第三章彎曲內(nèi)力

1、第三章 彎曲內(nèi)力內(nèi)容提要一、平面彎曲的概念具有縱向?qū)ΨQ平面的梁,當(dāng)荷載作用在其縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)時(shí),變形后梁的軸線位于 縱向?qū)ΨQ平面內(nèi),這種彎曲稱為平面彎曲。二、梁的內(nèi)力、梁的橫截面上的內(nèi)力剪力SF 橫截面上切向分布內(nèi)力的合力彎矩 M 橫截面上法向分布內(nèi)力的合力偶矩、用截面法求指定截面上的內(nèi)力1. 截面法:將梁沿?cái)M求內(nèi)力的截面 (m -m 截開,取任一部分為分離體,由分離體的平衡 2.SF 和 M 的正負(fù)號(hào)使 dx 微段產(chǎn)生順時(shí)針錯(cuò)動(dòng)的剪力SF 為正 (圖 3-2, a ,反之為負(fù) (圖 3-2, b 。使 dx 微段產(chǎn)生下部受拉的彎矩 M 為正 (圖 3-2, c ,反之為負(fù) (圖 3-2, d

2、 。因?yàn)閮?nèi)力是由分離體的平衡條件求出的,故可根據(jù)外力情況判斷外力在指定截面上產(chǎn) 生的內(nèi)力的正負(fù)號(hào)。 橫向力繞指定截面順時(shí)針錯(cuò)時(shí),該力在指定截面上產(chǎn)生的剪力為正 (圖 4-2, e 、 g ,反 之為負(fù) (圖 3-2, f 、 h 。外力 (橫向力或力偶 使分離體下部受拉時(shí), 該力在指定截面上產(chǎn)生的彎矩為正 (圖 5-2, e 、 h ,反之為負(fù) (圖 5-2, f 、 g3. 由截面法的運(yùn)算可知a. 指定截面上剪力的數(shù)值等于該截面一側(cè)所有外力的代數(shù)和;b. 指定截面上彎矩的數(shù)值等于該截面一側(cè)所有外力對(duì)該截面形心的力矩代數(shù)和。三、梁的剪力圖和彎矩圖、 以橫坐標(biāo) x 表示橫截面位置, 縱坐標(biāo) S

3、F 表示各橫截面剪力的大小的圖形稱為剪力 圖; 以橫坐標(biāo) x 表示橫截面位置, 縱坐標(biāo) M 表示各橫截面彎矩的大小的圖形, 稱為彎矩圖。 土建工程上習(xí)慣上把彎矩圖畫在受拉側(cè) (縱坐標(biāo) M 向下為正 。、由剪力方程和彎矩方程作圖 以 x 表示橫截面位置, 函數(shù) (F x 、 (M x 分別為剪力方程和彎矩方程。 可以根據(jù) (s F x 和 (M x 分別作 S F 和 M 圖。 、用簡(jiǎn)易法作內(nèi)力圖 1. (q x 、 (s F x 及 (M x 之間的微分關(guān)系 取坐標(biāo) xOy 如圖 3-3所示, (q x 向上為正。由圖 3-3b 所示 dx 微段的平衡方程得(s dF x q x dx = (

4、3 1(s dMx F x dx= (3 2(22d M x q x dx=(3 3式 (3-1、 (3-2、 (3-3分別表示,剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處的荷載集度; 載集度。 2 . 集中荷載作用處剪力圖和彎 矩圖的特征。 a. 在集中力 F 作用處的兩側(cè)面上 (圖 3-4, a 、 b ,有21s s F F F=+, 21M M =集中力 F 作用處兩側(cè)截面上剪力有突變,突變值為集中力 F 。兩側(cè)截面的彎矩相等,但彎矩圖的斜率有突變。b. 在集中力偶 e M 作用處兩側(cè)面上 (圖 3-4, a 、 c ,有21s s F F =, 21e M M M =+集中力偶 M e 作用

5、處兩側(cè)面上的剪力相等,兩側(cè)面上彎矩有突變,突變值等于集中力 偶值。3. 荷載和 S F 、 M 圖形狀的對(duì)應(yīng)關(guān)系 a. 求支反力 (懸壁梁可不必求支反力 b. 根據(jù)荷載情況判斷內(nèi)力圖形狀根據(jù)受力情況對(duì)梁進(jìn)行分段,使每段只有一種形式的荷載,根據(jù)荷載情況判斷其內(nèi)力 圖形狀。c. 計(jì)算控制截面的內(nèi)力值。根據(jù)內(nèi)力圖的形狀,計(jì)算其控制截面的內(nèi)力值。例如,內(nèi)力圖為水平線,只需一個(gè)內(nèi) 力值;內(nèi)力圖為斜直線,需要兩端點(diǎn)的內(nèi)力值;內(nèi)力圖為拋物線,需兩端點(diǎn)及極值點(diǎn)的內(nèi) 力值;此外還要計(jì)算集中力作用處兩側(cè)面上的剪力值,以及集中力偶作用處兩側(cè)面的彎矩 值。d. 根據(jù)內(nèi)力圖的形狀,分別用直線或曲線將各控制點(diǎn)連接起來,即

