應力強度因子的計算

1、第二章 應力強度因子的計算K -應力、位移場的度量K 的計算很重要, 計算K 值的幾種方法: 1. 數(shù)學分析法:復變函數(shù)法、積分變換； 2. 近似計算法：邊界配置法、有限元法； 3. 實驗標定法：柔度標定法； 4. 實驗應力分析法：光彈性法.2-1 三種基本裂紋應力強度因子的計算一、無限大板型裂紋應力強度因子的計算K Z =計算K 的基本公式，適用于、型裂紋. 1. 在“無限大”平板中具有長度為2a 的穿透板厚的裂紋表面上，距離x b =處各作用一對集中力p . Re Im x Z y Z =-Re Im y Z y Z =+ Re xy y Z =-選取復變解析函數(shù)：22 2(Z z b =

2、-邊界條件：a. , 0x y xy z =.b. , z a 出去z b =處裂紋為自由表面上0, 0y xy =。c. 如切出xy 坐標系內(nèi)的第一象限的薄平板，在x 軸所在截面上內(nèi)力總和為p 。y 以新坐標表示：Z = ( K Z = 2. 在無限大平板中, 具有長度為2a 的穿透板厚的裂紋表面上，在距離1x a =的范圍內(nèi)受均布載荷q 作用. 利用疊加原理:微段集中力qdxdK = 0K = 令cos cos x a a =, cos dx a d = 111sin ( 10cos 22(cos a a a K d a -= 當整個表面受均布載荷時, 1a a .12( a K -= 3

3、. 受二向均布拉力作用的無限大平板, 在x 軸上有一系列長度為2a , 間距為2b的裂紋.邊界條件是周期的: a. , y x z =.b. 在所有裂紋內(nèi)部應力為零. 0, , 22y a x a a b x a b =- 單個裂紋時 Z =又Z 應為2b 的周期函數(shù) sinzZ =采用新坐標:z a =- sin(a Z +=當0時, sin,cos1222bbb=sin( sincoscossin22222a a a bbbbb+=+ cossin222a a bbb=+2222sin(cos 2cos sin(sin2222222a a a a a bbbbbb b+=+22sin(si

4、n 2cos sin22222a a a a bbbbb+-=sina= sinaK = = 取w M = 修正系數(shù), 大于1, 表示其他裂紋存在對K 的影響. 若裂紋間距離比裂紋本身尺寸大很多(2125a b 可不考慮相互作用, 按單個裂紋計算.二、無限大平板、型裂紋問題應力強度因子的計算 1. 型裂紋應力強度因子的普遍表達形式(無限大板: (K Z =2. 無限大平板中的周期性的裂紋, 且在無限遠的邊界上處于平板面內(nèi)的純剪切力作用. sin( zZ z = sin( a Z += ( K =3. 型裂紋應力強度因子的普遍表達形式(無限大板:( K = 4. 周期性裂紋: K =2-2 深埋

5、裂紋的應力強度因子的計算 1950年，格林和斯內(nèi)登分析了彈性物體的深埋的橢圓形裂紋鄰域內(nèi)的應力和應變，得到橢圓表面上任意點, 沿y 方向的張開位移為:1222022(1 x z y y a c=-其中:202(1 ay E -=.為第二類橢圓積分. 有 = (于仁東書 22220sin( cos a d c=+ (王鐸書 1962年,Irwin 利用上述結(jié)果計算在這種情況下的應力強度因子 原裂紋面11cos , sin z x =又222222221111221x z c x a z a c a c+=+= 假設:橢圓形裂紋擴展時, 其失徑的增值r 與成正比.r f = (f 遠小于1rf =

6、 邊緣上任一點(, p x z , 有:1(sin (1 sin (1 x r f f x =+=+=+1(cos (1 z r f z =+=+11(, , (, p x z p x z 均在0y =的平面內(nèi). 222242222(1 c x a z f a c a c +=+=新的裂紋面仍為橢圓. 長軸(1 c f c =+, 短軸(1 a f a =+. y 向位移22002(1 2(1 (1 (1 a f a y f y E E -+=+原有裂紋面:222220( 1x z ya c y +=擴展后裂紋面:222220( 1x z y a c y +=以1x x =, 1z z =,

