中考數(shù)學(xué)函數(shù)綜合題型及解題方法講解

1、.二次函數(shù)綜合題型精講精練主講：姜老師題型一：二次函數(shù)中的最值問題例 1 ：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=ax 2 +bx+c 經(jīng)過 A （ 2 ， 4 ），O （ 0，0 ）， B（ 2 ，0 ）三點(diǎn)（ 1 ）求拋物線 y=ax 2 +bx+c 的解析式；（ 2 ）若點(diǎn) M 是該拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，求AM+OM的最小值解析：（ 1）把 A （ 2 ， 4 ）， O（ 0 ， 0 ）， B（ 2， 0 ）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax 2 +bx+c中，得解這個方程組，得 a= ， b=1 ，c=0所以解析式為 y= x2+x （ 2 ）由 y= x2+x= （ x 1） 2 + ，可得拋物

2、線的對稱軸為 x=1 ，并且對稱軸垂直平分線段OBOM=BMOM+AM=BM+AM連接 AB 交直線 x=1 于 M 點(diǎn)，則此時 OM+AM最小過點(diǎn) A 作 AN x 軸于點(diǎn) N ，在 Rt ABN 中， AB=4，因此 OM+AM 最小值為方法提煉：已知一條直線上一動點(diǎn)M 和直線同側(cè)兩個固定點(diǎn)A、B，求 AM+BM 最小值的問題，我們只需做出點(diǎn) A 關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)A ，將點(diǎn) B 與 A 連接起來交直線與點(diǎn) M ，那么 A B 就是 AM+BM的最小值。 同理，我們也可以做出點(diǎn)B 關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)B，將點(diǎn) A 與 B連接起來交直線與點(diǎn) M ，那么 AB 就是 AM+BM 的最小值。應(yīng)

3、用的定理是：兩點(diǎn)之間線段最短。AABBM或者M(jìn)AB例 2 ：已知拋物線 C1 的函數(shù)解析式為 yax 2bx3a(b 0) ，若拋物線 C1 經(jīng)過點(diǎn) (0, 3) ，方程ax 2bx 3a 0 的兩根為 x1 ， x2 ，且 x1x24 。（ 1 ）求拋物線 C1 的頂點(diǎn)坐標(biāo) .（ 2 ）已知實(shí)數(shù) x 0 ，請證明： x1,并說明 x 為何值時才會有 x122 .xx（ 3 ）若拋物線先向上平移 4個單位，再向左平移1 個單位后得到拋物線C2 ，設(shè) A(m,y 1)， B(n, y2 ) 是 C2上的兩個不同點(diǎn)， 且滿足：AOB900 ，m 0 ，n 0 .請你用含有 m 的表達(dá)式表示出AOB

4、 的面積 S ，;.并求出 S 的最小值及S 取最小值時一次函數(shù)OA 的函數(shù)解析式。解析：（ 1 ）拋物線過（ ,）點(diǎn)， 3 aax2 bx x2 bx = 的兩根為x1 ,x2 且 x1 - x 2 x1x2(x1x2 )24x1 x2 且 b b x2 x（ x） 拋物線 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）（ 2 ）x， x12 ( x1) 20xxx1x12, 顯然當(dāng) x時，才有2,xx（ 3 ）方法一：由平移知識易得的解析式為：yx 2 (m ，m )， B（ n ， n ）AOB 為 RtOA +OB =AB m m n n （ m n ） （ m n ）化簡得： m n AOB=1OAOB =1m

5、2m 4n 2n422m n AOB12 m 2n 21 2 m2122m2 1 (m1 ) 21 m11 2 12m2m2 AOB 的最小值為，此時m ,( , )直線 OA 的一次函數(shù)解析式為 x方法提煉：已知一元二次方程兩個根x12,求 |x12|。因?yàn)?2|=(x1x2 )24x1x2,x-x|x-x根據(jù)一元二次方程的求根公式 x1bb24ac ; x2bb24ac ; 可得到：b ; x xc .2a2axx21a12am12, (mo); 當(dāng) m 1時， m12，取得最小值。mm例 3：如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn) A （ 1， 0）、 B（3 ，0）、C（ 0， 3）三點(diǎn)（ 1 ）求拋

