對稱性在積分中應用

1、對稱性在積分中的應用摘要：對稱性是宇宙中許多事物都具有的性質(zhì),大到銀河星系 , 小到分子原子 .根據(jù)對稱 性, 我們就可以把復雜的東西簡單化， 把整體的東西部分化 . 本文介紹運用數(shù)學中的對稱性來 解決積分中的計算問題 , 主要介紹了幾種常見的對稱性在積分計算過程中的一些結(jié)論及其應, 從而簡化定積分、重用，并通過實例討論了利用積分區(qū)間、積分區(qū)域、被積函數(shù)的奇偶性 積分、曲線積分、 曲面積分的計算方法 . 另外對于曲面積分的計算 , 本文還給出了利用輪換對稱性簡化積分的計算 . 積分的計算是高等數(shù)學教學的難點, 在積分計算時 , 許多問題用“正規(guī)” 的方法解決， 反而把計算復雜化 , 而善于運用

2、積分中的對稱性， 往往能使計算簡捷 ,達到事半 功倍的效果 .關(guān)鍵詞： 積分 對稱 定積分 重積分 曲線積分 曲面積分 區(qū)域?qū)ΨQ 輪換對稱引言相關(guān)對稱的定義（一）區(qū)域?qū)ΨQ的定義（二）函數(shù)對稱性定義（三）輪換對稱的定義重積分的對稱性目錄（一）定積分中的對稱性定理及應用（二）二重積分中的對稱性定理及應用三）三重積分中的對稱性定理及應用四、曲線積分的對稱性（一）第一曲線積分的對稱性定理及應用（二）第二曲線積分的對稱性定理及應用五、曲線積分的對稱性（一）第一曲面積分的對稱性定理及應用（二）第二曲面積分的對稱性定理及應用八、小結(jié)參考文獻引言積分的對稱性包括重積分、曲線積分、曲面積分的對稱性.在積分計算中

3、，根據(jù)題目的條件,充分利用積分區(qū)域的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性，往往可以達到事半功倍的效果 .下面我將從積分對稱性的定理及結(jié)論,再結(jié)合相關(guān)的實例進行具體探討.本文從積分區(qū)域平行于坐標軸、對角線的直線的對稱性,平行于坐標面的平面等的對稱性定義二、相關(guān)的定義定義1:設(shè)平面區(qū)域為D ,若點(X, y)忘D = (2a -x, y),則D關(guān)于直線x = a對稱，對稱點（X, y）與（2a -x, y）是關(guān)于x = a的對稱點.若點（x, y） Du （x,2b - y）U D（x, y）,則D關(guān)于直線y = b對稱，稱點（x, y）與（x,2b - y）是關(guān)于y = b的對稱（顯然當a=O,b=O對D關(guān)

4、于y , x軸對稱）.定義2:設(shè)平面區(qū)域為D ,若點（X, y）亡D U （y a,x a）,則D y = x + a對稱,稱點(X, y)與(y - a, X -a)是關(guān)于y = x +a的對稱點.若點(x, y)丘Du (a y,a x)忘D，貝U D關(guān)于直線y = ±z對稱.注釋：空間區(qū)域關(guān)于平行于坐標面的平面對稱；平面曲線關(guān)于平行于坐標軸的直線.空間對稱區(qū)域.對稱；平面曲面以平行于坐標面對稱，也有以上類似的定義定義3: （1）若對V（X, y,z）0,3點（x,y-zQ,則稱空間區(qū)域0關(guān)于xoy面對稱;利用相同的方法，可以定義關(guān)于另外兩個坐標面的對稱性 若對F（X, y,z）

5、忘O, 3點（x,y-zQ ,則稱空間區(qū)域O關(guān)于z軸對稱；利用相同 的方法，可以定義關(guān)于另外兩個坐標軸的對稱性 若對F（x, y,z） 0 , 3點（-X,-y,Z） Q ,則稱空間區(qū)域0關(guān)于坐標原點對稱. 若對P（x, y,z） 0 , 3點（y,z,x）,（z,x,則稱空間區(qū)域。關(guān)于x, y,z具有輪換對稱性.定義 4:若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a,a）上連續(xù)且有f（x-a） = f（x + a）,則f（x）關(guān)于X = a對稱當且僅當a = 0時f (X)= f(X),則f (x)為偶函數(shù).若f (a x) = f (a + x),則f (X)為關(guān)于(a,0 )中心對稱.當且僅當a=0時有f(

