高等數(shù)學(xué)典型例題詳解 第五章

1、例1 求分析 將這類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限若對(duì)題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對(duì)區(qū)間等分寫出積分和，再與所求極限相比較來(lái)找出被積函數(shù)與積分上下限 解 將區(qū)間等分，則每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)為，然后把的一個(gè)因子乘入和式中各項(xiàng)于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分即=例2 =_解法1 由定積分的幾何意義知，等于上半圓周 ()與軸所圍成的圖形的面積故=解法2 本題也可直接用換元法求解令=（），則=例3 比較，分析 對(duì)于定積分的大小比較，可以先算出定積分的值再比較大小，而在無(wú)法求出積分值時(shí)則只能利用定積分的性質(zhì)通過(guò)比較被積函數(shù)之間的大小來(lái)確定積分值的大小解法1 在上，有而令，則當(dāng)時(shí)，在上單

2、調(diào)遞增，從而，可知在上，有又，從而有解法2 在上，有由泰勒中值定理得注意到因此例4 估計(jì)定積分的值分析 要估計(jì)定積分的值, 關(guān)鍵在于確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值與最小值解 設(shè) , 因?yàn)?, 令，求得駐點(diǎn), 而 , , ,故 ,從而,所以 .例5 設(shè)，在上連續(xù)，且，求解 由于在上連續(xù)，則在上有最大值和最小值由知，又，則由于，故=例6求, 為自然數(shù)分析 這類問(wèn)題如果先求積分然后再求極限往往很困難，解決此類問(wèn)題的常用方法是利用積分中值定理與夾逼準(zhǔn)則 解法1 利用積分中值定理設(shè) , 顯然在上連續(xù), 由積分中值定理得, ,當(dāng)時(shí), , 而, 故 解法2 利用積分不等式因?yàn)?,而,所以 例7 求解法1

3、由積分中值定理 可知 =，又且，故解法2 因?yàn)?，故有于是可得又由于因?例8 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且證明在內(nèi)存在一點(diǎn)，使分析 由條件和結(jié)論容易想到應(yīng)用羅爾定理，只需再找出條件即可證明 由題設(shè)在上連續(xù)，由積分中值定理，可得，其中于是由羅爾定理，存在，使得證畢例9 （1）若，則=_；（2）若，求=_分析 這是求變限函數(shù)導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題，利用下面的公式即可解 （1）=；（2） 由于在被積函數(shù)中不是積分變量，故可提到積分號(hào)外即，則可得 =例10 設(shè)連續(xù)，且，則=_解 對(duì)等式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得，故，令得，所以例11 函數(shù)的單調(diào)遞減開區(qū)間為_解 ，令得，解之得，即為所求例12 求的極值點(diǎn)解 由題意先求駐點(diǎn)于是

4、=令=，得，列表如下：-故為的極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)例13 已知兩曲線與在點(diǎn)處的切線相同，其中，試求該切線的方程并求極限分析 兩曲線與在點(diǎn)處的切線相同，隱含條件，解 由已知條件得，且由兩曲線在處切線斜率相同知故所求切線方程為而例14 求 ； 分析 該極限屬于型未定式，可用洛必達(dá)法則解 =注 此處利用等價(jià)無(wú)窮小替換和多次應(yīng)用洛必達(dá)法則例15 試求正數(shù)與，使等式成立分析 易見該極限屬于型的未定式，可用洛必達(dá)法則解 =，由此可知必有，得又由 ，得即，為所求例16 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，是的（ ）A等價(jià)無(wú)窮小 B同階但非等價(jià)的無(wú)窮小 C高階無(wú)窮小 D低階無(wú)窮小解法1 由于 故是同階但非等價(jià)的無(wú)窮小選B解法2 將展

