彎曲應(yīng)力和強(qiáng)度

1、第六章 彎曲應(yīng)力和強(qiáng)度一、 授課學(xué)時(shí):6學(xué)時(shí)二、重點(diǎn)與難點(diǎn):重點(diǎn):彎曲正應(yīng)力、剪應(yīng)力分布,彎曲強(qiáng)度條件應(yīng)用難點(diǎn):彎曲正應(yīng)力、剪應(yīng)力推導(dǎo)過(guò)程和彎曲中心的概念重點(diǎn)處理:從彎曲變形的特點(diǎn)出發(fā)，讓學(xué)生了解兩個(gè)應(yīng)力的分布規(guī)律，并對(duì)兩個(gè)應(yīng)力的分布進(jìn)行對(duì)比，加強(qiáng)學(xué)生理解和記憶。分析彎曲正應(yīng)力、剪應(yīng)力公式中各項(xiàng)的意義,計(jì)算方法,結(jié)合T 型截面梁鑄鐵梁.這一典型問(wèn)題分析,并在作業(yè)中進(jìn)一步強(qiáng)化訓(xùn)練.難點(diǎn)處理: 結(jié)合梁彎曲變形的特點(diǎn)，推導(dǎo)兩個(gè)應(yīng)力公式，在推導(dǎo)中，充分利用前面的知識(shí)，發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，讓學(xué)生自己選擇解決方法，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)內(nèi)容的掌握。對(duì)照,的推導(dǎo)消化難點(diǎn),以學(xué)生理解這一推導(dǎo)思路.結(jié)合純彎曲的條件和兩個(gè)方向

2、平面彎曲理解彎曲中心.三、主要內(nèi)容:（一） 彎曲正應(yīng)力1、 純彎曲時(shí)的正應(yīng)力圖所示簡(jiǎn)支梁，載荷作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁的彎曲為對(duì)稱彎曲，其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖所示。從梁的剪力圖）和彎矩圖可以看到，和梁段的各橫截面上，剪力和彎矩同時(shí)存在，這種彎曲稱為橫力彎曲；而在梁段內(nèi)，橫截面上則只有彎矩而沒有剪力，這種彎曲稱為純彎曲。橫力彎曲時(shí)，?？梢灾溃旱母鹘孛嫔蠌澗厥遣煌?；純彎曲時(shí)，由于，可知梁的各截面上彎矩為一不變的常數(shù)值，即=常量。因此，純彎曲時(shí)，梁的橫截面上只有彎曲正應(yīng)力，沒有彎曲剪應(yīng)力。下面，首先分析梁在純彎曲時(shí)橫截面上的彎曲正應(yīng)力。純彎曲時(shí)，根據(jù)梁的靜力關(guān)系知道，橫截面上的正應(yīng)力組成的內(nèi)力系的合

3、力矩即為彎矩。但是，只利用靜力關(guān)系是不可能找到應(yīng)力分布規(guī)律的，因此，所研究的問(wèn)題是超靜定的。和拉（壓）桿的正應(yīng)力、圓軸扭轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力的分析一樣，必須綜合考慮梁的變形關(guān)系、物理關(guān)系和靜力關(guān)系進(jìn)行分析。（1） 變形幾何關(guān)系 為了分析梁的關(guān)系，變形前先在梁的側(cè)面畫上與軸線平行的縱線以及與梁軸垂直的橫線，分別表示變形前梁的縱向纖維和梁的橫截面（圖6-2a）。在材料試驗(yàn)機(jī)上作純彎曲實(shí)驗(yàn)，可以觀察以下現(xiàn)象：（1）梁上的縱線（包括軸線）都彎曲成圓弧曲線，靠近梁凹側(cè)一邊的縱線縮短，而靠近凸側(cè)一邊的縱線伸長(zhǎng)。 （2）梁上的橫線仍為直線，各橫線間發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，不再相互平行，但仍與梁彎曲后的軸線垂直。（3）在梁的縱線