6、x) = -f(x)則f(x)為奇函數(shù).若f(X a) = f(X +a)且 f (a x) = - f (a + X)則 f (x)既關(guān)于 x = a對稱，又關(guān)于(a,0 )中心對稱.定義 5 若 n 元函數(shù) f (X1,X2 " ,Xn)三 f (Xi,XT，"，Xn,X1；，XiJ,( i= 1,2,，n),則稱n元函數(shù)f(Xi，X2，Xn)關(guān)于Xi,X2，Xn具有輪換對稱性.定義 6：若 V P(X1,X2Xn)忘 Dn U Rn( n 亡 N)有 p i(Xi,XiH4,，Xn,Xi；,x )-Dnij/(i =1,2，n)成立，則稱Dn關(guān)于p(Xi,X2，,Xn

7、)具有輪換對稱性.三、重積分的對稱性(一)對稱性在定積分中的應用利用函數(shù)圖形的對稱性可簡化定積分的計算.在特殊情況下，甚至可以求出原函數(shù)不是初等函數(shù)的定積分.因此掌握對稱性在積分中的方法是必要的.下面首先給出一個引理，由此得出一系列的結(jié)論，并通過實例說明這是結(jié)論的應用引理 設(shè)函數(shù)f(X)在la-h,a+h上連續(xù)，則有a +h |-1Jf (x)dx = t f (a + X)+ f (a -x) dx(1)證令X = a +t,有adhhhf f(x)dx= f(a+t)dtf(a +t)dta -h“ -h“000hL f (a + t)dt = -( f (a -u)du = t f (a

8、 -u)du將(3)式帶入(2)式,并將積分變量統(tǒng)一成 X ,則a -hhri仁 f (x)dx = L f (a +x) + f (a - x)dxdx特別地，令a =0 ,就得公式f (x)dx 打f(x)+ f(_x)dx由函數(shù)奇偶性的定義及上式，易知定理1設(shè)函數(shù)f (X)在Lh,h 上連續(xù)，那么hh2) 若 f(x)為偶函數(shù)，則 f f(x)dx=2f f(x)dx*0h3) 若f(x)為奇函數(shù)，則r f(x)dx = O_h次結(jié)論有廣泛的應用，如能恰當?shù)厥褂?，對簡化定積分的計算有很大的幫助,求"付cosxdx申 x2 +13解:雖然被奇函數(shù)非奇非偶，但可以把它分成兩部分x、

9、rcosx禾n cosx，前一部分X2中1是奇函數(shù),后一部分是偶函數(shù)，運用定理1的結(jié)論簡化其計算.cosxdx+ 巴 cosxdxJ A22 02 cosxdx=2注：而對于任 意區(qū)間上的定積分問題，可以平移 到對稱區(qū)間Lh,h上求解。F面我們把定理1推廣到更一般的情況.定理2 設(shè)函數(shù)f (x)連續(xù)aTh1 )若y=f(x)的圖像關(guān)于直線 x=a對稱，即f(x-a)=f(x +a)，則對一切 h >0，有 J f(x)dx=2 J f (x)dx2)若y = f(x)的圖像關(guān)于原點(a,0 )中心對稱，即f(a-x)=-f(a + x)，則對切 h >0，, a 4h有仁 f(x)

10、dx = O證1)由(1)式及已知條件f(X a) = f (x+a)，有a 令ha4hf f (x)dx=2 f f(a+x)dx=2f f(t)dta -h0"o2)有(1)式及已知條件 f (a - X)= - f (a + X)，有adhhf f (x)dx = Odx =0 a 鼻 '/- 0曲 c + , 戶 xsin x , 例2求I = f 廠dx'0 1+cos2x因此汽丫關(guān)于點(；,0)點中心對稱,21 +cod x有區(qū)間b,兀關(guān)于X '對稱，故由定理221 + cos x解：由于sinx及 1 c都關(guān)于xJ對稱，(X-兀)關(guān)于C ,0)點

