任意空域相關(guān)Nakagami衰落復(fù)信道仿真與分析

1、任意時(shí)域相關(guān) Nakagami復(fù)衰落模型朱秋明，徐大專，呂衛(wèi)華，陳小敏（南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京210016 ）摘要：針對(duì)傳統(tǒng) Nakagami 仿真模型難以提供精確時(shí)域自相關(guān)性問(wèn)題，提出一種基于信道分解技術(shù)和諧波疊加方法的Nakagami復(fù)衰落仿真模型，該模型適用于任意衰落參數(shù)且可指定時(shí)域自相關(guān)性。文中首先推導(dǎo)了瑞利和Nakagami 隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)及自相關(guān)性的內(nèi)在聯(lián)系，然后給出Nakagami 包絡(luò)的瑞利分解改進(jìn)模型，最后結(jié)合諧波疊加方法產(chǎn)生任意時(shí)域相關(guān)的Nakagami復(fù)衰落信道。仿真結(jié)果表明，新模型輸出信道時(shí)域自相關(guān)系數(shù)更精確，包絡(luò)相位分布等其它統(tǒng)計(jì)特性均與理論結(jié)果一致。關(guān)

2、鍵詞： 信道建模； Nakagami 衰落；瑞利衰落；時(shí)域相關(guān)性；包絡(luò)和相位分布中圖分類號(hào)：TN391文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： AA Novel Complex Nakagami Fading Model with Arbitrary Temporal CorrelationZHU Qiu-ming, XU Da-zhuan,LV Wei-hua, CHEN Xiao-min（College of Electronic Information Engineer, NUAA, Nanjing, 210016, China）Abstract: Traditional Nakagami fading model

3、s can not provide satisfactory temporal correlation. Based on channel decomposition technique and sum-of-sinusoids (SOS) method, a novel complex Nakagami fading channel simulator was proposed. The new model allows for arbitrary fading parameter and prespecified temporal correlation. In this paper, w

4、e firstly derived the relationships between Rayleigh and Nakagami random process, and then presented a modified Nakagami envelope decomposition model by Rayleigh processes. Finally, arbitrary temporal correlated Nakagami fadings are generated combining with SOS method. Simulation results verify that

5、 the output channel of new model has more accurate autocorrelation coefficient than other models, and the statistical properties, such as envelope and phase distributions, are also very close to the theoretical results.Key words: channel modeling; Nakagami fading; Rayleigh fading; temporal correlati

6、on; envelope and phase distributions引言Nakagami-m分布 ( 簡(jiǎn)稱 Nakagami分布 ) 通過(guò)改變 m 值可描述嚴(yán)重、 適中、輕微和無(wú)衰落等不同衰落狀況，由于與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)非常吻合12 ，近年來(lái)被廣泛用于各種無(wú)線衰落信道建模。傳統(tǒng)的Nakagami衰落信道建模通常假設(shè)相位均勻分布且基本不考慮包絡(luò)時(shí)域自相關(guān)特性35 。文獻(xiàn) 6-7分析指出信道相位分布與 m 有關(guān)且一般非均勻分布， 同時(shí)實(shí)部和虛部模值也應(yīng)服從 Nakagami分布。文獻(xiàn) 8-9 對(duì)傳統(tǒng)模型進(jìn)行改進(jìn)，其中文獻(xiàn) 8 首先基于傳統(tǒng)方法產(chǎn)生兩路 Nakagami隨機(jī)序列，然后利用秩匹配技術(shù)獲得時(shí)

7、域相關(guān)的 Nakagami復(fù)衰落信道。該模型假設(shè) Nakagami和瑞利隨機(jī)序列自相關(guān)系數(shù)相等，當(dāng)m 1時(shí)輸出信道相關(guān)性存在一定偏差； 文獻(xiàn) 9 則在逆變換模型 4 基礎(chǔ)上， 通過(guò)調(diào)整輸入高斯隨機(jī)序列的時(shí)域相關(guān)性來(lái)保證輸出 Nakagami序列的相關(guān)性，該模型精度較高但逆變換和相關(guān)性對(duì)應(yīng)關(guān)系計(jì)算非常復(fù)雜。基于信道分解技術(shù)和瑞利諧波疊加模型，本文提出了一種能夠?qū)崿F(xiàn)精確時(shí)域自相關(guān)特性的Nakagami復(fù)信道仿真模型。對(duì)于任意衰落系數(shù)情況，該模型不僅輸出包絡(luò)服從 Nakagami分布，而且相位分布非均勻且與理論表達(dá)式一致。1 Nakagami 復(fù)衰落統(tǒng)計(jì)特性Nakagami 分布可表示為1 ，2m2

