一類具分布偏差變元的二階中立型微分方程的振動性

1、發(fā)表于德州學(xué)院學(xué)報（2008年第6期）一類具分布偏差變元的二階中立型微分方程的振動性朱煥桃作者簡介：朱煥桃（1970 ），男，漢族，湖南雙峰人，碩士，副教授，研究方向：微分方程等。 羅治國(1.湖南信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 長沙 410200) (2.湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410081）摘要：文章討論了一類具分布偏差變元的二階中立型微分方程的振動性，得到了該方程解振動的一些好的結(jié)果。關(guān)鍵詞：中立型微分方程; 振動性; 偏差變元1 引言二階中立型微分方程解的振動性研究，除了在理論上的重要性之外，在應(yīng)用方面也有著重要意義。Hale1就曾給出一些應(yīng)用的例子，如中立型微分方程在高

2、速計算機(jī)連接開關(guān)電路的無損耗傳輸網(wǎng)絡(luò)中有其實際應(yīng)用背景。但我們注意到以往很多的研究工作是關(guān)于離散延滯的情形，而在許多實際應(yīng)用領(lǐng)域，由于現(xiàn)實問題的復(fù)雜性，用于描述這些問題的模型常常包含著季節(jié)性波動因素的影響。因此，無論在理論上，還是在應(yīng)用上，都有必要去研究一類更為廣泛意義下的方程具連續(xù)分布偏差變元的微分方程。關(guān)于具分布偏差變元的微分方程的振動性問題已有一些結(jié)果25。本文將討論如下的一類具分布偏差變元的中立型微分方程 （1）解的振動性問題，其中是正數(shù)，。在本文的討論中，我們始終假設(shè)下面的條件是成立（H1）（H2）,分別關(guān)于 非減，并且；（H3）并且關(guān)于非減；方程（1）中的積分是Stieltjes積

3、分。如通常，若方程（1）的一個解有任意大的零點，則稱其為方程（1）的振動解；否則稱為非振動解。在4中，作者討論了如下的中立型微分方程，獲得了一些好的結(jié)果。在6中，作者討論了下面的中立型微分方程 ， （2）其中，也得到了一些好的結(jié)果。應(yīng)該注意到，我們所討論的方程（1）不同于上述方程，我們所得到的結(jié)果推廣了上述文獻(xiàn)的結(jié)果。2 主要結(jié)果定理 1 設(shè)， （3）， （4）則方程（1）的所有解振動。證明 設(shè)是方程（1）的非振動解，不妨設(shè)。令 （5）由假設(shè)條件（H2）可知，存在，使得。從而，我們有。由（1）、（5）可得， （6）從而， （7）所以在上單調(diào)減少。我們斷言，。事實上，對任意，有，因此。也就是說，

4、在上單調(diào)減少。下證。事實上，假設(shè)存在，使得。由是單調(diào)減少函數(shù)，可得 因而，這與矛盾。由（3）式，我們有 . （8）進(jìn)一步有 注意到并且是增函數(shù)，我們可得 （9）選取常數(shù)，使得，由假設(shè)條件（H2）知存在，使得，；且由，有；又因是增函數(shù)，從而可得 （10）對不等式（10）由到（）積分可得，因而 （11）因為且，在方程（11）中令可得這與（4）式矛盾。定理1得證。定理2 設(shè)（3）式成立，且存在。若存在任意常數(shù)和單調(diào)遞增函數(shù)，使得， （12）成立，則方程（1）的所有解振動。證明 設(shè)是方程（1）的非振動解，不妨設(shè)。令類似定理1的證明，有且，同時 （13）由假設(shè)條件（H2）分別關(guān)于 非減，有。由是單調(diào)遞增

5、函數(shù)及（13）式可得. （14）令 ，則。于是 注意到，則存在，使得.令，則有從到積分上式，得令，由（12）式知上式與矛盾。定理2得證。3 例子下面給出一個實例以說明上述振動準(zhǔn)則的實效性。例 考慮方程這里 ，取。不難驗證，定理1的條件全部滿足，因此，該方程的一切解振動。參考文獻(xiàn)1. J. K. Hale, Theory of Functional Differential Equations, Springer, New York, (1997).2. Y. H. Yu, and X. L. Fu, Oscillation of second order nonlinear equation

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8、 second order differential equations , Joural of Hanshan Teachers College, 3, 18-21,(2004).Oscillation for Second-Order Neutral Equations with Distributed Deviating ArgumentsZHU Huan-tao1 LUO Zhi-guo2(1. Hunan College of Information, Hunan Changsha 410200)(2. Department of Mathematics, Hunan Normal University, Hunan Changsha 410081)Abstract: In this paper, we investigate the second-order neutral functional differential equation with distributed deviating arguments. Some sufficient conditions are derived