11、中心對稱,2 2 224I=f xsi巴 dx=f1 +cod X 0(x-)+ ' sinx2 21 + cod2xdx =4(X -二)sin x1+cod2x 2于是2 的 2)有 1=(2本例中的被積函數(shù) xsinx(1 +COS2 x)原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以不能直接利用牛頓一F面來看看兩個函數(shù)圖萊布尼茲公式，但利用對稱性卻能容易地求出其值以上我們研究的是一個函數(shù)圖像本身的對稱性在積分中的應用, 像之間的對稱關(guān)系是如何在定積分中的應用的定理3設(shè)f(x)，g(x)都是連續(xù)1)若f (x)與g(x)關(guān)于直線X = a對稱，即f(X - a) = g(x + a)，則對一切h &g

12、t;0，a -ha 卅有 r f(x)dx=2j g(x)dxa ho2)若f (x)與g(x)的圖像關(guān)于原點(a,0)中心對稱，即f(a-x) =-f(a + x)，則對a卅a +一切 h >0，有f(x)dx=f g(x)dxa _ha _hdxx+寸a2 -x23T解：設(shè) X =asint，0，則dxJIsin t而由定理3可證2 一dt0 sin t + cost'0JI2"s總fdr2dtx+Ja2 -x2costdt，故sin t + cost亠dtSint + cost兀故I =注：定理3可以推廣到更一般的情況定理4設(shè)f (x)與h(x)都連續(xù)，則1)2)

13、aafu(x)dx=T fu(a-x)dx；aax fu(x) + fu(a -x)dx = a L fu(a-x)dx.IT nn、丄苗譜 sin X cos X . 計算例5計算I = JJ（xy + y3）dxdy，其中D為由dx0 1 -3sinx cosx nnn n加人一、 sin xcos X 兀 、 cos x-sin x解：令 f(x)=，貝y f(-x)=1 -3si nx cosx21 -3s in x cosx所以f(X)= f ( -x) = 0 ,2由定理3得兀 nn冷 Sin x-cos X , c f2dx = 0.乜 1 -3sinx cosx我們可以看出這些

14、都是教材中常見的等式，我們使用對稱性給出了它們的簡潔證明，并 有一定的規(guī)律可循.另外，取各種連續(xù)函數(shù)f（X），又可以從已知的公式中到處許多公式（二）重積分中的對稱性定理及應用在二重積分的計算中利用對稱性不僅要求積分區(qū)域D具有對稱性，而且被積函數(shù)對于2y =2x與X = 2圍城的區(qū)域.解：如圖所示 幾，積分區(qū)域D關(guān)于X軸對稱,且圖形待定區(qū)域D也要有有對稱性.但在特殊情況下區(qū)域 D不對稱，或者關(guān)于對稱區(qū)域D的被積函數(shù)不具備對稱性，也可以經(jīng)過一些變化使之能用對稱性來計算定理5設(shè)二元函數(shù)f（x,y）在平面區(qū)域D連續(xù)，且D關(guān)于X軸對稱，則1) 當 f(X,y) = f(X, y)(即 f (x, y)是

15、關(guān)于 y 的奇函數(shù))時，有 JJ f (x, y)dxdy = 0D2）當f （x,y） = f（X, y）（即f（X, y）是關(guān)于y的偶函數(shù)）時，有JJf（x, y）dxdy =2jjf（x,y）dxdy0,其中D1是由x軸分割D所得到的一半?yún)^(qū)域.DD1f(x,y)二(xy + yD) = f(x, y)即f（X, y）是關(guān)于y的奇函數(shù)，由定理 5有3y+y類似地推出下面的定理:定理6設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在平面區(qū)域D連續(xù)，且D關(guān)于y軸對稱，則若 f (_x, y) = f(X, y)，則 JJ f (x, y)dxdy =2 JJ f (x, y)dxdy002若 f (X, y) = f

16、(X, y)，則 JJ f (x, y)dxdy =O0其中02是由y軸分割D所得到的一半?yún)^(qū)域.Onnof(u)例6計算I = JJxy f (x +y )dcr ,，其中0為y = x， y = 1所圍成的區(qū)域,0是連續(xù)函數(shù).圖形待定解：如圖 幾，作輔助線y =x3，它把區(qū)域D分成01，02兩部分，其中 01 =*x, y JO <y <1,V7<x <引'y, 02 =qx,y )|0<x<1,-x3 < y <x3,在 0i322F(x,y )=xy f(X +y )滿足 F (x, y) = F (x, y)，而 0i 關(guān)于 y