4、伸長(zhǎng)區(qū)，梁的寬度減??；而在梁的縱線縮短區(qū)，梁的寬度增大根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)觀察到的純彎曲的變形現(xiàn)象，經(jīng)過(guò)判斷、綜合和推理，可作出如下假設(shè)： （1）梁的橫截面在純彎曲變形后仍保持為平面，并垂直于梁彎曲后的軸線。橫截面只是繞其面內(nèi)的某一軸線剛性地轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。這就是彎曲變形的平面假設(shè)。（2）梁的縱向纖維間無(wú)擠壓，只是發(fā)生了簡(jiǎn)單的軸向拉伸或壓縮。為進(jìn)一步研究與正應(yīng)力有關(guān)的梁的縱向纖維的變形規(guī)律，如圖所示，用橫截面1-1和2-2從梁中截取出長(zhǎng)為的一個(gè)微段，橫截面選用如圖所示的坐標(biāo)系。圖中，軸為橫截面的對(duì)稱軸，軸為中性軸。從圖中可以看到，橫截面1-1和2-2間相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，中性層曲率半徑為，距中性層為處的任

5、一縱線（縱向纖維）為圓弧曲線。因此，縱線的伸長(zhǎng)為 而其線應(yīng)變?yōu)?由于中性層等遠(yuǎn)的各縱向纖維變形相同，所以，公式線應(yīng)變即為橫截面上坐標(biāo)為的所有各點(diǎn)處的縱向纖維的線應(yīng)變。（2）物理關(guān)系根據(jù)梁的縱向纖維間無(wú)擠壓，而只是發(fā)生簡(jiǎn)單拉伸或壓縮的假設(shè)。當(dāng)橫截面上的正應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，可由虎克定律得到橫截面上坐標(biāo)為處各點(diǎn)的正應(yīng)力為 該式表明，橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力與點(diǎn)的坐標(biāo)y成正比，由于截面上為常數(shù)，說(shuō)明彎曲正應(yīng)力沿截面高度按線性規(guī)律分布，如圖所示。中性軸上各點(diǎn)的正應(yīng)力均為零，中性軸上部橫截面的各點(diǎn)均為壓應(yīng)力，而下部各點(diǎn)則均為拉應(yīng)力。（3）靜力關(guān)系圖所示梁的橫截面的窨直角坐標(biāo)系中，軸為截而后縱向?qū)ΨQ軸

6、，Z軸為截面的中性軸，為通過(guò)截面上點(diǎn)與截面垂直的軸。橫截面上坐標(biāo)為的點(diǎn)的正應(yīng)力為，截面上各點(diǎn)的微內(nèi)力組成與橫截面垂直的空間平行力系（圖中只畫出了該平行力系中的一個(gè)微內(nèi)力，為橫截面的形心）。這個(gè)內(nèi)力系只可能簡(jiǎn)化為三個(gè)內(nèi)力分量，即平行于軸的軸力，對(duì)軸的力偶矩和對(duì)軸的力偶矩，分別為 梁純彎曲時(shí)，橫截布沒有軸力，有 將物理關(guān)系代入上式可得：由于彎曲時(shí)，必然有 此式表明，軸，即橫截面的中性軸一定是形心軸，點(diǎn)即為截面的形心（點(diǎn)和點(diǎn)重合）。軸即為梁的軸線。從而，完全確定了純彎曲時(shí)中性軸在橫截面上的位置。同時(shí)，由于對(duì)稱彎曲時(shí)梁的橫截面上彎矩，可得 由于橫截面上的正應(yīng)力只與點(diǎn)的坐標(biāo)成正比而與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，而軸又為截

7、面的縱向?qū)ΨQ軸，所以，這一關(guān)系式是自動(dòng)滿足的。最后，根據(jù)對(duì)稱彎曲時(shí)梁的橫截面上彎矩，將物理關(guān)系代入下式 式中積分 是橫截面對(duì)中性軸的慣性距，上式可表達(dá)為 式中，是純彎曲時(shí)梁軸線變形后的曲率。該式表明，越大，則曲率越小。因此，稱為梁的抗彎剛度。將該式代入式微分關(guān)系，即可得到彎曲時(shí)梁的橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式 即以梁的中性層為界，梁的凸出一側(cè)為拉壓力，凹入的一側(cè)為壓應(yīng)力。設(shè)為橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)到中性軸的距離，則截面上的最大正應(yīng)力為 如引入符號(hào) 則截面上最大彎曲正應(yīng)力可以表達(dá)為 式中，稱為截面圖形的抗截面模量。它只與截面圖形的幾何性質(zhì)有關(guān)，其量綱為。矩形截面和圓截面的抗彎截面模量分別為：高為，寬

