巧求最值問題種方法

1、43 / 4巧求“最值”問題八種方法江西省井岡山市龍江中學(xué)(343600) 劉定邦求最大值與最小值是中學(xué)數(shù)學(xué)常見的一種題型，在數(shù)學(xué)競賽中作為一個(gè)靚點(diǎn)大量存在，解 這類題有一定的難度和技巧，所以不少同學(xué)為之感嘆，這里向大家介紹一些求最值問題的方法 與技巧。一、利用配方求最值例1：若x,y是實(shí)數(shù)，則x? _xy + _3x_3y 1999的最小值是 。( 1998年數(shù)學(xué)新蕾競賽題)分析：由于是二次多項(xiàng)式，難以直接用完全平方公式，所以用配方法來解更為簡捷。1 9 9 1 ? 1 ?原式=(x _2xy y) (x _6x 9)(y - 6y 9) - 19902 2 2=1 (x - y)21 (x

2、 -3)21(y 一3尸 19902 2 2顯然有(x-y)2 > 0, (x-3)2 > 0, (y-3)2 > 0,所以 當(dāng)x-y=0,x-3=0,y-3=0 時(shí)，得x=y=3時(shí)，代數(shù)式的值最小，最小是1990;2 1例2,設(shè)x為實(shí)數(shù)，求y= x -X3的最小值。x分析：由于此函數(shù)只有一個(gè)未知數(shù)，容易想到配方法，但要注意只有一個(gè)完全平方式完不 成，因此要考慮用兩個(gè)平方完全平方式，并使兩個(gè)完個(gè)平方式中的x取值相同。由于y=x2 -2x 1 x 丄- 2 -1 = (x -1)2(、x)2 -1 ,要求y的最小值，必須有 x-仁0,且xJx二 0 ,解得 x=1,2 1于是當(dāng)

3、x=1時(shí)，y=x2 -x3的最小值是-1。x二、利用重要不等式求最值1 1例3:若xy=1,那么代數(shù)式4的最小值是 。(1997年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)x 4y分析：已知兩數(shù)積為定值，求兩數(shù)平方和的最小值，可考慮用不等式的性質(zhì)來解此題,J4=(2)2 +右2色22少2x2yx 2y1(xy)2=11 1所以：j 歹的最小值是1三、構(gòu)造方程求最值例4:已知實(shí)數(shù) a、b、c滿足：a+b+c=2, abc=4.求a、b、c中的最大者的最小值 .(2003年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)分析：此例字母較多，由已知可聯(lián)想到用根與系數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造方程來解。解：設(shè)c為最大 者，由已 知可知，c>0,得：a+b

4、=2-c, ab= ,則a、b可以看作c2 424x2 _(2-c)x 0的兩根，因?yàn)閍、b是實(shí)數(shù)，所以(2-c)2 -4亠一 0 ,即 cc3 2c -4c 4c -16 _0, (c 2)(c-2)(c-4) _0,得 c乞 2 或c _ 4,因?yàn)?c 是最大者，所以 c的最小值是4.四、構(gòu)造圖形求最值例5:使.X2 4 ._(8 - x)2 16取最小值的實(shí)數(shù) x的值為(2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)分析：用一般方法很難求出代數(shù)式的最值,由于x2 4 .(8匚X)216=.(x -0)2 (0 -2)2 (x - 8)2 (0 - 4)2 ,于是可構(gòu)造圖形,轉(zhuǎn)化為：在x軸上求一點(diǎn)c(x

5、,0),使它到兩點(diǎn) A (0, 2)和B (8, 4)的距離和 CA+CB最小，禾U用對稱可求出C點(diǎn)坐標(biāo),這樣，通過構(gòu)造圖形使問題迎刃而解。解：X2 4(8 -X)2 16=. (x -0)2(0 -2)2.,(x -8)2(0 -4)2 .于是構(gòu)造如圖所示。作A (0, 2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A (0,-2),令直線A B的解析式為y=kx+b.'0k+b2解得8k +b =83 8 所以 y = _ x - 2 ,令 y=0,得 x = _ .4 _即C點(diǎn)的坐標(biāo)是(8,0),所以當(dāng)x=8時(shí)，Jx2 + 4 + J(8 x)2 +16有最小值，_ _五、利用判別式求最值_x2 +6x

6、+5例6:求y=2的最小值5x +x +1解：去分母可以整理出關(guān)于x的一元二次方程，2(y-6)x -(2y -12)x(2y-10) =0,因?yàn)?x 為實(shí)數(shù)，所以0得:4 < x< 6,解得，故y的最小值是4六、消元思想求最值例 7:已知 a、b、c 為整數(shù)，且 a+b=2006, c-a=2005 , a<b,貝U a+b+c 的最大值為(2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)分析由題：由于是求三個(gè)未知數(shù)的最大值，設(shè)法將其轉(zhuǎn)化成一個(gè)未知數(shù)的形式，由題設(shè)可得b=2006-a，c=2005+a，將其代入原式得：a+b+c=a+2006-a+2005+a=4011+a又 a+b=20

7、06,a、b 均為整數(shù)，a<b,所以 a< 1002, 所以當(dāng)a=1002時(shí)，a+b+c 的最大值是 4011+1002=5013.七、禾U用數(shù)的整除性求最值例&已知a、b為正整數(shù)，關(guān)于x的方程x2 - 2ax b = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x、x2,關(guān)于y的方程y2 - 2ay b = 0兩個(gè)實(shí)數(shù)根為y1>y2，且滿足x2y2二2008,求b的最小值。(數(shù)學(xué)周報(bào)杯 2008年全國初中數(shù)學(xué)競試題)分析與解：因?yàn)榉匠?x2 - 2ax b = 0與y2 2ay b = 0有實(shí)根，所以有：(2a)2 -4b_0,即a2 _b，由根與系數(shù)的關(guān)系，得：N +X2 =2a,X1X2 =

8、b； %+y2=2a, yV2=b即+y2 = 2a =(為 +X2)= (xj+(X2)yy2 =(-Xj(-X2)解得：y1X1 或 y1 X2ly2 = -X2y2 = -X1把y1, y2的值分別代入，X1 y2 - X2 y2二2008得xj-xj -x2(-x2) =2008，或 Xj(-X2) - x2(-xj = 2008 (不成立)即 x22 _ 片2 = 2008, (x2 xj(x2 _xj =2008因?yàn)?x1 x 2a 0,x1 x2 = b 0 所以 x1 0, x2 0于是有 2a 4a2 -4b =2008 即 a .a2-b=1 502 =2 251因?yàn)閍,b

9、都是正整數(shù)，所以a =1a2 -b =5022=2512a 二 505 a = 2 或 a2 -b=1 或 a2 -b分別解得:a =1b =1 -5022或:= 502=5022或a _22或a-1 b=2-2512 b= 251= 2512經(jīng)檢驗(yàn)只有：=502,戸=251符合題意.b = 5022 T b =2512 -4所以b的最小值為：b最小值=2512 -4= 62997八、利用函數(shù)的增減性求最值例9 :設(shè)xpx2是方程2x2-4mx 2m2 3m-2=0的兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)m為何值時(shí),2 2 Xi - X2有最小值，并求這個(gè)最小值。解：因?yàn)榉匠?x2 - 4mx - 2m2 3m - 2 = 0有實(shí)根，所以2 2 2= (4m) -82m 3m - 2) _ 0,解得 m _ §由根與系數(shù)的關(guān)系得：2c2m +3m2Xi X2 2 m, x 1X2 2222223 2 7是 x1x2= (x1 x2) - 2x1 x2 =4m - (2m 3m - 2) =2( m )48-