6、物線的解析式（ 2 ）點(diǎn) M 是線段 BC 上的點(diǎn)（不與B， C 重合），過 M 作 MN y 軸交拋物線于N ，若點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為m ，請用 m 的代數(shù)式表示MN 的長;.（ 3 ）在（ 2 ）的條件下，連接NB 、 NC ，是否存在m ，使BNC 的面積最大？若存在，求m 的值；若不存在，說明理由解析：（ 1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a （ x+1 ）（ x 3），則：a（ 0+1 ）（ 0 3 ） =3 ，a= 1 ；拋物線的解析式：y= （ x+1 ）（ x3 ） = x2 +2x+3 （ 2 ）設(shè)直線 BC 的解析式為： y=kx+b ，則有：，解得；故直線 BC 的解析式： y=

7、 x+3 已知點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 m ，則 M （ m ， m+3）、 N （m ， m 2+2m+3）；故 MN= m 2+2m+3（ m+3 ） = m 2 +3m（ 0 m 3 ）（ 3 ）如圖；S=SMNC+SMNB= MN （OD+DB ）=MN ×OB，BNCS=2+3m2+（ 0 m 3 ）；（ m）×3= （ m ）BNC當(dāng) m=時，BNC 的面積最大，最大值為方法提煉：因?yàn)?BNC 的面積不好直接求，將BNC 的面積分解為 MNC 和MNB的面積和。然后將 BNC 的面積表示出來，得到一個關(guān)于m 的二次函數(shù)。此題利用的就是二次函數(shù)求最值的思想，當(dāng)二次函數(shù)的

8、開口向下時，在頂點(diǎn)處取得最大值；當(dāng)二次函數(shù)的開口向上時，在頂點(diǎn)處取得最小值。題型二：二次函數(shù)與三角形的綜合問題例 4 ：如圖，已知：直線yx3 交 x 軸于點(diǎn) A ，交 y 軸于點(diǎn) B，拋物線 y=ax 2+bx+c經(jīng)過 A 、B、 C（ 1 ，0）三點(diǎn) .（ 1 ）求拋物線的解析式 ;（ 2 ）若點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ -1 ， 0），在直線 y x 3 上有一點(diǎn) P,使 ABO 與 ADP 相似，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；（ 3 ）在（ 2 ）的條件下，在x 軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)E，使ADE 的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點(diǎn)E 的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由解：（ 1）：由

9、題意得，A（ 3，0 ）， B（ 0， 3）拋物線經(jīng)過 A 、B、C 三點(diǎn)，把 A（ 3，0 ），B（ 0 ，3）， C（ 1 ，0 ）三點(diǎn)分別代入 y = ax 2 + bx + c 得方程組9a3bc0c3abc0;.a1解得： b4c3拋物線的解析式為y = x2 - 4x + 3（ 2 ）由題意可得：為ABO等腰三角形 ,如圖所示，若 ABO1DAP，則AOOBADDP11, DP=AD=41P (- 1,4)若 ABO ADP，過點(diǎn) P作 PMx 軸于 M ， AD=4,222 ABO為等腰三角形,是ADP等腰三角形 ,由三線合一可得： DM=AM=2= P2M ，2即點(diǎn) M 與點(diǎn)

10、C重合P2（ 1， 2）（ 3 ）如圖設(shè)點(diǎn) E ( x, y) ，則S ADE1 AD| y | 2 | y |2當(dāng) P (-1,4) 時，1S 四邊形 AP1CE =S ACP1 +S ACE112 | y |2422= 4 + y2 y = 4 + y y = 4點(diǎn) E 在 x 軸下方y(tǒng) = - 4代入得：x2 - 4x + 3 = - 4 ,即x24x70=(-4) 2 -4 ×7=-12<0此方程無解當(dāng) P2（ 1 ， 2 ）時， S 四邊形 AP2CE =S 三角形 ACP2 +S 三角形 ACE =2 + y2 y = 2 + y y = 2點(diǎn) E 在 x 軸下方y(tǒng)

11、 = - 2代入得： x2 -4x + 3 = - 2即x 24x50 ，=(-4) 2 -4 ×5=-4<0此方程無解綜上所述，在x 軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)E。方法提煉：求一點(diǎn)使兩個三角形相似的問題，我們可以先找出可能相似的三角形，一般是有幾種情況，需要分類討論，然后根據(jù)兩個三角形相似的邊長相似比來求點(diǎn)的坐標(biāo)。要求一個動點(diǎn)使兩個圖形面積相等，我們一般是設(shè)出這個動點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩個圖形面積相等來求這個動點(diǎn)的坐標(biāo)。如果圖形面積直接求不好求的時候，我們要考慮將圖形面積分割成幾個容易求解的圖形。例 5 ：如圖，點(diǎn) A 在 x 軸上， OA=4 ，將線段 OA 繞點(diǎn) O 順