7、代入原有裂紋面的邊緣y 向位移y , 有22222011(1 (1 x z x z y y a c f a f c=-+=-+222222-=-+2f =2222200022(1 2y fy f f y fy =+又f = 2 y =設各邊緣的法向平面為平面應變, 有:31sin sin 22v k =+- 其中34k =- 當=時24(1 v K E -= 222216(1 2I r K E -= 2221E ( 41I K y ac =-又202(1 ay E -=122222 (sin cos I a K c a c=+ 在橢圓的短軸方向上，即2=，有I ImaxK K = =危險部位

8、橢圓片狀深埋裂紋的應力強度因子當a c =時圓片狀裂紋，2=2 I K =2-3 半橢圓表面裂紋的應力強度因子計算一、表面淺裂紋的應力強度因子 當a B （板厚）線裂紋可以忽略后自由表面對A 點應力強度的影響 歐文假設：半橢圓片狀表面線裂紋I K 與深埋橢圓裂紋的I K 之比等于邊裂紋平板與中心裂紋平板的I K 值之比。I I I I K K K K =表邊埋中又有：1220.1sin(1 tanI I AK A K W=+邊中其中：A -裂紋長度；W-板寬度 當1A W 時22sin A A W W ，tan A AW W1.1I I K K 邊中 1.1I I K K =表埋1. 1. 1

9、I I K K = 埋表 橢圓片狀表面裂紋A 處的I K 值二、表面深裂紋的應力強度因子深裂紋：引入前后二個自由表面使裂紋尖端的彈性約束減少裂紋容易擴展I K 增大( I IK Me K =表面（埋藏） 其中：Me 彈性修正系數(shù)，應大于1，由實驗確定一般情況下12Me M M =其中：1M 前自由表面的修正系數(shù)2M 后自由表面的修正系數(shù) 關于Me 表達式兩種形式的論述 1. 巴里斯和薛a 0時接近于單邊切口試樣11.12M =b 1時接近于半圓形的表面裂紋11M =利用線性內(nèi)插法110.12(1 aM c=+-利用中心穿透裂紋彈性件的厚度校正系數(shù) 1222(tan 2B a M a B=B 板

10、厚a 裂紋深度 c 裂紋長度當a B 時21M 淺裂紋不考后自由表面的影響 2. 柯巴亞希. 沙. 莫斯2110.12(1 2a M c=+-1222(tan 2B a M a B=表面裂紋的應力強度因子（應為最深點處） ：I K =2-4 其他問題應力強度因子的計算一、 . 型復合問題應力強度因子的計算 復變數(shù)：iy x z +=，iy x z -=取復變解析函數(shù)：( x z p iq =+，11( z p iq =+取應力函數(shù)：2( ( ( ( z z zx z zx z =+或Re( (z zx z =+滿足雙調(diào)和方程分析第一應力不變量：22 224Re(x y x z x y+=+=

11、（推導過程略）對于. 型復合裂紋型： Re Im x I I Z y Z =-， Re Im y I I Z y Z =+|0|0|0( 2Re x y IIZ += 型：2Im Re x II II Z y Z =+ Re y II y Z =-000( |2Im |x y Z += 、型復合裂紋在裂紋前端處的不變量.000( |x y +=+ 0|K iK - 取復數(shù)形式的應力強度因子. K K iK =- 00( |x y += 又( 4Re(x y x Z +=( K Z = 若采用z 坐標:( z aZ a K Z =-= 選擇( x z 滿足具體問題的應力邊界條件.這種方法利用普遍

12、形式函數(shù)求解應力強度因子.1144( ( ( ( f F Z Z Z Z =+ (14(, ( F Z F Z 為解析函數(shù)-復變解析函數(shù)表達的雙調(diào)和函數(shù)的普遍形式(或復變應力函數(shù)為普遍形式. 利用這個方法可以求解很多”無限大”平板中的穿透裂紋問題. 二、有限寬板穿透裂紋應力強度因子的計算實際情況:應看成有限寬計算. 必須考慮的自由邊界對裂紋尖端應力場和位移場的影響. 在理論上得不到完全解. 通過近似的簡化或數(shù)值計算方法數(shù)值解.方法:邊界配置法, 有限單元法等.針對有限寬板問題:尋找一個滿足雙調(diào)和方程和邊界條件的應力函數(shù)或復變解析應力函數(shù).邊界配置法:將應力函數(shù)用無窮級數(shù)表達, 使其滿足雙調(diào)和方