8、f R( r )r, r0( m)m r 2m 1e(1)(m)其中， (m) 和E r 2 分別表示Gamma函數(shù)和衰落功率； m0 表示衰落參數(shù)， 當(dāng) m 0.5 和 1時(shí)，該分布分別退化為單邊高斯和瑞利分布；當(dāng)m1時(shí)則對(duì)應(yīng)萊斯分布，且萊斯因子與衰落參數(shù)滿足如下關(guān)系，km2m(2)m2mmNakagami 復(fù)基帶信道可表示為ZZcjZ s Rej(3)其中，包絡(luò) R 服從 Nakagami 分布，相位和正交89分量 Zc / s 的概率密度函數(shù)分別為基金項(xiàng)目：航空基金（2009ZC52036 ）f()(m) |sin 2 |m 1(4), , 還應(yīng)滿足如下等式m2m,2m22 p2222(

9、)20000(10)44224224f Z/ Z (z)m 1m z2,z4m 04 p 000c| z |( m)m / 2 e(5)最后，聯(lián)立等式 (9)和 (10) 可得s(m / 2)0( p0)或1(p0)2 Nakagami 衰落包絡(luò)mp( pm)(mp1)(11)2.1瑞利分解改進(jìn)模型mp( pm)(mp1)Clarke等提出的 SOS方法在瑞利衰落信道仿真中已得到廣泛應(yīng)用1012，歸一化瑞利復(fù)衰落模型2.2 時(shí)域自相關(guān)性映射可表示為如下形式12 ，Nakagami 包絡(luò)自相關(guān)函數(shù)具有如下性質(zhì)1 ，Y(t )ej1N2(m 0.5)11Y2 ( ) (12)(t )cos( c,

10、ntc, n )f ACF,R( )m2(m)F1(,2; m;2 N n1(6)21其中，jNs,nts,n )Y2 ( ) 對(duì)應(yīng)式 (7) 瑞利平方隨機(jī)過(guò)程的自相2N ncos(關(guān)系數(shù)； F1( a, b; c; d ) 則表示超幾何函數(shù)。1其中，N 為散射支路數(shù)目( 一般取1020) ；同時(shí)，可證明瑞利包絡(luò)自相關(guān)系數(shù)滿足以下等c/ s,n ,c/ s,n則分別對(duì)應(yīng)各支路多普勒頻率和初始式，相位。1F (1 ,1 ;1;2 ()Y當(dāng) Y (t) 的自相關(guān)特性已知時(shí)，利用最小均方誤Y ( )122(13)14/差 10 或傅里葉反變換11等方法可獲得相應(yīng)瑞利復(fù)衰落。然后，根據(jù)瑞利和Nakag

11、ami 的映射關(guān)系可根據(jù)自相關(guān)系數(shù)的定義，瑞利包絡(luò)自相關(guān)函數(shù)可表示為Nakagami 衰落包絡(luò)。獲得時(shí)域相關(guān)的1 ,1 ;1;根據(jù)文獻(xiàn) 1的定義，當(dāng) m為整數(shù)時(shí)， Nakagami1F1(Y2( )fACF ,Y ( )22(14)變量可表示成 m個(gè)獨(dú)立的瑞利變量之和，14/m4mRY12Y22Ym2(7)最后，聯(lián)立式 (12) 和式 (14)可得 Nakagami 和瑞利衰落包絡(luò)自相關(guān)函數(shù)的精確對(duì)應(yīng)關(guān)系。式中， Yi 表示獨(dú)立同分布的瑞利隨機(jī)變量，方差記為 2 02 且等于 / m 。由于式 (7) 僅適用 m 為正整數(shù)，采用文獻(xiàn) 3 信道分解技術(shù)將其推廣至任意正數(shù)情況， 則 Nakagam

