文字應(yīng)用題求解

1、文字應(yīng)用題求解 學(xué)習(xí)環(huán)境The Learning Environmentof Word Problem-solving林建祥北京大學(xué)教育學(xué)院北京 100871 中國Tel: (8610)-62755803Email: linjx 解決實(shí)際問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的。解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)方法是重要科學(xué)方法。 為了具有解決問題的能力，首先要有數(shù)學(xué)知識。 但是在掌握大量數(shù)學(xué)知識之外，如何應(yīng)用所學(xué)知識來解決問題的方法與策略， 也是需要 學(xué)習(xí)的。 實(shí)際問題通常由文字來描述。文字描述時許多是多余的信息。對所解決的數(shù)學(xué)問題無關(guān)。 為了便于學(xué)習(xí)，通常文字描述比較簡練，條理，把多余的盡量去掉。 而且是一定有明確的解

2、答。這種簡單化，從規(guī)范的文字描述題出發(fā)，學(xué)會解題， 雖與真實(shí)問題還有距離，但卻是學(xué)習(xí)過程必經(jīng)階段，作為 鋪墊，減少難度，然后再走向解決復(fù)雜的真實(shí)問題。 本文討論比較規(guī)范的文字題求解的問題，同時研究設(shè)計學(xué)習(xí)環(huán)境，來提高 靈活解題的學(xué)習(xí)效率。 關(guān)鍵字： 應(yīng)用題， 問題求解， 交互學(xué)習(xí)環(huán)境， 數(shù)學(xué)建模。 The main goal of learning Mathematics is to be able to solve real problems. To solve problem with mathematics methods is an important scientific metho

3、d. For learning problem-solving, first a lot of mathematics knowledge is needed. But the strategy and method how to use mathematics knowledge to solve problem is also needed to learn.Usually, real problem is described by words. Use words to describe problem, there are many message, that is not impor

4、tant for the solving. But in order to learn easy for new-comers, we usually made words to describe problem rather concise and articulate, and have a clear solution. This simplicity, described with clever and normal style, although it is different with real situation, but it is a stage must be gone t

5、hrough, then go toward real problem solving.This paper discuss about rather normal word-based applied problem-solving, and try to design a learning environment, help young to learn problem solving easier in the earlier stage.Keywords: Problem-solving, Learning Environment, Mathematics modeling. 1 引言

6、 解決實(shí)際問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的。鑒于過去數(shù)學(xué)教學(xué)，過分強(qiáng)調(diào)純粹數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，解決實(shí)際問題能力訓(xùn)練重視不夠。因而從解決實(shí)際世界的真實(shí)問題出發(fā)，提高解決問題的能力，目前正受到特別的關(guān)注。重視實(shí)際問題的解決，也有助于提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，動力與積極性。解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)方法是重要科學(xué)方法。其要領(lǐng)是：對實(shí)際問題進(jìn)行正確抽象，建立抽象數(shù)學(xué)模型，變成數(shù)學(xué)問題，然后用數(shù)學(xué)算法求得數(shù)學(xué)解。再回到實(shí)際世界加以恰當(dāng)解釋。為了具有解決問題的能力，首先要有數(shù)學(xué)知識。為了有效學(xué)習(xí)大量的數(shù)學(xué)知識，需要研究良好的知識表示方法。微世界-客觀世界的抽象模擬，即可操作的模型，是值得探究，應(yīng)用計算機(jī)技術(shù)的好表示方法。我已寫過一

7、篇文章-“教學(xué)設(shè)計的威力”進(jìn)行討論。但是在掌握大量數(shù)學(xué)知識后，如何應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來解決問題的方法與策略，也是需要學(xué)習(xí)的。上文討論限于篇幅，未涉及。本文企圖在這方面，進(jìn)行比較詳細(xì)的補(bǔ)充討論。實(shí)際問題通常由文字來描述。文字描述時許多是冗余的信息。對所解決的數(shù)學(xué)問題無關(guān)。為了便于學(xué)習(xí)，通常在開始時文字描述比較簡練，條理，把多余的盡量去掉。而且一定有明確的解答。這種簡單化，從規(guī)范的文字描述題出發(fā)，學(xué)習(xí)解題，雖與真實(shí)問題還有距離，但卻是學(xué)習(xí)過程必經(jīng)階段，作為鋪墊，減少難度，（本文先集中討論這個較為規(guī)范的問題）然后再走向解決真實(shí)世界的復(fù)雜問題。2文字應(yīng)用題求解的學(xué)習(xí)環(huán)境設(shè)計這環(huán)境的基本作用，是從文字描述的實(shí)