5、成的冪級(jí)數(shù)，再逐項(xiàng)積分，得到，則例17 證明：若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)增加，則有證法1 令=，當(dāng)時(shí)，則 = =故單調(diào)增加即 ，又，所以，其中從而=證畢證法2 由于單調(diào)增加，有，從而 即 =故 例18 計(jì)算分析 被積函數(shù)含有絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)然后再積分解 注 在使用牛頓萊布尼茲公式時(shí),應(yīng)保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿足可積條件如，則是錯(cuò)誤的錯(cuò)誤的原因則是由于被積函數(shù)在處間斷且在被積區(qū)間內(nèi)無(wú)界. 例19 計(jì)算分析 被積函數(shù)在積分區(qū)間上實(shí)際是分段函數(shù) 解 例20 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則分析 本題只需要注意到定積分是常數(shù)（為常數(shù)）解 因連續(xù)，必可積，從而是常數(shù)，記，則，且所以，即，從而，所以 例

6、21 設(shè)，求, 并討論的連續(xù)性分析 由于是分段函數(shù), 故對(duì)也要分段討論解 （1）求的表達(dá)式的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，, 因此當(dāng)時(shí)，, 因此, 則=，故 (2) 在及上連續(xù), 在處，由于 , , 因此, 在處連續(xù), 從而在上連續(xù)錯(cuò)誤解答 （1）求的表達(dá)式, 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有=故由上可知(2) 在及上連續(xù), 在處，由于 , , 因此, 在處不連續(xù), 從而在上不連續(xù)錯(cuò)解分析 上述解法雖然注意到了是分段函數(shù)，但（1）中的解法是錯(cuò)誤的，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，中的積分變量的取值范圍是，是分段函數(shù)，才正確例22 計(jì)算分析 由于積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此首先應(yīng)考慮被積函數(shù)的奇偶性 解 =由于是偶函數(shù)，而是奇函數(shù)，有, 于是=由定積分

7、的幾何意義可知, 故 例23 計(jì)算分析 被積函數(shù)中含有及，考慮湊微分解 =例24 計(jì)算解 =注 此題為三角有理式積分的類型，也可用萬(wàn)能代換公式來(lái)求解，請(qǐng)讀者不妨一試?yán)?5 計(jì)算，其中解 =，令，則= =注 若定積分中的被積函數(shù)含有，一般令或例26 計(jì)算，其中解法1 令，則 =解法2 令，則=又令，則有=所以，=注 如果先計(jì)算不定積分，再利用牛頓萊布尼茲公式求解,則比較復(fù)雜，由此可看出定積分與不定積分的差別之一例27 計(jì)算分析 被積函數(shù)中含有根式，不易直接求原函數(shù)，考慮作適當(dāng)變換去掉根式解 設(shè)，則=例28 計(jì)算，其中連續(xù)分析 要求積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但被積函數(shù)中含有，因此不能直接求導(dǎo)，必須先換元

8、使被積函數(shù)中不含，然后再求導(dǎo)解 由于=故令，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，而，所以=，故=錯(cuò)誤解答 錯(cuò)解分析 這里錯(cuò)誤地使用了變限函數(shù)的求導(dǎo)公式，公式中要求被積函數(shù)中不含有變限函數(shù)的自變量，而含有，因此不能直接求導(dǎo)，而應(yīng)先換元例29 計(jì)算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形，通常采用分部積分法解 例30 計(jì)算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)的情形，可考慮采用分部積分法解 = =例31 計(jì)算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形通常要多次利用分部積分法 解 由于， （1）而 ， （2）將（2）式代入（1）式可得 ,故 例32計(jì)算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)反三角函數(shù)與冪函數(shù)乘積的情形，通常用分部積分法解

9、（1）令，則 （2）將（2）式代入（1）式中得 例33 設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求分析 被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，可考慮用分部積分法求解解 由于故 例34（97研） 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且（為常數(shù)），求并討論在處的連續(xù)性分析 求不能直接求，因?yàn)橹泻械淖宰兞?，需要通過(guò)換元將從被積函數(shù)中分離出來(lái)，然后利用積分上限函數(shù)的求導(dǎo)法則，求出，最后用函數(shù)連續(xù)的定義來(lái)判定在處的連續(xù)性解 由知，而連續(xù)，所以，當(dāng)時(shí)，令，；，則，從而又因?yàn)?，即所?由于=從而知在處連續(xù)注 這是一道綜合考查定積分換元法、對(duì)積分上限函數(shù)求導(dǎo)、按定義求導(dǎo)數(shù)、討論函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性等知識(shí)點(diǎn)的綜合題而有些讀者在做題過(guò)程中常會(huì)犯如下兩種