12、i 變量瑞利分解模型可表示為pYk2ReYp 1 2ImYp 1 2R(8)k1式中， pm 表示 m 值的整數(shù)部分； , ,分別對(duì)應(yīng)各項(xiàng)加權(quán)系數(shù)，其中必須滿足以下條件，0, p0(9)1, p0為保證等式左右兩邊隨機(jī)量的期望和方差一致，同理，將式 (12) 改寫成自相關(guān)系數(shù)的形式，2 (m 0.5)11m2(m)F1(,; m; Y 2 ( )22R( )2 (m0.5)m 2 (m)211(m 0.5)1 F1(; m; Y2 ( )2m2,(m)22 (m0.5)1m 2 (m)m 2 (m)2 (m0.5)(15)可獲得二者自相關(guān)系數(shù)的精確對(duì)應(yīng)關(guān)系。圖 1 給出了 Nakagami 和

13、瑞利包絡(luò)自相關(guān)系數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)值仿真結(jié)果，由圖可見(jiàn)：1）當(dāng) m 1時(shí)，二者的自相關(guān)系數(shù)一致，此時(shí)Nakagami 分布退化為瑞利分布；2）當(dāng) m1時(shí)，二者一般不等且Y2 接近 0.5 時(shí)偏差最大。 文獻(xiàn) 8 假設(shè)二者相等然后利用秩匹配技術(shù)調(diào)整自相關(guān)特性，仿真輸出信道在 m1情況下時(shí)域相關(guān)性必定存在一定的偏差。1e0.9Ypol0.8RevnE0.7imm=0.2,0.5,1,3,5,10ag0.6akaN0.5dnahg0.4ielya0.3RfoCC0.2A0.100.20.40.60.810ACC of Squared Rayleigh Envelope圖1 R( ),Y( )與Y2( )

14、 的對(duì)應(yīng)關(guān)系3 Nakagami 復(fù)衰落仿真模型本文 Nakagami 復(fù)衰落仿真模型如圖2 所示，該模型首先產(chǎn)生特定自相關(guān)的瑞利復(fù)隨機(jī)過(guò)程集合，然后獲得兩路獨(dú)立的Nakagami 實(shí)隨機(jī)過(guò)程和對(duì)應(yīng)符號(hào)，最后合并成Nakagami 復(fù)衰落信道。a）求解瑞利衰落自相關(guān)系數(shù)由 式 (5) 可 知 正 交 分 量 Zc (t ) Z,s t ( 服) 從 (m / 2 , / 的2 )Nakagami 分布。假設(shè)正交分量獨(dú)F (F1 (0.5,0.5; m1; Y2)(19)Y2 )4m22(m)4m2 (m0.5)然后通過(guò)下式進(jìn)行迭代，F(xiàn) (Y 2 , i )(20)Y 2 ,i 1Y2 , iF

15、 (Y 2 , i )由圖 1可知R( )與Y 2 ( ) 的值比較接近， 因此令初始值2,0R 。仿真結(jié)果表明，當(dāng)誤差小于Y0.0001時(shí)，迭代次數(shù)一般僅為13 次。b）產(chǎn)生 Nakagami 衰落包絡(luò)利用步驟 a) 求得的瑞利自相關(guān)系數(shù)和SOS模型產(chǎn)生相互獨(dú)立的瑞利隨機(jī)過(guò)程集合，且各支路方差為var(Yi ), i1 m / 21(21)m然后，利用式 (8) 瑞利分解模型獲得兩路獨(dú)立的 Nakagami 衰落包絡(luò)。c）產(chǎn)生 Nakagami 衰落相位兩路正交支路的符號(hào)序列由下式直接產(chǎn)生，1,0p 1 (t)sign(t)(22)1,p 1 (t) 0其中，p 1(t) 表示步驟b) 瑞利