12、時針旋轉(zhuǎn) 120 °至OB 的位置（ 1 ）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（ 2 ）求經(jīng)過點(diǎn) A O 、 B 的拋物線的解析式；;.（ 3 ）在此拋物線的對稱軸上， 是否存在點(diǎn) P，使得以點(diǎn) P、O 、B 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解析：（ 1）如圖，過B 點(diǎn)作 BCx軸，垂足為C，則BCO=90 °，AOB=120 °，BOC=60 °，又OA=OB=4 ， OC= OB=× 4=2 ， BC=OB?sin60° =4 ×=2，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（2， 2）；（ 2 ）拋物線過原點(diǎn) O 和點(diǎn)

13、 A B，可設(shè)拋物線解析式為 y=ax 2+bx ，將 A（4，0），B（ 2 2）代入，得，解得，此拋物線的解析式為y= x2+x（ 3 ）存在，如圖，拋物線的對稱軸是 x=2 ，直線 x=2 與 x 軸的交點(diǎn)為 D ，設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 2 ，y ），若 OB=OP ，則 2 2+|y| 2 =4 2 ，解得 y= ±2 ，當(dāng) y=2時，在 Rt POD中， PDO=90 °， sin POD= ，POD=60 °，POB= POD+ AOB=60 ° +120 ° =180 °，即 P、 O、 B 三點(diǎn)在同一直線上， y=2

14、不符合題意，舍去，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 2， 2）若 OB=PB ，則 4 2 +|y+2|2=4 2，解得 y= 2，故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 2 ， 2），若 OP=BP ，則 22 +|y| 2=4 2+|y+2|2，解得 y= 2，故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 2 ， 2），綜上所述，符合條件的點(diǎn)P 只有一個，其坐標(biāo)為（2， 2），;.方法提煉：求一動點(diǎn)使三角形成為等腰三角形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想。因?yàn)橐挂粋€三角形成為等腰三角形，只要三角形的任意兩個邊相等就可以，所以應(yīng)該分三種情況來討論。題型三：二次函數(shù)與四邊形的綜合問題例 6 ：綜合與實(shí)踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=

15、x 2+2x+3與 x 軸交于 A B 兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) D 是該拋物線的頂點(diǎn)（ 1 ）求直線 AC 的解析式及B，D 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 2 ）點(diǎn) P 是 x 軸上一個動點(diǎn)，過P 作直線 l AC交拋物線于點(diǎn)Q ，試探究：隨著P 點(diǎn)的運(yùn)動，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q ，使以點(diǎn) AP、Q、C 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（ 3 ）請在直線AC 上找一點(diǎn)M ，使BDM的周長最小，求出M 點(diǎn)的坐標(biāo)解析：（ 1）當(dāng) y=0時， x2 +2x+3=0，解得 x1 = 1 ，x 2 =3 點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)，A B 的坐標(biāo)分別為（1

16、，0 ），（ 3， 0）當(dāng) x=0 時， y=3 C 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 0 ， 3 ）設(shè)直線 AC 的解析式為y=k 1 x+b 1 （ k1 0 ），則，解得，直線 AC 的解析式為y=3x+3y= x 2+2x+3=（ x 1 ）2 +4 ，頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ 1 ， 4）（ 2 ）拋物線上有三個這樣的點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn) Q 在 Q 1 位置時， Q 1 的縱坐標(biāo)為 3，代入拋物線可得點(diǎn) Q 1 的坐標(biāo)為（ 2 ，3 ）；當(dāng)點(diǎn) Q 在點(diǎn) Q 2 位置時，點(diǎn) Q 2 的縱坐標(biāo)為 3 ，代入拋物線可得點(diǎn) Q 2 坐標(biāo)為（ 1+ ， 3）；當(dāng)點(diǎn) Q 在 Q 3 位置時，點(diǎn)Q3 的縱坐標(biāo)為3 ，代入拋物線解