6、為所求內(nèi)力圖。 用簡(jiǎn)易作內(nèi)力圖,是本章的重點(diǎn),一定要熟練掌握。四、平面剛架和平面曲桿的內(nèi)力圖平面剛架和平面曲桿橫截面上的內(nèi)力一般有軸力、剪力和彎矩。軸力仍以拉為正,剪 力仍以繞分離體順時(shí)針錯(cuò)動(dòng)為正。軸力圖和剪力圖畫在結(jié)構(gòu)軸線的任一側(cè),但要標(biāo)明正負(fù) 號(hào),彎矩圖畫在受拉側(cè)不用標(biāo)明正負(fù)號(hào)。圓環(huán)形平面曲桿,用極坐標(biāo)表示橫截面位置,一般要列內(nèi)力方程,再根據(jù)內(nèi)力方程畫 內(nèi)力圖。例 3-1 用簡(jiǎn)易法畫圖 a 所示外伸梁的剪力圖和彎矩圖。 解:1. 求支反力(10kN A F =, (5kN B F =2. 作剪力圖CA 、 AD 段的剪力圖為水平線, A 截面處剪力發(fā)生突變, DB 段剪力圖為斜直線。用截

7、面法求得-3kN SA F =左 , -3107kN SA F =+=右 , 5kNSB F = 剪力圖如圖 b 所示,利用剪力圖上兩相似三角形的關(guān) 系,確定剪力等于零的 E 截面的位置如圖 b 所示。3. 作彎矩圖CA 、 AD 段的彎矩圖為斜直線, A 截面處彎矩有尖角,DB 段的彎矩圖為下凸的拋物線, D 截面處彎矩發(fā)生突變,E 截面的彎矩為極值。用截面法求得30.61.8kN m AM=-=-31.2100.62.4kN m D M =-+=左 ,2.43.61.2kN m D M =-=-右2150.5100.51.25kN m 2E M=-=, 0BM=彎矩圖如圖 c 所示。例 3

8、-2 作圖 a 所示組合梁的剪力圖和彎矩圖。 解:1. 求反力 將梁從中間鉸 C 稍右處截開,由 CB 部分的平衡條 件得 C 、 B 截面的支反力,將 C 處支反力反向加在 AC 段的 C 截面處如圖 b 所示。 2. 作剪力圖AC 、 CB 段的剪力圖均為斜直線, C 截面處剪力發(fā)生突變,由截面法求得, 1522S A F F F F F =+=, 1322S C F F F F =+=左 , , 12S C F F =右 , , 32S B F F=剪力圖如圖 c 所示。 3. 作彎矩圖AC 段的彎矩圖為下凸的拋物線, CB 段的彎矩圖為 上凸的拋物線,由截面法求得231222AF MF

9、a a Faa =-=- , 0C M =, B M Fa =彎矩如圖 d 所示。討論: 1. AC 段為懸梁的基本部分, CB 梁為附屬部分。CB 梁上的荷載要傳遞到 AC 梁上,進(jìn)行受力分析時(shí)先分析附屬部分再分析基本部分。2. 關(guān)于中間鉸處的集中力 F ,可以認(rèn)為 F 力作用在 AC 段的 C 截面處 (圖 b ,也可以 認(rèn)為 F 力作用在 CB 段的 C 截面處 (圖 e ,兩種處理方法結(jié)果相同。例 3-3 已知簡(jiǎn)支梁的剪力圖和彎矩圖的形狀及部分內(nèi)力值分別如圖 a 、 b 所示。 試求 此梁上諸荷載的形式及數(shù)值,并補(bǔ)齊內(nèi)力圖的內(nèi)力值。解:1. 由剪力圖分析梁上的荷載 AC 段的剪力圖為水