16、隨機(jī)過(guò)程集合中Yp 1 (t) 對(duì)應(yīng)的相位。立，二者模值的自相關(guān)函數(shù)為fACF ,R ( )Sign(t)Z s (t)f ACF , Z ( )f ACF ,|Zc / s |()(16)2j c,i (t )Z (t)Yc,i (t)eZ (t ) R(t )e j ( t)由于 Nakagami 復(fù)衰落時(shí)域相關(guān)性已知，求解f acf ,R , m對(duì)應(yīng)瑞利衰落自相關(guān)系數(shù)過(guò)程如下( 式中略去)f ACF , RRY 2Y(17)Ys,i (t)ej s,i (t )Z (t )Z s (t)j其中， f ACF , RR 根據(jù)二者定義求解；Y 2Y可利用式 (13)和式 (14) 求解；直接

17、求解RY2 比較困難 ( 即求式 (15) 的逆函數(shù) ) ，可采用最陡下降法。首先定義誤差函數(shù)如下，1 F1(0.5,0.5;m; Y2 )(18)F( Y2)m2(m)R12 (m 0.5)對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)為Sign(t)圖 2 Nakagami 復(fù)衰落信道仿真模型4 數(shù)值仿真與驗(yàn)證圖 3 給出了不同 m 值時(shí)，功率歸一化仿真模型輸出包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)分布，圖中實(shí)線對(duì)應(yīng)包絡(luò)和相位概率分布的理論值。由圖可見(jiàn)，仿真信道包絡(luò)和相位分布與理論值完全吻合，且有以下結(jié)論：1）當(dāng) m時(shí)信道包絡(luò)值趨向常數(shù)； 2）當(dāng)且僅當(dāng) m 1時(shí)信道相位服從均勻分布，而傳統(tǒng)模型一般假設(shè)均勻分布 35 ； m 1 時(shí)相位分布趨于 ,/

18、 2,0,/ 2 四種取值； m 1時(shí)相位分布趨于 3/ 4,/ 4, / 4,3 / 4 四種取值。為比較不同模型輸出 Nakagami 包絡(luò)時(shí)域相關(guān)性的性能，令輸出信道包絡(luò)自相關(guān)系數(shù)的期望曲線為1F (0.5,0.5;1; J2(2 fd)R()10(23)14 /其中， J0 () 表示第一類零階Bessel函數(shù)； fd 為最大多普勒頻率。當(dāng)m1時(shí)該曲線對(duì)應(yīng)均勻散射條件下瑞利衰落信道包絡(luò)的自相關(guān)系數(shù)。假設(shè)歸一化多普勒頻率f dTs0.02 (Ts 表示采樣周期 ) ，不同 m 值時(shí)本文模型和秩匹配模型8輸出包絡(luò)自相關(guān)曲線如圖4 所示。圖中橫坐標(biāo)采用歸一化相關(guān)時(shí)間fd，縱坐標(biāo)表示輸出自相關(guān)

19、系數(shù)。仿真結(jié)果表明：1）本文模型輸出自相關(guān)曲線幾乎與期望曲線完全重合且優(yōu)于秩匹配模型；2）秩匹配模型性能與mR有關(guān)，當(dāng)m 1或R較小,時(shí)該模型仿真誤差也較小，這與圖1 的理論結(jié)果一致。需要強(qiáng)調(diào)的是，目前Nakagami 信道包絡(luò)自相關(guān)特性的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)非常少，大部分文獻(xiàn)均假設(shè)式(23)對(duì)應(yīng)的自相關(guān)曲線89。實(shí)際中如果 m 值偏離1 較大且自相關(guān)系數(shù)不等于0 或 1 時(shí)，秩匹配仿真模型的誤差會(huì)進(jìn)一步增加。F2m=0.85, 1, 1.70, 2.55, 4.25Theroy1.5DSimPep1olev0.5nE00.511.522.530R0.8m=0.85, 1, 1.70, 2.55, 4.2