8、為的矩形截面： 直徑為的圓截面： 至于各種型鋼的抗彎截面模量，可從附錄的型鋼表中查找。 若梁的橫截面對(duì)中性軸不對(duì)稱，則其截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力并不相等，例如形截面。這時(shí)，應(yīng)把和分別代入正應(yīng)力公式，計(jì)算截面上的最大正應(yīng)力。最大拉應(yīng)力為： 最大壓應(yīng)力為： 2、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力彈性理論分析表明，對(duì)橫力彎曲時(shí)的細(xì)長(zhǎng)梁，即截面高度遠(yuǎn)小于跨度的梁，橫截面上的下述附加正應(yīng)力和縱向纖維間的正應(yīng)力都是非常微小的。而且，用純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式，即 來(lái)計(jì)算細(xì)長(zhǎng)梁橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力，和梁內(nèi)的真實(shí)壓力相比，并不會(huì)引起很大的誤差，能夠滿足工程問(wèn)題所要求的精度。所以，對(duì)橫力彎曲時(shí)的細(xì)長(zhǎng)梁，可以用純彎

9、曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式計(jì)算梁的橫截面上的彎曲正應(yīng)力。3、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁在彎曲時(shí)，橫截面上一部分點(diǎn)為拉應(yīng)力，另一部分點(diǎn)為壓應(yīng)力。對(duì)于低碳鋼等這一類塑性材料，其抗拉和抗壓能力相同，為了使橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力，常將這種梁做成矩形，圓形和工字形等對(duì)稱于中性軸的截面。因此，彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件為： 對(duì)于鑄鐵等這一類脆性材料，則由于其抗拉和抗壓的許用應(yīng)力不同，工程上常將此種梁的截面做成如T字形等對(duì)中性軸不對(duì)稱的截面（6-6b），其最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的強(qiáng)度條件分別為 和 式中，和分別表示梁上拉應(yīng)力最大點(diǎn)和壓應(yīng)力最大點(diǎn)的坐標(biāo)。和分別為脆性材料的彎曲許用拉應(yīng)力和許用

10、壓應(yīng)力。ABCP1MP21m1m1m例圖所示外伸梁，用鑄鐵制成，截面為字形。已知梁的載荷，,鑄鐵的許用應(yīng)力。截面的尺寸如圖所示試校核此梁。902020120 解：計(jì)算梁的支反力并作彎矩圖 根據(jù)梁的平衡條件，求得支反力為 作梁的彎矩圖如圖6-7（b）所示?？梢钥吹皆诹旱慕孛嫔嫌凶畲笳龔澗?在截面上有梁的最大負(fù)彎矩： 確定截面形心位置并計(jì)算形心軸慣性矩 字形截面尺寸如圖6-7（a）所示，心為考慮坐標(biāo)系，確定截面形心的位置。由 形截面對(duì)其形心軸的軸慣性矩 = 分別校核鑄鐵梁的拉伸和壓縮強(qiáng)度 對(duì)等直梁，若材料為塑性材料時(shí)梁的截面大多數(shù)為具有水平對(duì)稱軸的截面，梁內(nèi)的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力相等，并且都發(fā)生

11、在梁的彎矩絕對(duì)值最大的截面上。而脆性材料梁的截面大都制成象字形等沒有水平對(duì)稱軸的截面。這時(shí)，梁的最大拉應(yīng)力（或壓應(yīng)力）不僅取決于彎矩?cái)?shù)值的大小，還與彎矩的正負(fù)符號(hào)（方向）及截面開頭有關(guān)。因此，要分別校核危險(xiǎn)截面和上的彎曲正應(yīng)力。在截面： 在截面： 所以，鑄鐵梁的拉伸強(qiáng)度不滿足，即梁是不安全的。4、提高彎曲強(qiáng)度的措施（1）合理安排梁的支承及載荷（2）梁的合理截面（3）等強(qiáng)度梁（二） 彎曲剪應(yīng)力橫力彎曲時(shí)，梁內(nèi)不僅有彎矩還有剪力，因而橫截面上既有彎曲正應(yīng)力，又有彎曲剪應(yīng)力。同時(shí)，由于橫力彎曲時(shí)梁的橫截面不再保持為平面，彎曲剪應(yīng)力不能采用綜合變形條件、物理?xiàng)l件及靜力條件進(jìn)行應(yīng)力分析的方法。本節(jié)從矩形