8、際應(yīng)用領(lǐng)域問題，學(xué)習(xí)如何抽象出形式的符號的數(shù)學(xué)模型，然后用學(xué)過的數(shù)學(xué)計算方法求解。21 求解實(shí)際問題總過程包括下列幾步：一 從文字題目分析出已知與所求兩部分。每部分各有主要對象及其屬性，與對象間相互關(guān)系。叫題目的意義結(jié)構(gòu)。這是從題面所提供的信息，而且是在應(yīng)用領(lǐng)域?qū)用娴慕Y(jié)構(gòu)。二 我們要解決問題，光題面所提供的信息是不夠的。所以系統(tǒng)必須存有學(xué)過的知識。這知識是以模板形式存儲的。模板有豐富的語義，但反映了符號的結(jié)構(gòu)。是走向抽象數(shù)學(xué)問題的媒介與過渡。三 從所求部分找需要的模板，可能有現(xiàn)成的，或需要組合。然后進(jìn)行歸約，鏈接。直到已知部分可用上為止。這是要著重學(xué)習(xí)的求解技巧。四 對模型的組合進(jìn)行整理，優(yōu)化

9、，填進(jìn)參數(shù)，解決問題，這時已是具體的數(shù)學(xué)問題，直接計算數(shù)學(xué)表達(dá)式，或需要解各種類型的方程。最后再回到具體應(yīng)用領(lǐng)域，對結(jié)果作出恰當(dāng)?shù)慕忉尅?2 文字應(yīng)用題求解的學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)環(huán)境應(yīng)用信息技術(shù)來設(shè)計學(xué)習(xí)環(huán)境，目的是希望能減少學(xué)習(xí)的難度，而且易于理解掌握高價的思維技巧。這環(huán)境設(shè)計的指導(dǎo)思想，是把系統(tǒng)分為兩層：在菜單按鈕下連上程序，但把他看成黑箱，是底層?？上炔还艹绦蜻\(yùn)行過程，只注意點(diǎn)擊的作用即按鈕的意義。菜單作為上層，可通過對各個按鈕自由操作，進(jìn)行解題觀察，探試。這樣就把學(xué)習(xí)者注意力集中于所設(shè)計的重點(diǎn)難點(diǎn)，在這里就是“如何建立模板，查找合適模板，組合模板，整理優(yōu)化模板”。這是應(yīng)用題靈活求解能力訓(xùn)練的要害

10、。 表1 從應(yīng)用領(lǐng)域文字題 - - 數(shù)學(xué)建模 - 到求出數(shù)字解 - 到回到應(yīng)用領(lǐng)域問題分類 選題 講解意義結(jié)構(gòu)分解 數(shù)學(xué) 建模 求數(shù)字解 解釋與幫助建立新模板存在模板搜索存在模板組合模板歸約數(shù)字代入解方程求微商求積分求極值解微分方程例題練習(xí)題例題練習(xí)題-建簡單模板查找合適模板模板組合模板優(yōu)化高級組合建簡單扼要例題按模板復(fù)雜度分類。建簡單模板例題1。 矩形面積為 長X 寬，今長 A = 3，寬 B = 4 ，問 矩形面積為多少？已知 所求 模 板矩形 求面積 S 長 A = 3 寬 B = 4 面積 S = A X B 平面圖形 矩形 長 A = 寬 B = 面積 S = A X B = 周長

11、L = 2（A+B）= 這兒建立模板，并做適當(dāng)擴(kuò)充，存起來備以后用。建立了數(shù)學(xué)模型，就把實(shí)際問題變成了數(shù)學(xué)問題?？烧{(diào)用數(shù)學(xué)軟件包的相應(yīng)程序來求數(shù)學(xué)答案。數(shù)學(xué)方法已經(jīng)學(xué)過，通常也都有現(xiàn)成的程序，現(xiàn)在著重是學(xué)習(xí)解實(shí)際應(yīng)用問題，數(shù)學(xué)求解過程不是重點(diǎn)，可不必了解。最前一步，由題文分析出已知與所求，也可由機(jī)器程序自動進(jìn)行。因?yàn)橥ǔｎ}文都比較規(guī)范，沒有必要增加難度，分析出意義結(jié)構(gòu)并不難。先找出若干對象（通過名詞或變量）與其屬性（通過名詞的形容詞），再找對象間的相互關(guān)系（聯(lián)系名詞的動詞）。即按題意建立了初步的結(jié)構(gòu)。 當(dāng)然還有對算法的描述，需要轉(zhuǎn)換為表達(dá)式，有的已經(jīng)直接由表達(dá)式給出。 如果對分析結(jié) 果有疑問，