13、程和邊界條件, 但不是滿足所有的邊界條件, 而是在有限寬板的邊界上, 選足夠多的點, 用以確定應力函數(shù), 然后再由這樣符合邊界條件的應力函數(shù)確定K 值.邊界配置法:計算平面問題的單邊裂紋問題, 只限于討論直邊界問題. 以三點彎曲試樣為例進行說明.(1威廉氏(Williams應力函數(shù)和應力公式Williams 應力函數(shù):121(1 (, cos(1 cos(1 2212j j j j j j j r C r j +=+-=-+滿足雙調(diào)和方程4(, 0r =. 邊界條件:裂紋上、下表面(2=, y 和xy 均為零. 上式滿足. 在邊界上的邊界條件的滿足如下確定:在有限寬板的邊界上選取足夠的點, 如

14、圖, 使這一點的邊界條件滿足j C (1(2為了計算方便引入無量綱量:2j j j D C BW p =其中：B -試件厚度, W -試件寬度.121(1 (, cos(1 cos(1 2212j jj j jpWr j j r D j BW +=+-=-+ +221(, y jjj pD A r x BW=122(1 cos(1 (1cos(3 22222j j j r j j j j jA W -=-+- 221(, x jjj pD B r y BW =21(, xy jjj p D E r x y BW=(2K 的計算針對型裂紋 :3(1sin sin 222x =- 3(1sin s

15、in 222y =+當0=時 . y x =(0r 00|y r K =又因為當0=時, cos 1=, 當j =1時在 乘后與r 無關, 而當 2p2,3,4j =r 有關, 當0r 時都為零. 1210111lim( (21 1(1 1222r p r K D BW W -=- 1D = 應利用邊界條件確定1D , 邊界條件只個邊界各點的應力, 可利用不同的邊界條件,a. 應力.b. ,n （n 為法向）.c. n , (為切向 （3）借用無裂紋體內(nèi)的邊界條件求系數(shù)j D取含裂紋三點彎曲試樣的左半段的受力狀態(tài)和不含裂紋的懸臂梁受力是一樣的. 取m 個點分析, 以2m 有限級數(shù)代替無限級數(shù)精

16、度足夠.對于不同的點有:2111my jjy j p D ABW=12111mxyjjxy j p D EBW= 其中1j E 已知, 1xy 由材料力學計算.( p a K F BW W= 1357922222( 11.6( 18.4( 87.2( 150.4( 154.8( a a a a a a F W W W W W W=-+-+其中4s W =標準試件, 此式為美國SEM-E399規(guī)范2-5 確定應力強度因子的有限元法不同裂紋體在不同的開裂方式的應力強度因子是不同的. 一些實驗方法、解析方法都有各自的局限性, 而有限元等數(shù)值解法十分有效地求解彈塑性體的應力和位移場, 而應力和位移場與

17、K 密切相關, 所以, 可以通過有限元方法進行應力強度因子的計算.一、位移法求應力強度因子型:3(, 1cos cos 22u r k =- 3(, 1sin sin 22v r k =+- 有限元法裂紋尖端位移(, K r =，這種方法為外推法 二、應力法求應力強度因子型: (, ( iy iy r f = 有限元法(,0 y r K = K r 的關系曲線外推K 的準確值.應力法與位移法比較:利用剛度法求應力時, 應力場比位移場的精度低(因應力是位移對坐標的偏導數(shù).三、間接法求應力強度因子(應變能釋放率法K G E =利用有限元法確定G K . 四、J 積分法K K:圍繞裂紋尖端的閉合曲線

18、. T:積分邊界上的力.u:邊界上的位移.J 積分為:uJ Wdy T ds x =-其中12iy iy W =為應變能密度.線彈性問題:K J G E =. 利用有限樣方法計算回路積分K . 2-6 疊加原理及其應用一、K 的疊加原理及其應用 1. K 的疊加線彈性疊加原理:當n 個載荷同時作用于某一彈性體上時，載荷組在某一點上引起的應力和位移等于單個載荷在該點引起的應力和位移分量之總和.疊加原理適用于K 證明:00|y r K = 設在1T 載荷作用下, 有:(1(1(1000, |y y r K = 設在2T 載荷作用下, 有: (2(2(2000, |y y r K = 由疊加原理有:

19、(1(2000|y y y =+=(1(2K K K =+ 滿足疊加原理計算復雜載荷下應力強度因子的方法:將復雜載荷分解成簡單載荷, 簡單載荷可查K 手冊.2. 實例:鉚釘孔邊雙耳裂紋的K 值 疊加原理:( ( ( ( ( ( ( 1( 2a b c d a b c K K K K K K K =+-=+其中 : ( ( 2b aK = D 為圓孔直徑, 可查應力強度因子手冊.板有寬度:(a F W =板寬的修正.-( a( b( c ( d 這里:2f Da a =+ 即有效裂紋長度 . ( ( 2b a K =確定( c K :無限板寬中心貫穿裂紋受集中力p 作用.K =a 為有效裂紋長度

20、 1(2 2f a D a =+ K = 有限板寬: (a F W = ( c K = ( (2a a K = + 二、應力場疊加原理及其應用1. 應力場疊加原理 0T :無裂紋時外邊界約束在裂紋所處位置產(chǎn)生的內(nèi)應力場.疊加原理: ( ( ( a b c c K K K K =+= 應力場疊加原理:在復雜的外界約束作用下, 裂紋前端的應力強度因子等于沒有外界約束,但在裂紋表面上反向作用著無裂紋時外界約束在裂紋出產(chǎn)生的內(nèi)應=+( a( b( c力0T 所致的應力強度因子. 如圖 2. 實例:旋轉(zhuǎn)葉輪(或軸 內(nèi)孔端裂紋的K 以等角速度運轉(zhuǎn)的葉輪, 在內(nèi)孔面有一長為2a 的貫穿裂紋, 求裂紋前段的應

21、力強度因子.(1求解無裂紋時, 旋轉(zhuǎn)體在無裂紋部位的內(nèi)應力. 有彈性力學有：22222112222223(1 8r R R r f R R r R +=+-2222211222222313(1 83R R r f R R r R +=+-+其中：f 為葉輪密度, 為角速度, 1R 為葉輪內(nèi)徑, 2R 為葉輪外徑, r 為計算點的位置, 為泊松比.= (平面應力1=-(平面應變0uab一般情況下:12111050R R = 212( 1R R a 比較小:22(1r R . 22210223(1 8R T f R r+=+(2根據(jù)類比原則: 比較( d 與( b :內(nèi)孔半徑一致, 裂紋大小及組態(tài)

22、一樣, 裂紋面上下受力一致, 外邊界無約束, 唯一不同的是一個是有限體, 一個是無限體, 由于邊界是自由的( d K K =(b(3.根據(jù)疊加原理 帶中心孔的無限大板, 受雙向拉應力220238f R +=時, 孔邊附近的應力(注意無裂紋時, 由彈性力學知:( c( d21002(1 R T r=+( d K K =(c( 1( c a K K R =(a2.7 實際裂紋的近似處理利用斷裂力學進行安全評價時, 首先確定缺陷的大小, 部位和形狀, 偏于安全考慮:夾雜、空洞、氣孔、夾雜性裂紋裂紋應針對實際問題進行分析. 一、缺陷群的相互作用 1. 垂直外應力的并列裂紋并列裂紋的作用使K 下降工程上

23、偏安全考慮(1并列裂紋作為單個裂紋考慮;(2對于密集的缺陷群, 假定它們在空間規(guī)則排列, 并可把空間裂紋簡化成平面裂紋.2. 與外應力垂直的面內(nèi)共線裂紋如裂紋中心間距大于缺陷尺寸五倍以上, 可做為單個裂紋處理, 否則必須考慮修正:W M .二、裂紋形狀的影響通過探傷手段缺陷的”當量尺寸”及其部位, 而缺陷的具體形狀及實際尺寸難以確定裂紋形狀的影響. 1. 探傷結(jié)果是面積當缺陷的面積相同時, 12a c =的橢圓裂紋K 最大以12a c =的橢圓裂紋分析是偏于安全的.2. 探傷的結(jié)果是最大線尺寸(1當最大直徑相同時, 圓裂紋的K 比橢圓裂紋大以圓裂紋估算偏于安全.(2當缺陷長度一樣時, 貫穿裂紋