17、析式可得，點(diǎn)Q3 的坐標(biāo)為（ 1， 3）；綜上可得滿足題意的點(diǎn)Q 有三個，分別為：Q 1（2 ，3 ），Q 2（1+， 3），Q 3（1， 3）（ 3 ）點(diǎn) B 作 BB AC 于點(diǎn) F，使 BF=BF ，則 B為點(diǎn)B 關(guān)于直線 AC 的對稱點(diǎn)連接 BD 交直線 AC 與點(diǎn) M ，則點(diǎn) M 為所求，過點(diǎn) B作BE x 軸于點(diǎn) E 1 和2 都是3 的余角， 1= 2Rt AOC Rt AFB ，;.，由 A（ 1，0），B（3 ，0），C（0，3 ）得 OA=1 ，OB=3 ，OC=3 ，AC=， AB=4 ，BF=，BB=2BF=，由1= 2 可得 Rt AOC Rt BEB，即BE=， B

18、E=，OE=BE OB= 3=B點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，）設(shè)直線 BD 的解析式為y=k 2x+b 2 （ k2 0 ），解得，直線 B'D 的解析式為： y=x+，聯(lián)立 B'D 與 AC 的直線解析式可得：，解得，M 點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）方法提煉：求一動點(diǎn)使四邊形成為平行四邊形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想，一般需要分三種情況來討論。;.題型四：二次函數(shù)與圓的綜合問題例 7 ：如圖，半徑為 2 的C 與 x 軸的正半軸交于點(diǎn)A ，與 y 軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 1，0 ）若拋物線 y3 x2 bx c 過 A 、 B 兩點(diǎn)3（ 1 ）求拋物線的解析式；（ 2 ）在

19、拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PBO= POB？若存在，求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在說明理由；（ 3 ）若點(diǎn) M 是拋物線（在第一象限內(nèi)的部分）上一點(diǎn)，的面積為MABS，求 S 的最大（?。┲到馕觯海?1）如答圖1 ，連接 OB BC=2 ，OC=1OB=413B（0，3）將 A （ 3， 0）， B（ 0，3 ）代入二次函數(shù)的表達(dá)式3 93bc 0b23得3，解得：3，c3c3 y3 x223 x3 3 3（ 2 ）存在如答圖 2 ，作線段OB 的垂直平分線l，與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P B（0，3 ），O（0，0），直線 l 的表達(dá)式為 y3代入拋物線的表達(dá)式，2得 y3 x22 3 x33 ；33

20、2解得 x10，12 P（110， 3 ）2 2（ 3 ）如答圖 3 ，作 MHx 軸于點(diǎn) H 設(shè) M （ xm， ym），;.則 S MAB=S 梯形 MBOH +S MHAS OAB=1 （ MH+OB） ?OH+1HA?MH 1OA?OB222= 1 ( ym3) xm1 (3 xm ) ym1 33222=3 xm3 ym33222 ym3 xm2 2 3 xm3 ，33S MAB3 xm3 (3 xm22 3 xm3)3 322332=3 xm 23 3 xm3 ( xm3)2 9322228當(dāng) xm3時， S MAB 取得最大值，最大值為93 28題型五：二次函數(shù)中的證明問題例 8

21、：如圖11 ，已知二次函數(shù)y12)(axb) 的圖像過點(diǎn) A(-4 ，3 ）， B(4 ， 4).(x48（ 1 ）求二次函數(shù)的解析式：（ 2 ）求證： ACB 是直角三角形；（ 3 ）若點(diǎn) P 在第二象限，且是拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P 作 PH 垂直 x 軸于點(diǎn) H ，是否存在以P、H、D 、為頂點(diǎn)的三角形與 ABC 相似？若存在，求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解：（ 1）將 A(-4，3 ）， B(4 ，4) 代人 y1 ( x2)(axb) 中，整理得：484a - b72解得a134ab 32b-20二次函數(shù)的解析式為：y1 (x2)(13x - 20)，48整理得：y13

22、x21 x - 5488620（ 2）由13 x21 x -50整理13x 26 x - 40 0x12, x213488620C （-2，0） D（ ，0）13從而有： AC 2=4+9BC 2=36+16AC 2 + BC 2=13+52=65AB 2=64+1=65 AC 2+ BC 2=AB 2故ACB 是直角三角形13x215（X<0 ）（3 ）設(shè) p( x，8x - )486PH=13 x 21 x - 5HD=20 - xAC=13 BC= 213488613PHHD當(dāng)PHD ACB 時有：BCAC;.13 x21 x - 520 - x13 x 25 x - 125即：

