小高奧數(shù)幾何三角形五大模型及例題解析

1、三角形五大模型【專題知識點概述】本講復習以前所學過的有關(guān)平面幾何方面的知識，旨在提高學生對該部分知識的綜合運用能力。重點模型重溫一、等積模型 等底等高的兩個三角形面積相等； 兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比;兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比;如右圖Si :S2 a:b夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖SACD Sx BCD ； 反之，如果Saacd Sabcd，則可知直線AB平行于CD . 等底等高的兩個平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）； 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半； 兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊

2、形底相等，面積比等 于它們的高之比.、等分點結(jié)論（“鳥頭定理”）2 11 如圖，三角形AED占三角形ABC面積的X -=-346三、任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”) Si : S=S : S3 或者 Si X S3=SX S4AO： OC=(Si+S)：( S+S)梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”) Si : S=a ： b S : S3: S : S= a : b: ab : ab ; S的對應份數(shù)為(a+b) 2模型四：相似三角形性質(zhì)如何判斷相似(1) 相似的基本概念：兩個三角形對應邊城比例，對應角相等。(2) 判斷相似的方法：兩個三角形若有兩個角對應相等則這兩個三角形相似;兩個三角

3、形若有兩條邊對應成比例，且這兩組對應邊所夾的角相等則兩個三角形相abchABCHSi :S=a2:A2SA ABGSAAGG SA BGESA GEC= BE:ECSA BGASA BGG SA AGFSA GFC= AF:FC;SA AGCSA BCG= SA ADGSA DGG ADDB模型五：燕尾定理【重點難點解析】1模型一與其他知識混雜的各種復雜變形2. 在紛繁復雜的圖形中如何辨識“鳥頭”【競賽考點挖掘】1.三角形面積等高成比2.“鳥頭定理”3.“蝴蝶定理”【習題精講】【例1】（難度等級探）如圖，長方形ABCD勺面積是56平方厘米，點E、F、G分別是長方形ABCD邊上的中點，H 為AD

4、邊上的任意一點，求陰影部分的面積.【例2】（難度等級沁如右圖，ABFE和CDEF都是矩形，AB的長是4厘米，BC的長是3厘米，那么圖中陰影部分的面積是平方厘米.【例3】（難度等級沁如圖，在三角形 ABC中, BC=8厘米，AD=6厘米，E、F為AB和AC的中點，那么三角形EBF的面積是多少平方【例4】（難度等級探） 如圖，在面積為1的三角形ABC中，DC=3BD,F是 AD的中點，延長CF交AB邊于E,求三角 形AEF和三角形CDF的面積之和?！纠?】（難度等級探）如右圖BE= BC，CD= AC，那么三角形AED的面積是三角形ABC面積的幾分之幾ADE C證明【例6】（難度等級沁如圖所示，四

5、邊形 ABCD與 AEGF都是平行四邊形，請你它們的面積相等.【例7】（難度等級沁如圖，在長方形 ABCD中, Y是BD的中點，Z是DY的中點，如果 AB=24厘米，BC=8厘米,求三角形ZCY的面積.【例8】（難度等級探）ECH的面如圖，正方形ABCD勺邊長為4厘米，EF和BC平行, 積是7平方厘米，求EG的長?！纠?0】（難度等級探） 如圖已知四邊形 ABCD和CEFG都是正方形，且正方形影三角形BFD的面積為多少平方厘米？【例11】（難度等級探）如圖，一個長方形被切成 8塊，其中三塊的面積分別為12，23, 32,則圖中陰影部分的面積為？ABCD勺邊長為10厘米，那么圖中陰【例12】（難

6、度等級如圖，平行四邊形 ABCD周長為75厘米，以BC 底時高是14厘米；以CD為底時高是16厘米。 平行四邊形ABCD勺面積。為求【例13】（難度等級如右圖，正方形ABCD勺邊長為6厘米， ABE ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積.【例14】（難度等級FB如圖，三角形ABC被分成了甲（陰影部分）、乙兩部分,BD=DC=4BE=3 AE=6甲部分面積是乙部分面積的幾分之幾【例15】（難度等級 某公園的外輪廓是四邊形 ABCD被對角線AC BD分成四個部分， AOB面積為1平方千米， BOC面積為2平方千米， COD勺面積為3平 公園陸地的面積是6.92平方千米，求人工