17、軸對稱，JJxy'f(X2 + y2)db = O.01在 02上，F(xiàn)(x,y) = F(x, y)，且 02關(guān)于 x軸對稱，因而 JJxy3f(x2 + y2)db=O02因此 I = JJxy3f(x2+y2)db = JJ + JJ =O02001例 7 計算二重積分 I = U(|x|+| y|)dxdy，其中 0 : |x|y20解：如圖所示 幾，0關(guān)于x軸和y軸均對稱，且被積函數(shù)關(guān)于 x和y是偶函數(shù)，即有f(x,-y) = f(X, y) = f (x, y)由定理5,6，得I = JJ(| x| +| y|)dxdy =4JJ(|X| + | y|)dxdy001其中01

18、是0的第一象限部分，2有對稱性知，川x | dxdy =川y | dxdy,0101故 I = 4 JJ (I X I +1 y |)dxdy = 4 U(| X | +1 y |)dxdy = 8川 x| dxdy =-圖形待定D1D1D13定理7設(shè)平面區(qū)域D =Di +D2,且Di, D2關(guān)于原點對稱，則當D上連續(xù)函數(shù)滿足1) f(X,y) = f(X, y)時，有 JJf(x, y)dxdy=2 JJf(x, y)dxdyDD12) f(x,-y) =f(x, y)時，有 JJf (x,y)dxdy = O.D例 8 計算二重積分 jj(x3 + y3)dxdy，區(qū)域 D ： x2 +

19、y2 <1Df (x, y) =x3 + y3，有解：如圖所示 幾，區(qū)域 D關(guān)于原點對稱，對于被積函數(shù)3333f(X,y) =(X )+(-y ) = (X +y ) = -f(x, y)由定理7,得JJf(X, y)dxdy = O定理8設(shè)二元函數(shù)Df(x, y)在平面區(qū)域D上連續(xù)，且D=D1 +D2，且D, D2關(guān)于直線y = x對稱，則1)2)3)JJ f (x, y) dxdy =DJJ f (x, y)dxdy = JJ f (x, y)dxdy .D1D2當 f (y,x) =f(X, y)時，有 JJf(X, y)dxdy = O.D當 f (y, X)= f(X, y)時

20、，有 JJ f(X, y)dxdy = 2 JJ f(X, y)dxdyDD1JJf (y,x)dxdy;D2 2例9求I =仃(務+每)dxdy，區(qū)域D : X2 + y2蘭1Da b解：積分區(qū)域關(guān)于直線 y=x對稱，由定理8，得2 2 2 22x+2)dxdyb2 2 .22 2故匕帥"：呼；2+帥吧(；2111221112兀 1 3匚(了+戶戶+y)dxdy匚(了+了孫叭rdr相似地，我們可得以下定理:定理9設(shè)二元函數(shù)f (x, y)在平面區(qū)域D上連續(xù)，且D = 04+02，且D1, D2關(guān)于直線y = _x對稱，則1) f(y,-x) =f(x, y)時，有 JJf (x,y

21、)dxdy = 0;D2) f(y,-x) = f (x, y)時，有 JJ f (x, y)dxdy =2 JJ f (x, y)dxdy .DD1注：在進行二重積分計算式， 我們要善于觀察被積函數(shù)的積分區(qū)域的特點，既要注意被積函數(shù)的奇偶性也要注意積分區(qū)域的對稱性.恰當?shù)乩梅e分中的對稱性，可以避免計算的 繁瑣，時二重積分的解答大大簡化重積分的對稱性定理及應用在三重積分中我們也有類似的結(jié)論定理10設(shè)空間有界閉區(qū)域 O = 0102,01與O 2關(guān)于xoy坐標平面對稱，函數(shù)f(x, y, z)在0上連續(xù),那么:1)若f (x, y, z)是關(guān)于z的奇函數(shù)，則 川f(x,y,z)dv=0Q2)若

