軸線重合,即只適于軸向拉(壓)桿件;( 2)適用于離桿件受力區(qū)域稍遠(yuǎn)處的橫截面;( 3)桿件上有孔洞或凹槽時(shí),該處將產(chǎn)生局部應(yīng)力集中現(xiàn)象,橫截面上應(yīng)力分布很不均勻;( 4)截面連續(xù)變化的直桿,桿件兩
3、側(cè)棱邊的夾角200 時(shí)拉壓桿件任意斜截面(a 圖)上的應(yīng)力為平均分布,其計(jì)算公式為全應(yīng)力pcos(3-2)正應(yīng)力cos2( 3-3)切應(yīng)力1(3-4)sin 22式中為橫截面上的應(yīng)力。正負(fù)號(hào)規(guī)定:由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面的外法線,逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗疄樨?fù)。拉應(yīng)力為正,壓應(yīng)力為負(fù)。對(duì)脫離體內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩的為正,反之為負(fù)。兩點(diǎn)結(jié)論:( 1)當(dāng)00 時(shí),即橫截面上,達(dá)到最大值,即max。當(dāng) = 900 時(shí),即縱截面上,= 900=0。( 2)當(dāng)450 時(shí),即與桿軸成450 的斜截面上,達(dá)到最大值,即 ()max21 2 拉(壓)桿的應(yīng)變和胡克定律( 1)變形及應(yīng)變桿件受到軸向拉力時(shí),軸向伸長(zhǎng),
4、橫向縮短;受到軸向壓力時(shí),軸向縮短,橫向伸長(zhǎng)。如圖3-2。圖 3-2軸向變形l l1 l軸向線應(yīng)變lb b1 b橫向變形l橫向線應(yīng)變b伸長(zhǎng)為正,縮短為負(fù)。正負(fù)號(hào)規(guī)定b( 2)胡克定律當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí),應(yīng)力與應(yīng)變成正比。即E ( 3-5)或用軸力及桿件的變形量表示為lFN l(3-6)EA式中 EA 稱為桿件的抗拉(壓)剛度,是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。公式 (3-6)的適用條件:(a) 材料在線彈性范圍內(nèi)工作,即p ;(b) 在計(jì)算 l 時(shí), l 長(zhǎng)度內(nèi)其 N、E、A 均應(yīng)為常量。如桿件上各段不同,則應(yīng)分段計(jì)算,求其代數(shù)和得總變形。即nN ili(3-7)l1 Ei Aii
5、(3) 泊松比當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí),橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對(duì)值。即(3-8)表 1-1低碳鋼拉伸過(guò)程的四個(gè)階段階段圖 1-5特征點(diǎn)說(shuō)明中線段彈性階段oab比例極限p p 為應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最高應(yīng)力屈服階段bc強(qiáng)化階段ce局部形變階段ef彈性極限屈服極限抗拉強(qiáng)度e e 為不產(chǎn)生殘余變形的最高應(yīng)力s s 為應(yīng)力變化不大而變形顯著增加時(shí)的最低應(yīng)力b b 為材料在斷裂前所能承受的最大名義應(yīng)力產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂性能性能指標(biāo)彈性性能彈性模量E表 1-2 主要性能指標(biāo)說(shuō)明當(dāng)p時(shí), E強(qiáng)度性能材料出現(xiàn)顯著的塑性變形屈服極限s抗拉強(qiáng)度材料的最大承載能力b塑性性能l1l材料拉斷時(shí)的塑性變形程度延
6、伸率100%lA A1材料的塑性變形程度截面收縮率100%A強(qiáng)度計(jì)算許用應(yīng)力材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力,由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。塑性材料 =s;脆性材料 =bnsnb其中 ns , nb 稱為安全系數(shù),且大于1。強(qiáng)度條件:構(gòu)件工作時(shí)的最大工作應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用應(yīng)力。對(duì)軸向拉伸(壓縮)桿件N( 3-9)A按式( 1-4)可進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)、確定許克載荷等三類強(qiáng)度計(jì)算。2.1切應(yīng)力互等定理受力構(gòu)件內(nèi)任意一點(diǎn)兩個(gè)相互垂直面上,切應(yīng)力總是成對(duì)產(chǎn)生,它們的大小相等,方向同時(shí)垂直指向或者背離兩截面交線,且與截面上存在正應(yīng)力與否無(wú)關(guān)。2.2 純剪切單元體各側(cè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力的受力狀
