判斷充分與必要條件的方法

1、判斷充分與必要條件的方法判斷充分與必要條件的方法一、定義法 可以簡單的記為箭頭所指為必要，箭尾所指為充分 . 在解答 此類題目時，利用定義直接推導(dǎo)，一定要抓住命題的條件和 結(jié)論的四種關(guān)系的定義 .例 1 已知 p：-2分析 條件 p 確定了 m， n 的范圍，結(jié)論 q 則明確了方程的根 的特點，且 m， n 作為系數(shù)，因此理應(yīng)聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān) 系，然后再進一步化簡 .解 設(shè)x1 , x2是方程x2+mx+n=0的兩個小于1的正根，即0而對于滿足條件p的m=-1, n=,方程x2-x+=0并無實根，所 以 pq.綜上，可知 p 是 q 的必要但不充分條件 . 點評 解決條件判斷問題時，務(wù)必分清

2、誰是條件，誰是結(jié)論， 然后既要嘗試由條件能否推出結(jié)論，也要嘗試由結(jié)論能否推 出條件，這樣才能明確做出充分性與必要性的判斷 .二、集合法如果將命題p，q分別看作兩個集合 A與B，用集合意識解釋 條件，則有：若A?哿B,則x A是x B的充分條件，xB 是x A的必要條件；若A?芴B,則xA是xB的充分不 必要條件，x B是X A的必要不充分條件；若A=B則x A 和xB互為充要條件;若 A?芫B且A?蕓B,貝U xA和xB 互為既不充分也不必要條件 .例 2 設(shè) x,y R 則 x2+y22 是|x|+|y| W的條件，是|x|+|y|2 的條件 .A. 充要條件 B. 既非充分也非必要條件C.

3、 必要不充分條件 ?搖 D. 充分不必要條件解 如右圖所示， 平面區(qū)域 P=（x ， y）|x2+y22 表示圓內(nèi)部分（不含邊界）;平面區(qū)域Q=（x , y）|x|+|y|表示小正方形內(nèi)部分 （含邊界 ）; 平面區(qū)域 M=（x， y）|x|+|y|2 表示大正方 形內(nèi)部分 （ 不含邊界 ）.由于（，0）?埸P,但（,0） Q貝U P?蕓Q.又P?芫 Q,于是 x2+y22是|x|+|y| w的既非充分也非必要條件，故選B.同理P?芴M 于是x2+y22是|x|+|y|2的充分不必要條件，故選 D.點評 由數(shù)想形，以形輔數(shù)，這種解法正是數(shù)形結(jié)合思想在 解題中的有力體現(xiàn) . 數(shù)形結(jié)合不僅能夠拓寬我

4、們的解題思 路，而且也能夠提高我們的解題能力 .三、逆否法 利用互為逆否命題的等價關(guān)系，應(yīng)用“正難則反”的數(shù)學(xué)思 想，將判斷“ P?圯q”轉(zhuǎn)化為判斷“非q?圯非p”的真假.例3判斷p： xr 且y2是q： x+y5的什么條件；(2)判斷p：x3或y2是q：x+y工5的什么條件.解 (1) 原命題等價于判斷非 q： x+y=5 是非 p： x=3 或 y=2 的 什么條件 .顯然非p非q,非q非P,故p是q的既不充分也不必要條 件.(2) 原命題等價于判斷非 q： x+y=5 是非 p： x=3 且 y=2 的什 么條件 .因為非p?圯非q，但非q非p，故p是q的必要不充分條件.點評 當命題含有

5、否定詞時，可考慮通過逆否命題等價轉(zhuǎn)化 判斷 .四、篩選法用特殊值、 舉反例進行驗證， 做出判斷， 從而簡化解題過程 . 這種方法尤其適合于解選擇題 .例 4 方程 ax2+2x+1=0 至少有一個負實根的充要條件是A. 0解 利用特殊值驗證：當 a=0 時， x=- ，排除 A， D； 當 a=1 時， x=-1，排除B.因此選C.點評 作為選擇題，利用篩選法避免了復(fù)雜的邏輯推理過程， 使解題方法更加優(yōu)化，節(jié)省了時間，提高了解題的速度，因 此同學(xué)們應(yīng)該注意解題方法的選擇使用 .五、傳遞法充分條件與必要條件具有傳遞性，即由P1?圯P2, P2?圯P3,，Pn-1?圮Pn,可得P1?圯Pn .同樣

6、，充要條件也有 傳遞性 . 對于比較復(fù)雜的具有一定連鎖關(guān)系的條件，兩個條 件間關(guān)系的判斷也可用傳遞法來加以處理 .例 5 已知 p 是 r 的充分不必要條件， s 是 r 的必要條件， q 是 s 的必要條件，那么 p 是 q 的A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件解 由題意可得p?圮r，r?圮s，s?圮q，那么可得p?圮r? 土圯s?土圯q，即p是q的充分不必要條件，故選A.點評 對于兩個以上的較復(fù)雜的連鎖式條件，利用傳遞性結(jié) 合符號“ ?圯”與“”，畫出它們之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖進行判 斷，可以直觀快捷地處理問題， 使問題得以簡單化 .1. 求三個方程 x2+4ax-4a+3=0 ， x2+(a-1)x+a2=0 ， x2+2ax-