22、 f (x, y, z)是關(guān)于 z 的偶函數(shù)，則 川 f(x,y,z)dv=2川 f (x,y,z)dv QQ同樣地，若積分區(qū)域分別關(guān)于yoz, zox坐標平面對稱，也有類似的結(jié)論:推論11 )若f (x, y, z)是關(guān)于x的奇函數(shù)，則川 f(x,y,z)dv = OQ2)若f(x,y,z)是關(guān)于x的偶函數(shù)，則川 f (x, y,z)dv = 2川 f (x,y,z)dv QQ推論21)若f(x, y,z)是關(guān)于y的奇函數(shù)，則川 f (x,y,z)dv = O Q2)若f(x, y,z)是關(guān)于y的偶函數(shù)，則zIn(X2 +例10計算三重積分I =仃 一dv，其中0是由球面Q x+y+z +X

23、2 +y2 +z2 =1所圍成的空間閉區(qū)域.所以解：積分區(qū)域 O關(guān)于xoy面對稱，被積函數(shù)zIEWt是z的奇函x2+y2+ z2 +1r嚴（宀宀宀1）Qx2+y2+z2 + dV=°定理10 若空間區(qū)域0具有輪換對稱性,若fy（X, y, z）=fy, z,x） = f1（ z,x,y）,fff f （x, y,z）dv=3nr f1（x,y,z）dv.在有些問題中，尤其對于三重積分，在被積函數(shù)及積分區(qū)域都沒有對稱性的時，而被積.下面我們給出例函數(shù)具有輪換對稱性，我們利用輪換對稱性可以使問問題得到簡便的計算例11求I2 2 2 2,.2=fff（x+ -z2）dxdydz,其中 V

24、是橢球體 篤 +7 a b cayb2厶1.c2解：由于2 2 2=川ydxdydz 川dxdydz JJJdxdydz,'v' a/ b'V、c八a x2y2其中川一2dxdydz= f dx fdydz,這里V表示橢球面為2-二avXb2+ zC22蘭12a它的面積為兀（bj1-5（cj1-）"bc（1-¥）.b a aa于是2Xra兀be 2川pdxdydz= f pxV aa2）4（1 -x 'dx = 兀abc.15同理利用輪換對稱性可得V24川七 dxdydz =兀 abc, V b15f f f ydxdydz =兀 abcV&

25、#39; C15所以I =川（牛 +占+ 勺 dxdydz = 3（£ 沢 abc） =4 江abc./a b c155四、對稱性在曲線積分中的定理及應用(一)第一型曲線積分1、平面曲線積分f(x, y)ds的計算若曲線L關(guān)于X軸對稱，記L位于X周上半部分的L1，則:3) 當 f(x,y)= f(x,y)時，JLf(x,y)ds=2Lf(x,y)ds4)當 f(X,y) = f(X, y)時，f(x, y)ds = 0同理能得到關(guān)于Y軸對稱的式子.例 12 求 I =qjx2 +y2ds，其中 L 為圓周 x2+y2 = R2. L解：因為曲線 L關(guān)于y軸對稱，記位于 y軸上方部分為

26、 Li，而被積函數(shù)滿足:所以I i&x2+y2ds = 2qJx2 + y2ds = 2R2LL1注:對于一般情況我們可以得出引理引理：設(shè)L關(guān)于直線x=a對稱的一條曲線弧，則1)若 f(X, y) = f (2aX, y)，則 f f(x,y)ds = O.2)若 f(X, y) = f (2a - X, y)，則(f (x, y)ds = 2 f (x, y)ds，其中Li =(x,y嚴 L|x<a.例13計算I = Jl (y + 3y5 - x)ds ,其中L是曲線(x-2)2+y2=1所圍成的 回路.解：因為L關(guān)于x軸和直線X =2對稱，故I = y+ 3y5ds-(x-

27、2)ds-2ds設(shè) f(X, y) =y + y5，則 f (x,y) = -f (x, y)；設(shè) g(x,y) =x 2，則g(4 x,y) =x-2 = g(x, y).所以有I = y+3y5ds- (x-2)ds- 2ds = 0+0- JL2ds = 8江.2、空間曲線積分 F(x,y,z)ds的計算若積分曲線r關(guān)于xoy面對稱，記r位于xoy面上半部分為r1，則1)當 F(x,y,z) =F(x,y,z)時，F(xiàn)(x, yz)dF(x, y, z)ds2)當 F(x, y,z) = -F(x, y, z)時，$F(x,y,-z)ds = 0同理可得關(guān)于yoz , zox面對稱的式子.