12、或且不夠規(guī)范，甚至關(guān)系太復(fù)雜，則還可以進(jìn)行人工干預(yù)。 總之，學(xué)習(xí)環(huán)境的設(shè)計，要能比較好集中注意力于數(shù)學(xué)模型的建立。 本文呈現(xiàn)一批表格，可較好展示設(shè)計的概況，與基本思想。 表2 從應(yīng)用領(lǐng)域文字題 - - 數(shù)學(xué)建模 - 到求出數(shù)字解 - 到回到應(yīng)用領(lǐng)域問題分類 選題 講解意義結(jié)構(gòu)分解 數(shù)學(xué) 建模 求數(shù)字解 解釋與幫助建簡單模板查找合適模板模板組合模板優(yōu)化高級組合建立新模板存在模板搜索存在模板組合模板歸約例題練習(xí)題例題練習(xí)題-建簡單扼要例題按模板復(fù)雜度分類。查找合適模板例題2。 今有矩形長 A 為 4，寬 B =為5 ，求 其 面積 S 。已知 所求 模 板矩形 求面積 S 長 A = 4 寬 B

13、= 5 平面圖形 矩形 長 A = 寬 B = 面積 S = A X B = 周長 L = 2（A+B）=本題找到上面現(xiàn)成的模板，把數(shù)值代入，進(jìn)行計算，解決了問題。例題3。 今有矩形長 A 為 5面積 S為 20，求 其寬度。矩形 求 寬 B 長 A = 5 面積 S = 20本題也利用了上面所找到的同一模板，代入數(shù)值。 但不是直接計算， 而是需要解一個方程。 其他附帶的必要功能： 為便于初學(xué)，系統(tǒng)應(yīng)提供不同復(fù)雜度的典型案例。案例按所需模板的復(fù)雜程度， 由簡到繁排列。模板是很好的媒介，既有豐富的語義，反映實(shí)際領(lǐng)域的關(guān)系，又反映抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?？梢院芎脦椭鯇W(xué)者從具體到抽象的過渡。 表 3 從應(yīng)

14、用領(lǐng)域文字題 - - 數(shù)學(xué)建模 - 到求出數(shù)字解 - 到回到應(yīng)用領(lǐng)域建立新模板存在模板搜索存在模板組合模板歸約問題分類 選題 講解意義結(jié)構(gòu)分解 數(shù)學(xué) 建模 求數(shù)字解 解釋與幫助數(shù)字代入解方程求微商求積分求極值解微分方程建簡單模板查找合適模板模板組合模板優(yōu)化高級組合建簡單扼要例題按模板復(fù)雜度分類。模板組合例題4。 完成工作總量由乘以工作時間計算。 今某甲每日完成5件，工作十日。乙每日完成3件，工作15日。問兩人一共完成多少件。已知 所求 模 板 完成工 某甲 作總量 工作5 件/日 工作日數(shù)=10某乙 工作3 件/日 工作日數(shù)=15工作量問題模板 單位時間完成工作量D（）= 工作時間 T（） =

15、 完成工作量W（） =D（）*T（） 某甲單位時間完成工作量D（A）= 工作時間 T（A） = 某乙單位時間完成工作量D（B）= 工作時間 T（B） =完成工作總量W= W（A） + W（B） 這兒建立模板，并做適當(dāng)擴(kuò)充，加上參量，可存起來備以后（如例題5）用。例題5。 一工程W全由甲承擔(dān)，10日完成，全由乙承擔(dān)20日完成。 現(xiàn)由甲先進(jìn)行5日，余下由乙做完。 問乙還要幾天完成？。甲單位時間工作量 D（A）= W /10 工作天數(shù)T（A） = 5。乙單位時間工作量 D（B）= W /20。 求 T（B）用上上面存起來的模板，W（） = D（）* T（）W = W（A） + W（B） = D（A）