10、錯(cuò)誤：（1）直接求出，而沒(méi)有利用定義去求，就得到結(jié)論不存在或無(wú)定義，從而得出在處不連續(xù)的結(jié)論（2）在求時(shí)，不是去拆成兩項(xiàng)求極限，而是立即用洛必達(dá)法則，從而導(dǎo)致又由用洛必達(dá)法則得到=，出現(xiàn)該錯(cuò)誤的原因是由于使用洛必達(dá)法則需要有條件：在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)但題設(shè)中僅有連續(xù)的條件，因此上面出現(xiàn)的是否存在是不能確定的例35（00研） 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，試證在內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)使得分析 本題有兩種證法：一是運(yùn)用羅爾定理，需要構(gòu)造函數(shù)，找出的三個(gè)零點(diǎn)，由已知條件易知，為的兩個(gè)零點(diǎn)，第三個(gè)零點(diǎn)的存在性是本題的難點(diǎn)另一種方法是利用函數(shù)的單調(diào)性，用反證法證明在之間存在兩個(gè)零點(diǎn)證法1 令，則有又，由積分中值定理知，

11、必有，使得=故又當(dāng)，故必有于是在區(qū)間上對(duì)分別應(yīng)用羅爾定理，知至少存在，使得，即證法2 由已知條件及積分中值定理知必有， 則有若在內(nèi)，僅有一個(gè)根，由知在與內(nèi)異號(hào)，不妨設(shè)在內(nèi)，在內(nèi)，由 ，以及在內(nèi)單調(diào)減，可知：=由此得出矛盾故至少還有另一個(gè)實(shí)根，且使得例36 計(jì)算分析 該積分是無(wú)窮限的的反常積分，用定義來(lái)計(jì)算解 =例37 計(jì)算解 例38 計(jì)算分析 該積分為無(wú)界函數(shù)的反常積分，且有兩個(gè)瑕點(diǎn)，于是由定義，當(dāng)且僅當(dāng) 和均收斂時(shí)，原反常積分才是收斂的解 由于=所以 例39 計(jì)算分析 此題為混合型反常積分，積分上限為，下限為被積函數(shù)的瑕點(diǎn)解 令，則有 ，再令，于是可得 例40 計(jì)算解 由于 ，可令，則當(dāng)時(shí)，

12、；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故有 注 有些反常積分通過(guò)換元可以變成非反常積分，如例32、例37、例39；而有些非反常積分通過(guò)換元卻會(huì)變成反常積分，如例40，因此在對(duì)積分換元時(shí)一定要注意此類情形例41 求由曲線，所圍成的圖形的面積分析 若選為積分變量，需將圖形分割成三部分去求，如圖51所示，此做法留給讀者去完成下面選取以為積分變量解 選取為積分變量，其變化范圍為，則面積元素為=于是所求面積為=例42 拋物線把圓分成兩部分，求這兩部分面積之比解 拋物線與圓的交點(diǎn)分別為與，如圖所示52所示，拋物線將圓分成兩個(gè)部分，記它們的面積分別為，則有圖5151圖52=，=，于是=例43 求心形線與圓所圍公共部分的

13、面積分析 心形線與圓的圖形如圖53所示由圖形的對(duì)稱性，只需計(jì)算上半部分的面積即可解 求得心形線與圓的交點(diǎn)為=，由圖形的對(duì)稱性得心形線與圓所圍公共部分的面積為圖53=例44 求曲線在區(qū)間內(nèi)的一條切線，使得該切線與直線，和曲線所圍成平面圖形的面積最?。ㄈ鐖D54所示）分析 要求平面圖形的面積的最小值，必須先求出面積的表達(dá)式解 設(shè)所求切線與曲線相切于點(diǎn)，則切線方程為又切線與直線，和曲線所圍成的平面圖形的面積為圖54=由于=，令，解得駐點(diǎn)當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)故當(dāng)時(shí)，取得極小值由于駐點(diǎn)唯一故當(dāng)時(shí)，取得最小值此時(shí)切線方程為：例45 求圓域（其中）繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積解 如圖55所示，選取為積分變量，得上半圓周的