12、截面梁入手，研究梁的彎曲剪應(yīng)力。1矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力 xdx 分析圖所示橫力彎曲的矩形截面梁截面上某點(diǎn)處的剪應(yīng)力時(shí)，需要先分析截面上剪應(yīng)力的分布規(guī)律。矩形截面上，剪力截面的縱向?qū)ΨQ軸軸重合。在截面兩側(cè)邊界處取一單元體（尺寸分別為）的微小六面體，設(shè)在橫截面上剪應(yīng)力的方向與邊界成一角度，則可把該剪應(yīng)力分解為平行于邊界的分量和垂直于邊界的分量。根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，可知在此單元體的側(cè)面必有一剪應(yīng)力和大小相等。但是，此面為梁的側(cè)表面，是自由表面，不可能有剪應(yīng)力，即。說(shuō)明矩形截面周邊處剪應(yīng)力的方向必然與周邊相切。因?qū)ΨQ關(guān)系，可以推知左、右邊界軸上各點(diǎn)的剪應(yīng)力都平行于剪力。所以，當(dāng)截面高度大于寬度時(shí)，關(guān)

13、于矩形截面上的剪應(yīng)力分布規(guī)律，可作如下假設(shè)：（1）截面上任意一點(diǎn)的剪應(yīng)力都平行于剪力的方向。 （2）剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，即剪應(yīng)力的大小只與坐標(biāo)有關(guān)。從圖所示橫力彎曲的梁上截取長(zhǎng)為的微段梁，設(shè)該微段左、右截面上的彎矩分別為及；剪力均為。再在和兩截面間距中性層為處用一水平截面將該微截開，取截面以下部分進(jìn)行研究。在六面體上，左、右豎直側(cè)面上有正應(yīng)力、和剪應(yīng)力；頂面上有與互等的剪應(yīng)力。在左、右側(cè)面上的正應(yīng)力和分別構(gòu)成了與正應(yīng)力方向相同的兩個(gè)合力和 ，它們?yōu)?式中，為橫截面上距中性軸為的橫線以外的面積，如圖所示。式中積分 是的截面積對(duì)矩形截面中性軸的靜矩。因此，上式簡(jiǎn)化為 同理， 因微段的左、右兩

14、側(cè)面上的彎矩不同，故和的大小也不相同。只有和水平剪應(yīng)力的合力一起，才能維持六面體在方向的平衡，即 ， 將和代入上式，有 整理、化簡(jiǎn)后有 根據(jù)梁內(nèi)力間的微分關(guān)系，可得 由剪應(yīng)力互等定理，可以推導(dǎo)出矩形截面上距中性軸為處任意點(diǎn)的剪應(yīng)力計(jì)算公式為 式中 橫截面上的剪力 橫截面對(duì)中性軸的軸慣性矩 橫截面上所求剪應(yīng)力點(diǎn)處截面的寬度（即矩形的寬度） 橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積對(duì)中性軸的靜矩現(xiàn)在，根據(jù)剪應(yīng)力公式進(jìn)一步討論剪應(yīng)力在矩形截面上的分布規(guī)律。在圖所示矩形截面上取微面積，則距中性軸為的橫線以下的面積對(duì)中性軸z的靜矩為 將此式代入剪應(yīng)力公式，可得矩形截面剪應(yīng)力計(jì)算公式的具體表達(dá)式為 從該式

15、可以看出，沿截面高度剪應(yīng)力按拋物線規(guī)律變化，如圖所示。可以看到，當(dāng)時(shí)，即矩形截面的上、下邊緣處剪應(yīng)力；當(dāng)y=0時(shí)，截面中性軸上的剪應(yīng)力為最大值： 將矩形截面的慣性矩代入上式，得到 說(shuō)明矩形截面上的最大彎曲剪應(yīng)力為其平均剪應(yīng)力倍。 2工字形截面梁的彎曲剪應(yīng)力工字形截面可以看做由三個(gè)矩形截面組成，因此其彎曲剪應(yīng)力計(jì)算與矩形截面梁類似。仍然沿用矩形截面梁彎曲剪應(yīng)力計(jì)算公式。將此式代入彎曲剪應(yīng)力公式并注意到，可得腹板上彎曲剪應(yīng)力的計(jì)算公式 時(shí)，在截面中性軸上 時(shí)，在腹板與翼緣的交界處 3.彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件由于橫力彎曲時(shí)在梁的截面上同時(shí)存在兩沖應(yīng)力，即彎曲正應(yīng)力和彎曲剪應(yīng)力，并且它們的分布規(guī)律并不相同