20、5F 0.6DPes0.4ahP0.20-0.500.51-1( )圖 3復(fù)信道包絡(luò)和相位分布(1)10.9DesiredProposed Methode0.8m=0.25, 0.5, 1, 2.5, 10Rank Method 8pole0.7vnE0.6imaProposedg0.5aka0.4NfoC 0.3CA 0.20.100.20.40.60.810fd圖 4 復(fù)信道包絡(luò)自相關(guān)系數(shù)比較平均衰落持續(xù)時(shí)間(AFD) 和電平通過(guò)率(LCR)是衡量衰落信道惡劣程度的兩個(gè)重要二階統(tǒng)計(jì)參數(shù)。圖 5和圖 6分別仿真了 fd Ts0.02 , 不同 m 取值時(shí)二者的性能， 其中橫坐標(biāo) rms 表示

21、包絡(luò)門限相對(duì)于包絡(luò)均方根的歸一化分貝值。為便于比較，圖中還給出了Nakagami 包絡(luò) AFD和 LCR 的理論曲線142fd mm 0.5r2 m1mr 2e(24)f LCR,R (r )( m)f AFD ,R (r )(m, mr2 )mr 2(25)fd mm 0.5r2 m12e式中，( a, b) 表示不完全Gamma函數(shù)。由圖 5 和圖6 可見(jiàn)，仿真模型輸出信道的二階統(tǒng)計(jì)量均與理論模型非常接近。110SimTheory010)s-1(D10FAm=1, 2, 5-210-310-15-10-5(dB)05rms圖 5 平均衰落持續(xù)時(shí)間(AFD)210m=1, 2, 5SimTh

22、eory110)s/0次10(RCL-110-210-15-10-5(dB)05rms圖 6電平通過(guò)率 (LCR)5 結(jié)論傳統(tǒng)的 Nakagami 信道仿真模型通常輸出均勻相位，且無(wú)法保證精確的包絡(luò)時(shí)域自相關(guān)特性。本文提出了一種基于瑞利隨機(jī)過(guò)程的Nakagami 復(fù)信道仿真模型。仿真結(jié)果表明，對(duì)于任意 m值，該模型不僅輸出相位和包絡(luò)分布與理論表達(dá)式一致，而且可任意指定包絡(luò)自相關(guān)系數(shù)。值得一提的是，仿真模型中產(chǎn)生特定自相關(guān)系數(shù)的瑞利隨機(jī)過(guò)程運(yùn)算量比較大，簡(jiǎn)化該模塊提高系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性是我們下一步研究方向。參考文獻(xiàn)：1 Nakagami M. The m-Distribution: a general

23、 formula of intensity distribution of rapid fading statistical methods of radio wave propagation M. Japan: W C Hoffman, 1960.2 Charash U. Reception through Nakagami fading multipath channels with random delays J, IEEE Transaction Communication, 1979, 27(4): 657-670.3 Zhang Qitu. A Decomposition Tech

24、nique for Efficient Generation of Correlated Nakagami Fading ChannelsJ, IEEE Journal on Selected Areas in Communication,2000,18(11): 2385-2392.4 Beaulieu N C, Cheng Christine. Efficient Nakagami-m fading simulation J, IEEE Transaction on VehicularTechnology, 2005, 52(2):413-424.5 郝謝東 . 一種相關(guān) Nakagami

25、-m 信道仿真模型生成方法J, 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào) ,2009,21(13):4110-4113.6 Yacoub M D, Fraidenraich G and Santos Filho J C S. Nakagami-m phase-envelope joint Distribution J, Electronics Letters, 2005, 41(5):259 261.7 Yacoub M D. Nakagami-m PhaseEnvelope Joint Distribution: A New Model J, IEEE Transaction on VehicularTechnolog

26、y, 2010, 59(3):1552-1557.8 Santos Filho J C S and Yacoub M D. On the Simulation and Correlation Properties of Phase-Envelope Nakagami Fading Processes J, IEEE Transaction Communication 2009, 57(4): 906-909.9 Ma Yao, Zhang Dongbo. A Method for Simulating ComplexNakagami Fading Time Series With Nonuniform Phase and Prescribed Autocorrelation CharacteristicsJ, IEEE Transaction on Vehicular Technology, 2010,59(1): 29-3510 Xiao Chengshan, Zh