23、488 613整理0132132443950x220y135x1 -（舍去）此時，13131350 35 p1 (- ， ）13 13當(dāng)DHP ACB 時有：DHPHACBC20- x13x21x -513 x217 x - 305即： 1348286整理0131348878x1122x220y128413-1313（舍去）此時，122284p2 (-，）13135035122284p2綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有兩個即p1 (-， ）(-，）13131313例 9 ： 在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，點(diǎn) P 是拋物線： y=x 2 上的動點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限內(nèi)）連接OP ，過點(diǎn) 0作 OP 的垂線交拋物

24、線于另一點(diǎn) Q 連接 PQ ，交 y 軸于點(diǎn) M 作 PA 丄 x 軸于點(diǎn) A ，QB 丄 x 軸于點(diǎn) B設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 m （ 1 ）如圖 1 ，當(dāng) m=時，求線段 OP 的長和 tan POM的值；在 y 軸上找一點(diǎn)C，使OCQ是以 OQ 為腰的等腰三角形，求點(diǎn)C 的坐標(biāo)；（ 2 ）如圖 2 ，連接 AM 、BM ，分別與 OP 、 OQ 相交于點(diǎn) D 、 E用含 m 的代數(shù)式表示點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；求證：四邊形 ODME 是矩形解析：（ 1）把 x=代入y=x 2 ，得 y=2 ，P（， 2 ），OP= PA丄 x 軸，PA MOtan P0M=tan 0PA= 設(shè)Q（ n， n 2

25、），tan QOB=tan POM，n=Q（，），OQ=當(dāng) OQ=OC時，則 C1（0 ，）， C2（ 0，）；當(dāng) OQ=CQ 時，則 C3 （ 0， 1）（ 2 ）Pm（， m 2），設(shè)Q （ n ， n 2 ），APOBOQ，得 n=，Q（，）;.設(shè)直線 PO 的解析式為： y=kx+b，把 P（ m ， m 2 ）、 Q（，）代入，得：解得 b=1 ，M（0， 1），QBO= MOA=90 °，QBOMOAMAO= QOB， QO MA同理可證：EM OD又 EOD=90 °，四邊形 ODME 是矩形題型六：自變量取值范圍問題例 10 ：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中

26、，四邊形 ABCD 是菱形， 頂點(diǎn) A CD 均在坐標(biāo)軸上， 且 AB=5 ，sinB= （ 1）求過 A C D 三點(diǎn)的拋物線的解析式；（ 2）記直線 AB 的解析式為 y1=mx+n，（ 1 ）中拋物線的解析式為 y 2=ax 2+bx+c ，求當(dāng) y1 y2 時，自變量 x 的取值范圍；（ 3）設(shè)直線 AB 與（ 1 ）中拋物線的另一個交點(diǎn)為E，P 點(diǎn)為拋物線上A E 兩點(diǎn)之間的一個動點(diǎn)，當(dāng) P點(diǎn)在何處時，的PAE面積最大？并求出面積的最大值解析：（ 1）四邊形 ABCD 是菱形， AB=AD=CD=BC=5， sinB=sinD=；Rt OCD中，OC=CD?sinD=4，OD=3 ；

27、OA=AD OD=2 ，即：A（ 2， 0）、B（ 5 ，4 ）、C（0，4）、D（3，0）；設(shè)拋物線的解析式為：y=a （x+2 ）（ x 3 ），得：2 ×（3 ） a=4 ， a= ；拋物線： y= x2 +x+4 （ 2 ）由 A （ 2 ，0 ）、 B（ 5 ， 4 ）得直線 AB ： y1= x ；由（ 1 ）得： y2= x2+ x+4 ，則：，;.解得：，；由圖可知：當(dāng)y1 y 2 時， 2 x5 （ 3 ）S APE= AE?h ，當(dāng) P 到直線 AB 的距離最遠(yuǎn)時， S最大； ABC若設(shè)直線 L AB，則直線 L 與拋物線有且只有一個交點(diǎn)時，該交點(diǎn)為點(diǎn)P；設(shè)直線 L： y= x+b ，當(dāng)直線 L 與拋物線有且只有一個交點(diǎn)時， x+b= x2 + x+4 ，且=0