16、*T（A）+ D（B）*T（B） = W /10 * 5 + W/20 * T（B）但同樣這里不是直接計算， 而是需要解一個方程。 每案例后可再附上若干練習(xí)題，讓學(xué)習(xí)者獨(dú)立解決，循序漸進(jìn)。當(dāng)然遇到困難時，仍可在中途設(shè)法得到幫助。也可在適當(dāng)?shù)胤?，提出質(zhì)疑，促進(jìn)思考，幫助更好的理解掌握。學(xué)習(xí)時，按學(xué)習(xí)者程度找難度合適的問題類型，先學(xué)案例，再找練習(xí)題。選中一個樣例，環(huán)境對案例題會自動分離出該題的已知與所求。然后告訴你如何一步步建立模型，找到一批所要的模板，進(jìn)行各種組合。 而練習(xí)題則要你試著自己建模，試著求解實(shí)際問題。表4 從應(yīng)用領(lǐng)域文字題 - - 數(shù)學(xué)建模 - 到求出數(shù)字解 - 到回到應(yīng)用領(lǐng)域問題分

17、類 選題 講解意義結(jié)構(gòu)分解 數(shù)學(xué) 建模 求數(shù)字解 解釋與幫助已知 所求模 板 c a c h c模板組合例題6。 一正方形鐵片，邊長A= 10，從四角砍掉四個小正方形。折成一無蓋盒。 問這小正方形邊長多少，使盒子面積最大？ A鐵片邊長A = 10 小正方形邊長h = 求h = ？ 使盒子體積V最大這是簡單的優(yōu)化問題。首先是求評價函數(shù)。需先找到，補(bǔ)上所缺的信息。幾何圖形立方盒子 底邊長 a = 高 h = 體積 V = a2 * h砍掉的正方形邊長 c = 盒高 h 底邊長a + 2* 盒高 h = 鐵片邊長A由以上的現(xiàn)成模板可列出評價函數(shù)。然后求h的一元函數(shù)的極值。3關(guān)于模型庫的建立 我們看到

18、在這學(xué)習(xí)環(huán)境框架之外，要獲得真正的解題能力，還需要建立各種信息庫：1 首先是各種大量的模板。要整理使條理清楚，易于檢索。以支持解決各種類型的大量實(shí)際問題。11 首先對簡單的典型題，建立模板。建立模型時，除本題提到的信息外，還可按常識進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展。譬如：對矩形對象除題中涉及的長寬與面積等屬性外，還可自動加上周長等。12 每項(xiàng)都注意補(bǔ)上字母符號，以便簡潔表示變量間的約束關(guān)系。對象還可賦予下標(biāo)與參數(shù)，從而生成這一類的實(shí)例。如：例題 4，5中的工作量表示。13 讓一類的屬性，可以自動為子類或?qū)嵗^承。這樣條理化了的模板庫，有巨大的表現(xiàn)力，容易檢索到，并可適用于大規(guī)模的系統(tǒng)情況。 如：例題7。在導(dǎo)函

19、數(shù)對象類下找到相匹配的直線運(yùn)動，然后導(dǎo)函數(shù)的屬性就自動為直線運(yùn)動所繼承。 例題9。旋輪線的模板就容易在相當(dāng)大的模板庫中找到。并由于繼承機(jī)制而得到大量的信息。 表5。 從應(yīng)用領(lǐng)域文字題 - - 數(shù)學(xué)建模 - 到求出數(shù)字解 - 到回到應(yīng)用領(lǐng)域建立新模板存在模板搜索存在模板組合模板歸約問題分類 選題 講解意義結(jié)構(gòu)分解 數(shù)學(xué) 建模 求數(shù)字解 解釋與幫助數(shù)字代入解方程求微商求積分求極值解微分方程建簡單模板查找合適模板模板組合模板優(yōu)化高級組合建簡單扼要例題按模板復(fù)雜度分類。模板生成與擴(kuò)展例題7。 直線運(yùn)動可以用“位移s是時間t的函數(shù)”來描述。 速度是位移函數(shù)的變化率，即位移改變量與時間改變量之比當(dāng)x -&