7、態(tài),稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。2.3 切應(yīng)變切應(yīng)力作用下,單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應(yīng)變或切應(yīng)變,用表示。2.4 剪切胡克定律在材料的比例極限范圍內(nèi),切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比,即G(3-10)式中 G 為材料的切變模量,為材料的又一彈性常數(shù)(另兩個(gè)彈性常數(shù)為彈性模量E 及泊松比) ,其數(shù)值由實(shí)驗(yàn)決定。對(duì)各向同性材料 ,E、G 有下列關(guān)系GE(3-11)2(1)2.5.2 切應(yīng)力計(jì)算公式橫截面上某一點(diǎn)切應(yīng)力大小為Tp(3-12)I p式中 I p 為該截面對(duì)圓心的極慣性矩,為欲求的點(diǎn)至圓心的距離。圓截面周邊上的切應(yīng)力為Tmax(3-13)Wt式中 WtI pR 為圓截面半徑。稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù),R
8、2.5.3 切應(yīng)力公式討論(1)切應(yīng)力公式(3-12)和式( 3-13 )適用于材料在線彈性范圍內(nèi)、小變形時(shí)的等圓截面直桿;對(duì)小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應(yīng)用,其誤差在工程允許范圍內(nèi)。(2)極慣性矩 I p 和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wt 是截面幾何特征量,計(jì)算公式見(jiàn)表3-3。在面積不變情況下,材料離散程度高,其值愈大;反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力愈強(qiáng)。因此,設(shè)計(jì)空心軸比實(shí)心軸更為合理。表 3-3I pd 4實(shí)心圓32(外徑為d)d 3Wt16I pD 4(1a4 )空心圓32d(外徑為 D,a內(nèi)徑為 d)4DD (1 a4 )Wt162.5.4 強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí),全軸中最大切應(yīng)力不得超過(guò)
9、材料允許極限值,否則將發(fā)生破壞。因此,強(qiáng)度條件為maxTWtmax(3-14) 對(duì)等圓截面直桿maxTmax( 3-15)式中為材料的許用切應(yīng)力。Wt3.1.1 中性層的曲率與彎矩的關(guān)系1M(3-16)EI z式中,是變形后梁軸線的曲率半徑;E 是材料的彈性模量;I E 是橫截面對(duì)中性軸Z 軸的慣性矩。3.1.2 橫截面上各點(diǎn)彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式My(3-17)I Z式中, M 是橫截面上的彎矩;I Z 的意義同上; y 是欲求正應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離最大正應(yīng)力出現(xiàn)在距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)處maxM max ? ymaxM max( 3-18)I zWz式中, WzI z稱為抗彎截面系數(shù)。對(duì)于h b 的
10、矩形截面, Wz1 bh 2 ;對(duì)于直徑為D 的圓形截面, WzD3 ;對(duì)于ymax632內(nèi)外徑之比為 ad 的環(huán)形截面, WzD3(1a4 ) 。D32若中性軸是橫截面的對(duì)稱軸, 則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值相等, 若不是對(duì)稱軸, 則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值不相等。 3.2 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大工作應(yīng)力不得超過(guò)材料的容許應(yīng)力,其表達(dá)式為maxM max( 3-19)Wz對(duì)于由拉、壓強(qiáng)度不等的材料制成的上下不對(duì)稱截面梁(如T 字形截面、上下不等邊的工字形截面等),其強(qiáng)度條件應(yīng)表達(dá)為l maxM maxy1tI zymaxM maxy2cI z( 3-20a)( 3-20b)式中, t