7、湖的面積是 方千米B方千米，多少平【例16】（難度等級探） 圖中是一個正方形，其中所標數(shù)值的單位是厘米問：陰影部分的面積是多少平方厘米【作業(yè)】形1. 如圖，三角形 ABC中，DC 2BD , CE 3AE，三角ADE的面積是20平方厘米，三角形ABC的面積是多少2. 如右圖所示，在長方形內(nèi)畫出一些直線，已知邊上有 塊面積分別是13, 35, 49.那么圖中陰影部分的面積是 少3. 右圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊厘米，求三角形ABC的面積。4. 女口圖，平行四邊形 ABCD BE=AB CF=2CB GD=3DC HA=4AD平行四邊形 ABCD勺HBEAFAFFB面積是2,求平行

8、四邊形ABC與四邊形EFGH積比.15. 如圖，在 ABC中，延長 BD=AB CE= BC，2F是AC的中點，若 ABC的面積是2,則厶DEF的面積是多少【例1】（難度等級探） 如圖，長方形ABCD勺面積是56平方厘米，點E、F、G分別是長方形ABCDi上的中點，H 為AD邊上的任意一點，求陰影部分的面積.半,【分析與解】如右圖，連接BH HC，由E、F、G分別為ABCD三邊的中點有 AE=EB BF=FC CG=CD因此S1=S2, S3=S4, S5=S6,而陰影部分面積=S2+S3+S6，空白部分面積=S1+S4+S5.所以陰影分面積與空白部分面積相等，均為長方形的一即陰影部分面積為2

9、8.的長【例2】（難度等級沁如右圖，ABFE和CDEF都是矩形，AB的長是4厘米，是3厘米，那么圖中陰影部分的面積是 平方厘米.【分析與解】上排4個陰影三角形的高都等于 BF,底邊之和恰好為AB,他們的面積之和為-BF AB ;2下排4個三角形的高都等于CF,底邊之和恰好為CD他們的面積221 BFAB1CFAB1BC2221 1之和為一 CF CD CF AB所以陰影部分面積為：1AB 3 4 6（平方厘米）.2分別厘米【例3】（難度等級沁如圖，在三角形 ABC中, BC=8厘米，AD=6厘米，E、F為AB和AC的中點，那么三角形EBF的面積是多少平方【分析與解】1S ABC .又E是21首

10、先 ，S ABC平方厘米，而F是AC中點，所以S ABF21 1AB中點，所以 S EBF 二 S ABF S ABC6平方厘米.2 4【例4】（難度等級探） 如圖，在面積為1的三角形ABC中，DC=3BD,F是 AD的中點，延長CF交AB邊于E,求三角 形AEF和三角形CDF的面積之和。【分析與解】連接DE,于是三角形AEF的面積=三角形EFD的面積，所求被轉(zhuǎn)化為三角形 EDC勺面積。 因為F是AD中點，所以三角形AEC的面積和三角形EDC勺面積相等，設S BDE為1份,貝U S AEC=S EDC為3份因止匕S ABC-共7份，1 3每份面積為丄 所以S EDC占 3份為-。77【例5】（

11、難度等級 如右圖BE= BC CD= AC,那么三角形AED的面積是三角形 ABC面積的幾分之幾【分析與解】上圖中，三角形 AEC與三角形ABC的高相等，而BE= BC,于是EC= BC，基 2SABC 3 21所以，三角形AED的面積=-X三角形AEC的面積=-X X三角形ABC的面積=1又由于三角形AED與三角形AEC的高相等，而CD=- AC,于是4AD=3AC,Saed -4X三角形ABC的面積【例6】（難度等級沁如圖所示，四邊形ABCD與 AEGF都是平行四邊形，請你證明它們的面積相等.AEC 4 3【分析與解】連接BE顯然有 SABE2Sabcd，sabeSaeGF2所以Sabcd