20、gt; 0時的極限。 簡諧運(yùn)動可以用 s = A sin (t) 來描述。 求 t = t0時的速度。已知 所求 模 板直線運(yùn)動 位移 s 時間 t 函數(shù)關(guān)系 s = s(t) = A sin (t) 速度 v = ds/dt = 求t = t0時的 速度。導(dǎo)函數(shù)關(guān)系 因變量 y 自變量 x 函數(shù)關(guān)系 y = f (x) = _。 函數(shù)變化率 y = f (x) = dy/dx =_實(shí)例：因變量 y 位移 速度 質(zhì)量自變量 x 時間 時間 線長度函數(shù)變化率 f 速度 加速度 線密度例題8。 由曲線 y=f(x), x=a, x=b, X軸所圍成的曲邊梯形。 求其面積。 曲邊梯形 求所圍面積.

21、y = f(x) = x = a , x = b , X 軸。定積分模板 比函數(shù) y 變量 x 函數(shù)關(guān)系 y = f(x) = 。 下限 a = _。 上限 b = _。 總量 = INT （f (x), x, a, b ）實(shí)例： 比函數(shù) y 變高 速度 線密度 自變量x 底位置 時間 位置 總量 面積 位移 質(zhì)量模板搜索例題9。 求旋輪線一拱的 弧長。 按屬性在龐大的模板庫中查找模板。 如查到合適的模板，則代入，問題就容易解決。旋輪線 求其弧長。 一拱。幾何圖形 目錄 （按維數(shù)分類）2D 曲線，3D曲線，3D曲面。2D 曲線 目錄（按坐標(biāo)分類） 直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)，參數(shù)方程 2D曲線模板 坐標(biāo)

22、系：參數(shù)方程。 方程： x = f (t), y = g (t). 參數(shù)定義域： t (a,b) 弧長 s = _ 面積S = _ 典型實(shí)例模板： 拋物線，橢圓，旋輪線-14 關(guān)于模板組合?？梢杂稍S多片段的初級模板來組成所需的復(fù)雜模板。這里組合例子是多次做直接代換。當(dāng)然也可通過較復(fù)雜的消元方法來進(jìn)行組合。 以上都是對模板庫進(jìn)行條理也即優(yōu)化的多種方法：組織為層次結(jié)構(gòu)，上層對象的屬性可以自動為下層對象所繼承，每對象可設(shè)許多參量。這樣用簡潔的表示，覆蓋了大量的知識，又便于查找。我們的案例中表達(dá)式的約束，僅限于線性。綜合起來已足以建立線性方程組約束的優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型。當(dāng)然表達(dá)式也可以包括非線性的多項(xiàng)式

23、。也還可以對函數(shù)引進(jìn)微分運(yùn)算，因而列出的約束即方程，就成為（包括了）微分方程。所以這里的討論，已經(jīng)覆蓋了中學(xué)直到高校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的很多內(nèi)容。當(dāng)然是其中非常規(guī)范的部分。2 為了便于在建模前后，得到必要的支持。使能集中注意力于建模這個焦點(diǎn)。還需要：21 各種詞庫（名詞，動詞，形容詞）。及同義詞庫。還要必要的初級模板，以幫助建立已知與所求的意義結(jié)構(gòu)。（同一抽象模式，其實(shí)例可以是很不相同的領(lǐng)域，因而為了建立意義結(jié)構(gòu)，詞庫就要包括大量的不同領(lǐng)域的詞匯。也可在應(yīng)用時視需要不斷添加）。22 還需要建立數(shù)學(xué)解題程序庫。在建立數(shù)學(xué)模型后，自動幫助解決所建立的數(shù)學(xué)問題。 這些庫都應(yīng)是開放式，可以隨時擴(kuò)充。特別在解題

24、過程中，也可隨手合理增加，擴(kuò)充模板庫，以適合于不同領(lǐng)域的大量實(shí)際問題。表6。 從應(yīng)用領(lǐng)域文字題 - - 數(shù)學(xué)建模 - 到求出數(shù)字解 - 到回到應(yīng)用領(lǐng)域問題分類 選題 講解意義結(jié)構(gòu)分解 數(shù)學(xué) 建模 求數(shù)字解 解釋與幫助高級組合例題10。 求圓盤上過圓心垂直于盤平面的軸上一點(diǎn)對整個圓盤的電場力。 電荷密度與距圓心距離r 成正比。 P。 b a r r0已知 所求 模 板物理力 求電場力 電場力物體甲-一點(diǎn)P。物體乙-圓盤（半 徑為a）相對位置 點(diǎn)在垂直于圓盤 過圓心的軸上。 與圓心距離 = b. 需先找到必須的模板，補(bǔ)上所缺的信息建立或找到所需的模板： 電場力 帶電點(diǎn)電荷Pa = 帶電點(diǎn)電荷Pb