11、,c 分別是材料的容許拉應(yīng)力和容許壓應(yīng)力;y1 , y2 分別是最大拉應(yīng)力點(diǎn)和最大壓應(yīng)力點(diǎn)距中性軸的距離。3.3 梁的切應(yīng)力QSz( 3-21)I zb式中, Q 是橫截面上的剪力;Sz 是距中性軸為y 的橫線與外邊界所圍面積對(duì)中性軸的靜矩;I z 是整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩; b 是距中性軸為y 處的橫截面寬度。3.3.1 矩形截面梁切應(yīng)力方向與剪力平行,大小沿截面寬度不變,沿高度呈拋物線分布。切應(yīng)力計(jì)算公式6Qh2y2( 3-22)bh34最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸各點(diǎn)處,3 Qmax。2 A3.3.2 工字形截面梁切應(yīng)力主要發(fā)生在腹板部分,其合力占總剪力的9597% ,因此截面上的剪力主要
12、由腹板部分來(lái)承擔(dān)。切應(yīng)力沿腹板高度的分布亦為二次曲線。計(jì)算公式為QBH2h2bh22I zb82y(3-23)4近似計(jì)算腹板上的最大切應(yīng)力:F sd 為腹板寬度h1 為上下兩翼緣內(nèi)側(cè)距maxdh13.3.3 圓形截面梁橫截面上同一高度各點(diǎn)的切應(yīng)力匯交于一點(diǎn),其豎直分量沿截面寬度相等,沿高度呈拋物線變化。最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上,其大小為圓環(huán)形截面上的切應(yīng)力分布與圓截面類似。 3.4 切應(yīng)力強(qiáng)度條件d 22dQSzQ34 Q8maxI zbd 4( 3-25)d3 A64梁的最大工作切應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力,即maxQmax Szmax(3-26)I zb式中, Qmax 是梁上的最大切應(yīng)
13、力值; Szmax 是中性軸一側(cè)面積對(duì)中性軸的靜矩;I z 是橫截面對(duì)中性軸的慣性矩;b 是 max處截面的寬度。對(duì)于等寬度截面,max 發(fā)生在中性軸上,對(duì)于寬度變化的截面,max 不一定發(fā)生在中性軸上。4.2 剪切的實(shí)用計(jì)算名義切應(yīng)力:假設(shè)切應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的,則名義切應(yīng)力為Q( 3-27)A剪切強(qiáng)度條件:剪切面上的工作切應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力,即Q( 3-28)A5.2 擠壓的實(shí)用計(jì)算名義擠壓應(yīng)力假設(shè)擠壓應(yīng)力在名義擠壓面上是均勻分布的,則bsPbsbs( 3-29)Abs式中, Abs 表示有效擠壓面積,即擠壓面面積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。當(dāng)擠壓面為平面時(shí)為接觸面面積
14、,當(dāng)擠壓面為曲面時(shí)為設(shè)計(jì)承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的投影面積。擠壓強(qiáng)度條件擠壓面上的工作擠壓應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用擠壓應(yīng)力P(3-30)bsbsAbs1, 變形計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí),任意兩個(gè)橫截面繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。相距為l 的兩個(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為lTdx(rad)(4.4)0 GI P若等截面圓軸兩截面之間的扭矩為常數(shù),則上式化為Tl(rad)(4.5)GI P圖 4.2式中 GI P 稱為圓軸的抗扭剛度。顯然,的正負(fù)號(hào)與扭矩正負(fù)號(hào)相同。公式( 4.4)的適用條件:( 1)材料在線彈性范圍內(nèi)的等截面圓軸,即P ;( 2)在長(zhǎng)度 l 內(nèi), T G、 I P均為常量。當(dāng)以上參數(shù)沿軸
15、線分段變化時(shí),則應(yīng)分段計(jì)算扭轉(zhuǎn)角,然后求代數(shù)和得總扭、轉(zhuǎn)角。即nTi l i(rad)(4.6)Gi I Pii1當(dāng) T、 I P 沿軸線連續(xù)變化時(shí),用式 (4.4)計(jì)算。2, 剛度條件扭轉(zhuǎn)的剛度條件圓軸最大的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角'max 不得超過(guò)許可的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角' , 即'maxTmax'(rad/m)(4.7)GI P式'maxTmax180'(/ m)()GI P4.82,撓曲線的近似微分方程及其積分在分析純彎曲梁的正應(yīng)力時(shí),得到彎矩與曲率的關(guān)系1MEI1M x對(duì)于跨度遠(yuǎn)大于截面高度的梁,略去剪力對(duì)彎曲變形的影響,由上式可得xEI利用平面曲線