10、平線, , 6kN S A C F =, 故 AC 段 上 無 分 布 荷 載 和 集 中 力 , 支 反 力(6kN A F =。 , 6kNS C F =左 , , 0S C F =右 ,故 C 截面有向下的集中力 6kN F =。 CB 段的剪力圖為向右 下方傾斜的直線, . S B F 為負(fù),故 CB 段上有向下的 均布荷載 q , 8kN SB F =-支反力 8kN B F =。以 C 截面右側(cè)梁段為分離體, 20B S C F F q =-=右 ,得 4kN mq =2. 由彎矩圖分析梁上的荷載并補(bǔ)充內(nèi)力圖的 內(nèi)力值。3kN mD M =左 , 5kN m D M =右 ,故 D

11、 截面有順時(shí)針轉(zhuǎn)的力偶矩 2kN m e M =,以 C 截面左側(cè)梁 段為分離體,得 簡(jiǎn)支梁上各荷載及反力如圖 c 所示。為了驗(yàn)證以 上分析是否正確,可用平衡方程校核支反力,再檢查 剪力圖和彎矩圖。例 3-4 一根置于地基上的梁受荷載如圖 a 所示, 假設(shè)地基反力是均勻分布的。試求地基反力的荷載集 度 R q ,并作梁的剪力及彎矩圖。解:1. 求地基反力 R q 由0yF=, 012R q l q l=得 012R q q =2. 剪力方程及剪力圖取分離體如圖 b 所示, (02lx (02x q x q l =,(200111222222S R q x F x q x q x x q x q

12、 x lx x l l =-=-=-(S F x 的極值點(diǎn)位置為dFS ( x ) q0 2 = ( l - 4 x0 ) = 0 dx 2l 即 x0 = l 4 FS ( x ) = 0 的位置為 FS ( x ) = q0 ( lx - 2 x 2 ) ， x1 = 0 ， x2 = l 2 2l 2 é 2 ù l 時(shí)， F = q0 ê l - 2 æ l ö ú = q0l 當(dāng)x= S ç ÷ 4 2l ê 4 è 4 ø ú 16 ë û 3

13、. 再根據(jù)對(duì)稱結(jié)構(gòu)，受對(duì)稱荷載，剪力圖是關(guān)跨中截面為反對(duì)稱的，剪力圖如圖 c 所示。 彎矩方程及彎矩圖 1 1 x 1æ1 ö 1 æ 2 x ö x2 q M ( x ) = qR x 2 - q ( x ) x = ç q0 ÷ x 2 - ç q0 ÷ = 0 ( 3lx 2 - 4x3 ) 2 2 3 2è2 ø 2è l ø 3 12l M ( x ) 極值點(diǎn)的位置，為 F ( x ) = 0 的位置，即 x = 0，x = l 2 由 d 2 M( x q0 )

14、= l - 4x ( ) 2 dx 2l x< l , 4 d 2M ( x) >0；x> l , 4 dx 2 d 2M ( x) <0 dx 2 故 0 £ x £ l 時(shí)，M 圖為上凸曲線； l £ x £ l ，M 圖為下凸曲線。 4 4 2 x= l 4 時(shí) q é ælö ælö M = 0 ê3l ç ÷ - 4 ç ÷ 12l ê è 4 ø è4ø ë 2

15、 3 ù q0l 2 ú= ú 96 û x= l 2 時(shí) M= 2 3 2 q0 é æ l ö ælö ù ql 3l ç ÷ - 4 ç ÷ ú = 0 ê 12l ê è 2 ø è 2 ø ú 48 ë û F A l (a B a C z x = 0, M =0 y B Pa 再根據(jù)對(duì)稱結(jié)構(gòu)受對(duì)稱荷載，彎矩圖關(guān)于跨 中截為對(duì)稱的，彎矩圖如圖 d

16、所示。 F C A 例 3-5 圖 a 所示矩形截面外伸梁受移動(dòng)荷載 F 作用，材料的拉壓強(qiáng)度相等。試求活動(dòng)鉸支座 A 的合理位置 a。 解：當(dāng) F 位于 C 截面時(shí)，M 圖如圖 b 所示， F (b 1 (l - a ) 2 B D1 2 (l - a ) C M B = - Fa ；當(dāng) F 位于 B 的中央截面 D 時(shí)，M 圖 如圖 c 所示。 M D = F (l - a ) 。 4 第 6 頁 共 9 頁 (c 1 P (l - a ) 4 例3 - 5圖 當(dāng) ì MB ï a (­) í ïM D î ì MB &