28、例題略.(二)第二型曲線積分對于第二型曲線積分還需要我們考慮投影元素的符號.當積分方向與坐標方向之間的夾角小于 二時，投影元素的符號為正，否則為負，就f(x, y)dx而言，只需考察f(x, y)dx2在對稱點的符號.但第二類曲線積分有關(guān)對稱性的結(jié)論與第一型曲線積分結(jié)論恰好相反:定理11 設(shè)積分曲線L是平面分段光滑曲線，若曲線L關(guān)于x軸對稱，且L在x軸上半部分與下半部分走向相反，曲線L1, L2分別是L位于X軸上、下方的部分，則1) L f (x, y)ds =0，當 f(X, -y) = f (x, y)時;2) L f (x, y)d2 L f (x, y)ds,當 f (x,-y) =f

29、 (x, y)時.其中，f(X,y) = f (x, y)表示 f (x, y)是 y 的偶函數(shù)，f (x, y) = -f (x, y)表示 f (x, y)是y的奇函數(shù)。注：當定理中兩部分的方向相同時則結(jié)論與定理相反推論：設(shè)L是xoy平面上關(guān)于直線 x = a對的一光滑曲線弧，L L2，任意 (X, y) L，有(2a -X,滬 L?,且L, L?在y軸投影方向相反，則1)若 f(X, y) = f (2a -x, y),則f (x, y)ds =02 )若 f(X, y) = f (2a X, y),則f (x, y)ds =2 ( f (x, y)ds定理12若積分曲線T關(guān)于x, y

30、, z具有輪換對稱性，即f (x, y, z)dx,J f(x, y,z)dz= J f (x,y,z)dy =則f(X, y, z)ds = 3 f(x,y,z)dx.2 2 2例14計算I =(y + x)cosxydx ,其中L為圓周X +y =1,以逆時針方向.2解：令 f(x, y)=(y +x)cosxy , (x, y)亡 L,2 2 2 2將 L分為 Li :x +y =1,y>0與 L2:x +y =1,y<0兩部分.對于對稱點(X, y), (X, yF L，有f (x, y) = f (xy),而L, L?兩部分關(guān)于y軸對稱，且方向相同，所以2I = (y +

31、x)cosxydx =0.例15設(shè)L為球面X2 + y2 + Z2 =1和平面X + y + Z = 0的交線，若從x軸正向看去,L時沿逆時針方向的，試計算下列第二型曲線積分：I = (xdx + ( ydy + zdz2 2 2解：把 y = x -Z代入 X +y +z = a2 2 2,得 2x +2z +2xz = a .令 x = u + v,2 2uV ,z = u-v,可得+=1命2審所以可取au =-cos 日76aV = sin0 ,0 十0,2叮 V2由此可知L的參數(shù)方程為X = -cosT + 阜sin 84642y =-字cos8 ,V6aaz = cos日一 -f=

32、sin9 , 9 忘0,2兀 J6V22 2 -a3由輪換對稱性可知因為ydy =土a2,t cossi門訕總=0,xdx = L ydy = (zdz = 0，所以I = xdx + ydy + zdz = 0 .五、曲面積分的對稱性(一)第一型曲面積分的對稱性定理及應用定理13若積分曲面S可以分成對稱的兩部分 S=S1 +S2，在對稱點上被積函數(shù)的絕對值相等，即光滑曲面 S關(guān)于xoy (或xoy,或xoy )坐標面對稱，則有1)若在對稱點上f (x, y, z)取相反的符號，即f (X, y, z)關(guān)于z (或x,或y)的奇函數(shù),則，LS f(x,y,z)dS =0.2）在對稱點上f （x, y, z）取相同的符號，即f （x, y, z）關(guān)于z （或x ,或y ）的偶函數(shù),則，JSf(x,y,z)dS =2仏 f(X, y,z)dS.推論1若光滑曲面S可以分成對稱的兩部分S = S1 + S2,且關(guān)于原點對稱，則1) JS f (X, y, z)dS = 0 ,