16、的曲率公式,并忽略高階微量,得撓曲線的近似微分方程 ,即 ' 'M x(4.9)EI將上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程為'M x dx C(4.10)EI再積分得撓曲線方程M x dx dxCxD(4.11)EI式中, C,D 為積分常數(shù),它們可由梁的邊界條件確定。當(dāng)梁分為若干段積分時(shí),積分常數(shù)的確定除需利用邊界條件外,還需要利用連續(xù)條件。3,梁的剛度條件限制梁的最大撓度與最大轉(zhuǎn)角不超過(guò)規(guī)定的許可數(shù)值,就得到梁的剛度條件, 即max,max( 4.12)3,軸向拉伸或壓縮桿件的應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi),由功能原理得V W1 F l2當(dāng)桿件的橫截面面積 A、軸力 FN 為常量時(shí),由胡克
17、定律FN l ,可得V2l()FNl2EA4.14EA桿單位體積內(nèi)的應(yīng)變能稱為 應(yīng)變能密度 ,用 V 表示。線彈性范圍內(nèi),得V1(4.15)24,圓截面直桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi),由功能原 VrW1 M e2將 M eT 與Tl 代入上式得VrT 2l(4.16)GI P2GI P圖 4.5根據(jù)微體內(nèi)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于微體上的內(nèi)力功,得應(yīng)變能的密度Vr :Vr1r(4.17)25,梁的彎曲應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi),純彎曲時(shí),由功能原理得V W1 M e2將 M eM 與Ml 代入上式得VM 2l(4.18)EI2EI圖 4.6橫力彎曲時(shí),梁橫截面上的彎矩沿軸線變化,此時(shí),對(duì)于微段梁應(yīng)用式(4.
18、18),積分得全梁的彎曲應(yīng)變能V ,即VM2 x dx(4.19)2EIl2截面幾何性質(zhì)的定義式列表于下:靜 矩慣性矩慣性半徑慣性積極慣性矩SyzdAI yz2 dAI yI yzyzdA I pp 2dAAAi yAAASzA ydAI zA y 2dAi zI zA3慣性矩的平行移軸公式I yI yCa 2 AI zI zCb2 A靜矩:平面圖形面積對(duì)某坐標(biāo)軸的一次矩,如圖-1 所示。定義式:SyzdA , SzydA( -1)AA量綱為長(zhǎng)度的三次方。由于均質(zhì)薄板的重心與平面圖形的形心有相同的坐標(biāo)zC 和 yC 。則AzCz dASyAzdASy由此可得薄板重心的坐標(biāo)zC 為zCAAASz
19、同理有yCSyA所以形心坐標(biāo)zCSz( -2)A, yC或 SyAA zC , SzA yC由式( -2)得知,若某坐標(biāo)軸通過(guò)形心軸, 則圖形對(duì)該軸的靜矩等于零,即 yC0 ,Sz0 ;zC0,則 Sy 0;反之,若圖形對(duì)某一軸的靜矩等于零,則該軸必然通過(guò)圖形的形心。靜矩與所選坐標(biāo)軸有關(guān),其值可能為正,負(fù)或零。如一個(gè)平面圖形是由幾個(gè)簡(jiǎn)單平面圖形組成,稱為組合平面圖形。設(shè)第I 塊分圖形的面積為Ai,形心坐標(biāo)為nny Ci , zCi,則其靜矩和形心坐標(biāo)分別為SzAi yCi, SyiAi zCi( -3)i11nnSzAi yCiSyAi zciyCi 1, zCi 1( -4)AnAnAiAii 1i 1§-2慣性矩和慣性半徑慣性矩: 平面圖形對(duì)某坐標(biāo)軸的二次矩,如圖-4 所示。I yz2dA , I zy 2dA( -5)AA量綱為長(zhǎng)度的四次方,恒為正。相應(yīng)定義i yI y, i zI z( -6)AA為圖形對(duì) y 軸和對(duì)z 軸的慣性半徑。nn組合圖形的慣性矩。設(shè)I yi , I zi 為分圖形的慣性矩,則總圖形對(duì)同一軸慣性矩為I yI yi , I zI zi( -7)i 1i 1若以表示微面積 dA 到坐標(biāo)原點(diǎn) O 的距離 ,則定義圖形對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O 的極慣性矩I pA2dA( -8) 因?yàn)?y2z2所以極慣性矩與(軸)慣性矩有
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