17、#239; a (¯) í ïM D î (­) ； (¯) (¯) (­) 當(dāng) M D = -M B 時(shí) 1 l F ( l - a ) = Fa 即 a = 4 5 此時(shí)， M D = -M B = Fl 5 ，最大正彎矩和絕對(duì)值最大的負(fù)彎矩均為最小值，梁的最大 正應(yīng)力(見第五章為最小，可以充分利用材料抵抗強(qiáng)度破壞的能力，故 a = l 5 為活動(dòng)鉸支 座的合理位置。 *例 3-6 矩形截面的組合梁如圖 a 所示， 受 移動(dòng)荷載 F 作用，材料的拉壓強(qiáng)度相等。試求 中間鉸 B 和活動(dòng)鉸支座 C 的合理位置 x1

18、 和 x2 。 解：同例 3-5 一樣，使梁的最大正彎矩和 A 絕對(duì)值最大的負(fù)彎矩為最小時(shí)，中間鉸 B 和活 動(dòng)鉸支座 C 的位置是合理的。所不同的是該題 Px1 有兩個(gè)未知量。分析如下 1. 當(dāng) F 位于 B 截面時(shí)， 彎矩圖如圖 b 所示。 A F A x1 B E C b D x2 C l h z F B F 2 y D (a E F 2 F E1 C D M A1 = -Fx1 2. 當(dāng) F 位于 BC 之中點(diǎn) E 截面時(shí)，彎矩圖 如圖 c 所示。 1 1 M A = - Fx1 ， M E = F ( l - x1 - x2 ) 2 4 3. 當(dāng) F 位于 D 截面時(shí)， 彎矩圖如圖

19、a 所示。 B 1 ( l - x1 - x2 ) 2 2 ( l - x1 - x2 ) (b Fx1 2 1 P ( l - x1 - x2 ) 4 A B FB FB = x2 F l - x1 - x2 C F D MC = -Fx2 ， M A3 x1 x2 = F l - x1 - x2 (c Fx2 (d 4. 由彎矩圖可見，負(fù)彎矩為 M A1 = -Fx1 ， x1 x2 F l - x1 - x2 例3 - 6圖 1 M A2 = - Fx1 ， MC = -Fx2 ， 2 M A1 > M A2 令 M A1 = M C (1 Fx1 = Fx2 ，即 x1 = x2

20、 負(fù)彎矩的絕對(duì)值最大值為 Fx1(Fx2 第 7 頁 共 9 頁 正彎矩為 ME = 1 F ( l - x1 - x2 ) 4 M A3 = x1 x2 F l - x1 - x2 令 ME = MD 得 1 F ( l- 1x - 2) = F2x x 4 x1 = x2 = l 6 (2 將(1代入(2式，得 (3 此時(shí)， M E = 令 1 1 1 Fl ， M C = - Fl ， M A3 = Fl 6 6 24 M A3 = MC x1 x2 F = Fx2 l - x1 - x2 (4 將(1代入(4式，得 x1 = x2 = l 3 (5 1 1 1 此時(shí)， M A3 = F

21、l ， M C = - Fl ， M E = Fl 3 3 12 l 可見， x1 = x2 = 為中間鉸 B 和活動(dòng)鉸支座 C 的合理位置。 6 例 3-7 作圖 a 所示剛架的內(nèi)力圖。 q A a B C q FBy FDx B a a q FAx FBx FBx C qa FN圖 (d (a 1 qa 2 D qa A FAy FBy B (c D (b FDy 3qa 2 qa 2 1 qa 8 qa qa 2 B 3 qa 2 3 qa 2 FS圖 (e 3 qa 2 M圖 qa qa 2 (f 例3 - 7圖 (g 解：以 AB 部分(圖 b為分離體 由 åF å

22、;F y x = 0, FAx = FBx 1 qa 2 = 0, FAy = FBy = 第 8 頁 共 9 頁 以 BCD 部分為分離體，并將 FBy 反向加在 BCD 部的 B 截面處(圖 c 由 1 3 qa + qa = qa 2 2 1 2 - å M B = 0 , FD y× a - FD x× a 2 q a = 1 3 1 FD x = F D y - q a= qa - q= qa a 2 2 2 åF y = 0, FDy = 0 åF åF x = 0, FBx = FDx = FAx = qa e 取節(jié)點(diǎn) B 為分離為分離體， 節(jié)點(diǎn)滿足 B FN 、FS 及 M 圖分別如圖 d、 及 f 所示。 y åF x =0， = 0 ， å M B = 0 故以上內(nèi)力 圖無誤。由 M BC = M DC 可知，在 剛架結(jié)點(diǎn)處只要沒有力偶作用， 定有 M BC = M DC ，且為同側(cè)(外側(cè) 或內(nèi)側(cè)受拉。 *例 3-8 圖示半圓形曲桿， 沿圓弧的切線方向受均布荷載 q 作用。試求支反力，并列出軸力、 剪力和彎矩方程。 解：在圖 a 中，由 得 q