25、= 兩帶電點(diǎn)的距離 r = 電場力 F = Pa*Pb / r2 電荷量 電荷量P = 面電荷密度*面積微元 面電荷密度 面電荷密度 = * 距圓心距離r 圓盤的分割 沿半徑分盤為同心圓環(huán)。取圓心為極坐標(biāo)原點(diǎn)（同心圓上點(diǎn)半徑相同，電荷密度相同）。 兩點(diǎn)的距離 盤上電荷與圓盤的距離 r0 = 盤外電荷與圓盤的距離 b = 兩點(diǎn)的距離r = sqrt (r02 + b2)組合所有找到或自建的模板，進(jìn)行歸約得到所需的模板。 4。 總結(jié)及待商榷的論點(diǎn)41 建構(gòu)主義，是基于一種哲學(xué)，一種認(rèn)識論，就是把客觀的對象，分解為一組基本成分，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行綜合，各個不同層次的綜合來處理問題。 看待數(shù)學(xué)發(fā)展的歷

26、史，人們積累許多數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，就有這樣企圖，找到一組基本概念，由他可以推演生成整個數(shù)學(xué)。集合論，計算模型，馮。諾兒曼模型，各種編程語言，以及一批象Mathematica, Maple的數(shù)學(xué)包的出現(xiàn)，都反映這種努力，提供整個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可能的基本成分。用于數(shù)學(xué)教育，首先用于知識表示，各門學(xué)科，都有其基本概念，規(guī)則，從而可以規(guī)范，條理地表現(xiàn)知識。其次涉及解決問題，可以設(shè)立各種模板，從簡單模式到建立復(fù)雜模式。也都反映了這種建構(gòu)的思想。按照這樣理解。建構(gòu)主義對于表示數(shù)學(xué)知識本身及用于教學(xué)教育，都是非常合適的。4 2 對于一類問題的求解，通過基本成分的作用，得到解決，就成為模板，可保存起來。通常遇到問題，

27、總是先回憶有無現(xiàn)成的模板可直接代換，或進(jìn)一步可資組合，轉(zhuǎn)換，來解決問題。模版積累愈多，即經(jīng)驗(yàn)愈豐富，解決問題能力愈強(qiáng)。這是一方面。如果沒有現(xiàn)成的模板。就只能從基本成分入手，用通用的策略，來設(shè)法解決。這是另一方面。更復(fù)雜的，從當(dāng)前基本成分入手，也解決不了問題。就要超越原來系統(tǒng)，進(jìn)行更深層的分解，找到更基本成分，應(yīng)用更創(chuàng)造性的方法，才有可能解決問題。這是突破性的進(jìn)展，需要更多創(chuàng)新思考。象幾百年未能得到解決的古典數(shù)學(xué)難題，用現(xiàn)成模板，用現(xiàn)成的基本成分，現(xiàn)成方法，還沒有解決，就可能由于超過現(xiàn)有框架的能力，需要人類天才專家，用創(chuàng)造性的思維去努力思考。也有可能不是現(xiàn)有計算設(shè)備所能解決的。不過即使如此，設(shè)計一個學(xué)習(xí)環(huán)境，來幫助初學(xué)者了解解決問題的常用方法與策略，不是沒有意義的。在提供豐富的模板后，也能覆蓋相當(dāng)范圍的問題。 可以把環(huán)境設(shè)計成開放的，從解較基本問題入手，不斷擴(kuò)充，逐步過渡到解比較開放的問題。（由于篇幅所限，將另文闡明）。4 3 一般說來，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有這樣幾步：1 確切掌握基本概念。2 理解概念間相互聯(lián)系。3 用模板來解決問題。4 靈活解決開放問題。本文談到的學(xué)習(xí)環(huán)境，包括了對應(yīng)用題特別是文字題的求解，找現(xiàn)成模板解決問題，也