12、Saegf【分析與解】【例7】（難度等級沁如圖，在長方形 ABCD中, 丫是BD的中點, 求三角形ZCY的面積.【分析與解】Sabcd AB BC 192平方厘米Z是DY的中點，如果 AB=24厘米，BC=8厘米,的面積的邊長為因為丫是BD中點，Z是DY中點，所以【例8】（難度等級探） 如圖，正方形ABCD勺邊長為4厘米，EF和BC平行，ECH A 是7平方厘米，求EG的長。E【分析與解】1 1丄 X EGX AE +1 X EGX EB = 7 平方厘米 22即1 X EGX AB=7平方厘米；EG=3.5厘米2【例10】（難度等級BFD的面積為多少平方厘米？匸-*_如圖已知四邊形 ABCD

13、和CEFG都是正方形，且正方形 ABCD 10厘米，那么圖中陰影三角形【分析與解】連接CF由ABC環(huán)口 CEFG都是正方形有 BDC DCF 45 所以BD PCF .等高由平行線間距離相等知三角形 BDF和三角形BDC同底所以S BFDS BCDSabcd250【例11】（難度等級如圖，一個長方形被切成8塊，其中三塊的面積分別為12, 23, 32,則圖中陰影部分的面積為？【分析與解】如右圖，已知a+b+x=23+a+32+12+b所以x=23+32+12x=67.【例12】（難度等級探） 如圖，平行四邊形ABCD周長為75厘米，以BC為底時高是14厘米；以CD為底時高是16 厘米。求平行四

14、邊形 ABCD勺面積。BCX 14=CDK 16, BC CD=16 14,757516BC+CD75 , BC=75 X 16=202 216 14ABCD面積=14X 20=280 （平方厘米）【例13】（難度等級如右圖，正方形ABCD勺邊長為6厘米， ABE ADF與四邊形AECF勺面積彼此相等，求以四邊形三分之一,三角形AEF的面積.【分析與解】因為 ABE ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，所AECF的面積與 ABE ADF的面積都等于正方形面積的也就是:在厶ABE中，因為 AB= 6.所以BE= 4,同理DF= 4,因此CE= CF= 2, ECF的面積為 2X 2-2= 2.

15、所以AEF S四邊形AECF SA E（F =丄S甲 S ABC S ABC , S乙 S ABC S甲 3 26 2 = 10 （平方厘米）【例14】（難度等級探）BD=DC=4如圖，三角形ABC被分成了甲（陰影部分）、乙兩部分,BE=3 AE=6,甲部分面積是乙部分面積的幾分之幾【分析與解】1由 BD DC BD=DC有 BD -BC ;由 BE 213，AE 6，有BE 3AB.由鳥頭定理有 6Sabc，故 %【例15】（難度等級某公園的外輪廓是四邊形 ABCD被對角線AC BD分成四個 部AD COD求人分， AOB面積為1平方千米， BOC®積為2平方千米, 的面積為3平方

16、千米，公園陸地的面積是6.92平方千米, 工湖的面積是多少平方千米【分析與解】由任意四邊形的蝴蝶定理有S AOB ScOD S AOD S boc所以Saod 13 21.5平方千米，故公園總面積為1 3 2 1.5 7.5平方千米，人工湖面積為7.5 6.92 0.58平方千米【例16】（難度等級圖中是一個正方形，其中所標數(shù)值的單位是厘米問：陰影部 面積是多少平方厘米？【分析與解】如下圖所示，為了方便所敘，將某些點標上字母，并連接BGx，則 ABF的面積為3x，設厶AEG的面積為x，顯然 EBG BFG FCG的面積均為1100Sabf - 20 10 100即x ，那么正方形內(nèi)空白部分的面2 34004x3所以原題中陰影部分面積為20 20 400800 （平方厘米）3 3有三塊【作業(yè)】1.如圖，三角形ABC中，DC 2BD