基于因子套利定價模型及實證

1、基于因子套利定價模型及實證摘 要：眾所周知，建立套利定價模型的關鍵在于因素的篩選，計算量很大。而因子分析能將為數(shù)眾多的原始指標變量經(jīng)過分析綜合為少數(shù)幾個公共因子變量，從而大大減少計算的復雜度。本文利用因子分析的方法對11個因素進行篩選，確定四個能夠很好地反映所有因素包含的信息但又互不相關的公共因子變量，并建立套利定價模型，實證檢驗說明，通過該方法進行因素篩選建立的套利定價模型具有較好的定價效果。 關鍵詞:因子分析；套利定價理論；股市；模型 一、問題的提出 1976年，Stephen Ross提出了著名的資產(chǎn)定價模型套利定價理論（Arbitrage Pricing Theory，APT）。該理論

2、假設任何風險證券的收益率受K個因素的影響，由一個K因素線性模型給出： ri=ai+kk=1bikfk+i， i=1,2,n（1） 其中：E（i）=E（fk）=E（ij）=E（ifk)=0；E(2i)=s2iS2；ri為第i種風險證券的收益率；ai表示所有影響風險證券收益率的因素都為零時風險證券i的平均收益率；fk表示第k個因素的值；bik表示風險證券i對第k個因素的敏感性；i為隨機擾動項。 當不存在漸進套利機會時，由K因素線性模型可以得到如下的近似定價模型套利定價模型（APT）： E（ri）=ai0+Kk=1bikk（2） 其中，k稱為風險證券i對第k個因素的風險溢價。如果將誤差記為viai-

3、0-Kk=1bikk，則當不存在漸進套利機會時，有l(wèi)imn1nni=1v2i=0。 建立套利定價模型的關鍵在于因素的篩選。然而，一種風險證券的收益率受多方面因素的影響，同時我們也不知道究竟需要多少個因素來構造APT。假設有n個因素對證券的收益率有影響，則可能有nm=1Cmn種因素的組合。要從如此眾多的因素組合中篩選出最優(yōu)的因素組合，其計算量可想而知。 一般來說，因子的辨識和確定有兩種基本的方法：統(tǒng)計方法和推理方法。統(tǒng)計方法涉及從一個全面的資產(chǎn)收益集（通常遠超過用來估計和檢驗的樣本資產(chǎn)收益）來確定因子，采用這些收益的樣本數(shù)據(jù)來構造表示因子的資產(chǎn)組合，如Connor 和 Korajczyk（198

4、8）、Lehmann 和 Modest（1988），前者使用因子分析方法，后者利用主元分析方法。推理方法是基于捕捉經(jīng)濟的系統(tǒng)風險原則來辨識因子的，例如Fama 和 French（1988，1996）使用公司特征來構建因子資產(chǎn)組合。 在這類研究中，Roll 和 Ross (1986）的論文是一篇經(jīng)典文獻，其研究方法為后來的眾多學者所采用。在將股票分組后，對每一組股票首先采用因子分析方法來估計影響股票收益率的因子數(shù)目，并估計每只股票的因子載荷；然后，利用股票收益率數(shù)據(jù)和已估計出的因子載荷做橫截面回歸，估計因子的風險溢價，進而檢驗多因子模型的適用性。此外，由于APT認為股票收益率的風險可以分為可分散

5、風險和不可分散風險，其中可分散風險部分的均值為零，在大樣本中可忽略不計，而不可分散風險部分由K個共同因子決定，并通過K個因子系數(shù)反映股票收益率與每個非零風險溢價之間的關系。但是，現(xiàn)實中可能某一變量本身與不可分散風險不相關（即不應當作為因子出現(xiàn)），但在APT模型中卻被不恰當定價，成為一個共同因子。雖然由實際數(shù)據(jù)生成的因子模型通過了顯著性檢驗，但卻無法肯定這些因子就是不可分散風險的溢價，也無法排除可分散風險成為共同因子的可能。鑒于此，我們有必要對APT進行“自方差”檢驗這里用“自方差”只是一種強調(diào)性說法，其實質(zhì)就是該項資產(chǎn)收益率的方差。從長期來看，證券收益率的自方差與收益率均值之間總是保持很高的相

6、關性，而自方差又是每一種證券所特有的，屬于可分散風險。如果APT有效，那么單個證券的自方差就不應當對期望收益率起作用，因為APT認為只有不可分散的風險才對定價起作用，才可以成為定價因子。 “自方差”檢驗就是要證明單個股票收益率的自方差是否為共同因子，可否用于定價，要接受還是否定APT。鑒于此，他們也利用 “自方差”檢驗來對多因子模型做了補充研究。 到目前為止，我國在套利定價理論因素確定方面的研究并不多，主要是利用多元線性回歸構造套利定價模型，這一方法的計算量大，其包含的因素要么過多要么不全面，而且因素之間的關聯(lián)程度較高。 而因子分析是一種常用的統(tǒng)計降維技術，能夠利用原始指標變量中某些指標之間的