24、K 比其它裂紋的K 大以貫穿裂紋估算偏于安全.2.8 塑性區(qū)及其修正小范圍屈服:屈服區(qū)較小時(遠遠小于裂紋尺寸. 線彈性斷裂力學仍可用. 一、塑性區(qū)的形狀和大小 1. 屈服條件的一般形式屈服條件:材料超過彈性階段而進入塑性階段的條件. a. 簡單情況:單向拉壓:12= 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn):s =. b. 復雜情況:(, , , , , x y z xy xz yz f c = 用主應力表示123(, , f c =有：最大正應力條件，最大切應力條件，von.Mises 屈服條件(變形能條件,Tresca 屈服(切應力條件.2. 根據(jù)屈服條件確定塑性區(qū)形狀大小a. 利用米塞斯(von.mises屈服條

25、件.當復雜應力狀態(tài)下的形狀改變能密度等于單向拉伸屈服時的形狀改變能密度, 材料屈服, 即:2222122331( ( ( 2s -+-+-=對于型裂紋的應力公式: 122x y+=121sin 22= 30=(平面應力, 薄板或厚板表面2222cos 13sin 222s K r = -平面應力下, 型裂紋前端屈服區(qū)域的邊界方程.當0=時, 201( 2sK r = 平面應變(厚板中心 312( z =+22222cos (12 3sin 222s K r *=-+ -平面應變下, 型裂紋前端屈服區(qū)的邊界方程.當0=時, 210.16( (0.3 2sK r *= 221(12 ( 2sK =

26、- b. 利用Tresca(屈雷斯加 屈服條件.在復雜受力下, 當最大切應力等于材料彈性拉伸時的屈服切應力, 材料即屈服.比較發(fā)現(xiàn):平面應變塑性區(qū)尺寸小, 平面應變處于三向拉伸狀態(tài)不易屈服. 平面應變的有效屈服應力ys 比s 高, 塑性區(qū)中的最大應力1ys = 平面應變13ys s = 考慮實際情況3ys = 平面應力1ys s =3應力松弛的影響由于塑性變形引起應力松弛(應力松弛:應變量不變, 應力隨時間降低應力松弛塑性區(qū)尺寸增大, 依據(jù):單位厚含裂紋平板, 在外力作用下發(fā)生局部屈服后, 其凈截面的內(nèi)力應當與外界平衡. 虛線表示發(fā)生塑性變形前, 0=的平面內(nèi)法向應力y 的分布規(guī)律.0|y =

27、(圖中虛線所示 此曲線下的面積為1( y F x dx =外力應力松弛后:2y F dx *=外力屈服區(qū)內(nèi)的最大應力稱為有效屈服應力ys , ( ( s ys s=平面應變平面應力ys r 為0|y ys =時的r 值, 21( 2ys ysK r = ( y y x dx dx *=又BD 與CE 下的面積應相等.FB 下的面積與ABC 下的面積相等. 即:( ys ysr r ys y x dx = 又201( 2ys ysK r r =(平面應力 ys s = 2201( 2( 8s sK K R r = 在平面應力條件下, 考慮應力松弛, x 軸的屈服區(qū)擴大1倍. 平面應變條件下:ys

28、 s = 可得2 ys sK r *= 2 sK R *= 注意:上述分析沒有考慮材料強化。材料強化裂紋尖端塑性區(qū)的尺寸變小, 對于設計是偏于安全的.二、有效裂紋尺寸(討論塑性區(qū)尺寸對應力強度因子的影響理論:線彈性理論. 修正:有效裂紋尺寸.y y A R r1 r B C ys o a ry o x 基本原理:設想裂紋的計算邊界由 o 向右移到 o ( oo = ry 以便使彈性區(qū)域 內(nèi)(即 x R 的區(qū)域按線彈性理論所獲得的應力 y | =0 和實際應力曲線 y 基本 符合. 有效裂紋尺寸 a有效 = a + ry 根據(jù)上述基本原理有： y | = 0, z = r ry = ys K 2 ( R ry = ys ry = R