16、，因此，彎曲強(qiáng)度的計(jì)算是比較復(fù)雜的，為使梁安全可靠地工作，梁除了必須滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件外，還必須滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。梁的最大彎曲剪應(yīng)力都發(fā)生在截面中性軸上各點(diǎn)處，而中性軸上各點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力都為零，即這些點(diǎn)都處于純剪切狀態(tài)，所以，梁的彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件為 式中，為材料的許用彎曲剪應(yīng)力。例.試比較圖所示受均布載荷作用的矩形截面梁的最大彎曲正應(yīng)力和最大彎曲剪應(yīng)力。ABMQbhz解：計(jì)算梁的支反力并作內(nèi)力圖 根據(jù)梁的平衡，求得支反力為 作梁的剪力圖和彎矩圖如圖所示。從圖中看到 計(jì)算梁的最大應(yīng)力 在梁的中間截面的上、下邊緣處有最大彎曲正應(yīng)力 在梁的兩端截面的中性軸上，在最大彎曲剪應(yīng)力 比較此梁的最大彎曲

17、正應(yīng)力與最大彎曲剪應(yīng)力 （三）非對(duì)稱開口薄壁截面梁的彎曲中心橫力彎曲時(shí)，梁的橫截面上不僅有正應(yīng)力還有剪應(yīng)力。對(duì)于有對(duì)稱截面的梁，當(dāng)外力作用在形心主慣性平面內(nèi)時(shí)，剪應(yīng)力的合力，即剪力作用線通過(guò)形心，梁發(fā)生平面彎曲。對(duì)于非對(duì)稱截面（特別是薄壁截面）梁，橫向外力即使作用在形心主慣性平面內(nèi)，剪應(yīng)力的合力作用線并不一定通過(guò)截面形心。當(dāng)剪應(yīng)力的合力作用線不通過(guò)截面形心時(shí)，梁不僅發(fā)生彎曲變形，而且還將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)，如圖所示。只有當(dāng)橫向力作用在某一特定點(diǎn)并和形心主慣性平面平行時(shí)，該梁才只產(chǎn)生平面彎曲而無(wú)扭轉(zhuǎn)，如圖所示。這一特定A稱為彎曲中心或剪切中心，簡(jiǎn)稱彎心。1、開口薄壁桿件的彎曲剪應(yīng)力圖所示任意的開口薄壁桿件

18、。當(dāng)桿件發(fā)生平面彎曲時(shí)，其截面上的彎曲剪應(yīng)力形成剪應(yīng)力流，如圖所示，開口薄壁桿件橫截面上的剪應(yīng)力，可按照與矩形截面相同的方法來(lái)分析。薄壁桿件的截面上剪力為。欲求該截面上距自由邊緣為點(diǎn)的剪應(yīng)力時(shí)，仍從梁中以相距的兩個(gè)橫截面和沿薄壁厚度的縱向截面截出一部分。在這一部分的和面上有彎曲正應(yīng)力和，在底面上有和面上點(diǎn)的剪應(yīng)力互等的剪應(yīng)力。這些應(yīng)力的方向都平行于軸。類似于矩形截面彎曲剪應(yīng)力的推導(dǎo)，先求得和面上方向的合力 和分別是 及 式中，和分別是和兩橫截面上的彎矩；是距自由邊緣為處以外部分截面對(duì)中性軸的靜矩；為整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩。這兩個(gè)合力和之差，被dc面上剪應(yīng)力的合力（）所平衡，即， ， 由此可求出剪應(yīng)力為 利用剪應(yīng)力互等定理，可推導(dǎo)出開口薄壁桿件橫截面上距自由邊緣為處的剪應(yīng)力計(jì)算公式為 2、非對(duì)稱開口薄壁截面梁的彎曲中心圖所示為開口薄壁截面梁的橫截面。為截面的形心，、為截面的形心主慣性軸。當(dāng)梁的橫向力和軸平行而發(fā)生平面彎曲時(shí)，薄壁截面上的剪應(yīng)力方向如圖所示，梁的截面上只有和軸平行的剪力。在橫截面上，微內(nèi)力組成相切于橫截面的內(nèi)力系（圖中只畫出一個(gè)微內(nèi)力），其合力即為在向的剪力，它的