14、方程為，下半圓周的方程為圖55則體積元素為=于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積為=注 可考慮選取為積分變量，請(qǐng)讀者自行完成例46（03研） 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，該切線與曲線及軸圍成平面圖形（1）求的面積；（2）求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積分析 先求出切點(diǎn)坐標(biāo)及切線方程，再用定積分求面積，旋轉(zhuǎn)體積可用大的立體體積減去小的立體體積進(jìn)行圖56計(jì)算，如圖56所示解 （1）設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是由該切線過(guò)原點(diǎn)知，從而，所以該切線的方程是從而的面積（2）切線與軸及直線圍成的三角形繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體積為，曲線與軸及直線圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體積為因此，所求體積為例47 有一立體以拋物

15、線與直線所圍成的圖形為底，而垂直于拋物線的軸的截面都是等邊三角形，如圖57所示求其體積解 選為積分變量且過(guò)軸上坐標(biāo)為的點(diǎn)作垂直于軸的平面，與立體相截的截面為等邊三角形，其底邊長(zhǎng)為，得等邊三角形的面積為圖57=于是所求體積為 =例48 求下列曲線的弧長(zhǎng)（1），其中；（2），其中；（3），其中分析 （1）曲線是星形線，可以化為參數(shù)方程形式即：，其中運(yùn)用公式（其中）來(lái)計(jì)算（2）曲線是心形線，運(yùn)用公式來(lái)計(jì)算（3）曲線是直角坐標(biāo)形式下的表達(dá)形式，則運(yùn)用公式來(lái)計(jì)算解 （1）由于曲線關(guān)于軸和軸對(duì)稱，根據(jù)其對(duì)稱性有=（2）心形線關(guān)于極軸對(duì)稱，所求心形線的全長(zhǎng)是極軸上方部分弧長(zhǎng)的倍，因此=（3），故所求弧長(zhǎng)為=

16、例49（03研） 某建筑工程打地基時(shí)，需用汽錘將樁打進(jìn)土層，汽錘每次擊打，都將克服土層對(duì)樁的阻力而作功，設(shè)土層對(duì)樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)為，），汽錘第一次擊打進(jìn)地下（），根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)（）問(wèn)：（1）汽錘打樁3次后，可將樁打進(jìn)地下多深？（2）若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？（注：表示長(zhǎng)度單位米）分析 本題屬于變力作功問(wèn)題，可用定積分來(lái)求解 （1）設(shè)第次擊打后，樁被打進(jìn)地下，第次擊打時(shí)，汽錘所作的功為（，）由題設(shè)，當(dāng)樁被打進(jìn)地下的深度為時(shí)，土層對(duì)樁的阻力的大小為，所以 ，由得 ，即 ，由 得 ，即 從而汽錘擊打3次后，可將樁打進(jìn)地下（）（2）問(wèn)題是要求，為此先用歸納法證明： 假設(shè)，則由，得從而.于是若不限打擊次數(shù)，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下例50 有一等腰梯形水閘上底為6米，下底為2米，高為10米試求當(dāng)水面與上底相接時(shí)閘門所受的水壓力解 建立如圖58所示的坐標(biāo)系，選取為積分變量則過(guò)點(diǎn)，的直線方程為于是閘門上對(duì)應(yīng)小區(qū)間的窄條所承受的水壓力為故閘門所受水壓力為=，圖58其中為水密度，為重力加速度例51 設(shè)有一均勻細(xì)桿，長(zhǎng)為，質(zhì)量為，另有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)位于細(xì)桿的延長(zhǎng)線上，質(zhì)點(diǎn)到桿