7、相關性對多變量的面板數(shù)據(jù)進行最佳綜合和簡化，將為數(shù)眾多的指標綜合為少數(shù)幾個公共因子，以較少的幾個公共因子變量反映原始指標變量的大部分信息，從而大大降低了分析問題的難度。 另外，因子分析法具有兩個獨特的優(yōu)點： （1）公共因子變量是根據(jù)原始指標變量的信息進行綜合簡化得到的。一方面大大減少了變量數(shù)目，將為數(shù)眾多的原始指標變量縮減為極少數(shù)幾個公共因子變量；另一方面又盡可能保留了大部分原始指標變量的信息，是對某些原始指標變量信息的綜合和反映，仍然具有命名解釋性。 （2）通過對原始指標變量進行綜合和簡化得到的公共因子變量之間基本上不存在線性相關性，更利于對變量進行分析。 正是因子分析的這些特點以及APT對

8、因子組合的要求決定了因子分析適合對APT的因素進行綜合和簡化。因此，本文引入了因子分析法對APT的因素進行篩選。 二、用因子分析法確定APT中的因素組合 在已有的研究中，一般認為APT中至少包含有三類不同的因素：反映總體經(jīng)濟活動的指標、通貨膨脹率以及某些類型的利率因素。鑒于此，本文將國民生產(chǎn)總值、工業(yè)生產(chǎn)總值、第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值、第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值、全國居民消費水平、通貨膨脹率、全社會固定資產(chǎn)投資增長速度、社會消費品零售總額、貨幣供應總量、年凈出口貿(mào)易總額、利率期限結構等11個因素作為原始指標變量，利用我國1980年到2003年統(tǒng)計年鑒中的數(shù)據(jù)進行因子分析。 （一） 對原始指標變量進行相關性分析

9、因子分析從眾多的原始指標變量中構造出少數(shù)幾個具有代表意義的公共因子變量，它要求原始指標變量之間要具有比較強的相關性，否則就無法從中綜合出能反映某些變量共同特性的少數(shù)公共因子變量來，原始指標變量就不適于進行因子分析。因此，在因子分析之前需要對原始指標變量進行相關性分析。 本文采用的是KMO（Kaiser-Meyer-Olkin）檢驗和Bartlett球度檢驗。統(tǒng)計量KMO的值為0.771，大于0.6，根據(jù)統(tǒng)計學家Kaiser給出的標準，原始指標變量適合做因子分析；Bartlett球度檢驗給出的自由度為55的卡方近似值為780.924，相伴概率為0.000，小于顯著水平0.05，適合進行因子分析。

10、由KMO檢驗和Bartlett球度檢驗結果可知，原始指標變量適合做因子分析。 與此同時，本文還對11個原始指標變量進行了反映像相關矩陣檢驗，在反映像相關矩陣中，所有偏相關系數(shù)的絕對值均小于0.05，說明所有的原始指標變量都適于進行因子分析。 （二） 構造公共因子變量 構造公共因子變量是因子分析的一個核心問題。因子分析中確定公共因子變量的方法很多，本文采取的是主元分析法。 1.確定保留公共因子變量的數(shù)目 2.因子分析效果（見表1） 因子分析的最終解解釋了每個原始指標變量99.5以上的方差，每個原始指標變量的共同度幾乎都在98以上，與1非常接近，也就是說，原始指標變量所攜帶的信息不能被公共因子變量

11、解釋的部分不到2。這說明提取出的公共因子變量基本上已經(jīng)反映了原始指標變量所有的信息，只有極少數(shù)信息丟失。可見，因子分析的效果非常好。 3.因子提取和因子旋轉(zhuǎn)的結果（表略） 可見，提取的四個公共因子變量反映了原始指標變量的幾乎所有信息，能夠代替11個原始指標變量構造多因素線性模型。 （三） 公共因子變量的命名解釋 公共因子變量的命名解釋是因子分析法的又一核心問題。原始指標變量都是具有具體經(jīng)濟含義的變量，經(jīng)過主成分分析以后，對這些變量進行了線性變換，得到的新的公共因子變量對原始指標變量進行了綜合和簡化。因此，有必要對新的公共因子變量進行解釋，以進一步說明影響原始指標變量系統(tǒng)構成的主要因素和系統(tǒng)特征

12、。本文采用方差極大法對因子負荷矩陣進行旋轉(zhuǎn)得到公共因子變量和原始指標變量之間的關系。 1.旋轉(zhuǎn)前后因子負荷矩陣（見表2） 從表2可以看出，在進行因子旋轉(zhuǎn)前，除了通貨膨脹率、全社會固定資產(chǎn)投資增長速度和利率期限結構三個原始指標變量外，其他8個反映一個國家總體經(jīng)濟狀況情況的原始指標變量對第一個公共因子變量的荷載都很大，絕對值均在0.9以上；年凈出口貿(mào)易總額、通貨膨脹率、全社會固定資產(chǎn)投資增長速度和利率期限結構對第二個公共因子變量的荷載都比較大；而通貨膨脹率、全社會固定資產(chǎn)投資增長速度則同時對第三個公共因子變量有較大的荷載；通貨膨脹率、年凈出口貿(mào)易總額和利率期限結構同時對第四個公共因子的荷載比較大。可見，四個因子中有一些信息重合了，一個公共因子變量在很多原始指標變量上都有較高的荷載，不易于對公