《高等數(shù)學(xué)》(一)(2)補(bǔ)充例題及練習(xí)題解析

1、第八章空間解析幾何與向量代數(shù)（6 學(xué)時）§8.1向量及其線性運(yùn)算一、補(bǔ)充例題例 1已知向量 a (3,5,1) ，b(2,2,3)， c( 4,1, 3) ，求abc。234例 2在 yOz 面上，求與三點(diǎn)A(3,1,2) 、 B(4, 2,2) 和 C(0,5,1)等距離的點(diǎn)。例 3已知兩點(diǎn) A(2,3,1) 和 B(1,2,0) ，求與 AB 方向相同的單位向量e 。例 4已知兩點(diǎn) A(1,1,2)和 B(0,1,3) ，計算向量 AB 的模、方向余弦和方向角。例 5一向量的終點(diǎn)在點(diǎn)B( 2,1,7) ，它在 x 軸、 y 軸和 z 軸上的投影依次為4 ，4 和 7 。求這向量的

2、起點(diǎn) A 的坐標(biāo)。二、練習(xí)p12 13習(xí)題 8-14， 5， 15，17§8.2向量的數(shù)量積與向量積一、補(bǔ)充例題例 1已知 aij ， bi k ，求 a b ， cos( a, b) 及 Pr jb a 。例 2已知四點(diǎn) A(2,2,1) 、 B(0,1,2)、 C (1,1,1) 、 D (3,3,2) ，求 Pr jAB ， cos( AB, CD) 。CD例 3記 a(3,1,0) ， b(1,2,1) ，求 a b 。例 4已知ABC 的三個頂點(diǎn)為A(3,0,2) ， B(5,3,1) ， C (0, 1,3) ，（ 1）求垂直于這個三角形所在平面的單位向量； （ 2）求A

3、BC 的面積。解 （1）因為 aAB AC 垂直于向量 AB 與 AC ，所以 a 是一個垂直于三角形ABC 所在平面的向量。而 AB (2,3,1)， AC( 3, 1,1) ，所以ijkaABAC2312ij 7k 。311a22127236 ， ea1(2,1,7) 。36所以垂直于三角形ABC 所在平面的單位向量為31( 2,1,7)。61（ 2）因為ABC 的面積 S 是以 AB ， AC 為鄰邊的平行四邊形面積的一半，所以S1AB AC1 a122127236 。2222二、練習(xí)p22 習(xí)題 8-21， 3， 6， 10§8.3曲面及其方程一、補(bǔ)充例題例 1x2z2將 x

4、Oz 坐標(biāo)面上的雙曲線1 分別繞 z 軸和 x 軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方a2c 2程。二、練習(xí)p31習(xí)題 8-35， 6，7§8.4空間曲線及其方程一、補(bǔ)充例題例 1 下列方程組各表示怎樣的曲線？（ 1） x2y 21，（ 2） x 24 y，（ 3） z x 2y 2，（4） x2y 2z236，2x 3z 6；z1；z 4 x 2y 2；z23x23 y 2 .答案 ：（ 1）平行于 y 軸的平面與母線平行于z 軸的圓柱面的交線（圖8-44）；（ 2） z1平面上的拋物線； （ 3） z2平面上的圓；（ 4） z3 3 平面上的兩個圓。例 2 求由曲面 S1 ：x 2y

5、22z0 與曲面 S2 ：x2y 22x 0 以及 xOy 平面所圍成的立體在xOy 面上的投影。解 曲面 S1 是旋轉(zhuǎn)拋物面，曲面 S2是母線平行于z 軸方向的圓柱面，它們的交線C 的方程為x2y 22z0x2y 2。2x0曲線 C 在 xOy 面上的投影曲線是一個圓，其方程為x2y 22x 0z0，立體在 xOy 面上的投影就是曲線C 在 xOy 面上的投影曲線所圍平面區(qū)域，用不等式表示為x2y 22x 0 ，即 (x 1) 2y 21。2二、練習(xí)p37習(xí)題 8-43， 4§8.5平面及其方程一、補(bǔ)充例題例 1 一平面過點(diǎn) M 0 (3, 2,1) 且與 M 0 到 M 1 (

6、2,1,4) 的連線垂直，求其方程。例 2 求過三點(diǎn) M 1 (0, 1,3) ， M 2 (1,1, 2) ， M 3 ( 1,2, 2) 的平面方程。例 3 求通過 y 軸和點(diǎn) (1, 2,1) 的平面的方程。分析： 平面方程為 Ax Cz 0 。例 4求過點(diǎn) M1 (1,0, 2)和 M 2 (1,2,2) ，且與以向量a(1,1,1) 為法向量的平面垂直的平面方程。例 5求平面 x y4z2 和 x 2 y2z 0 的夾角。例 6求過點(diǎn) M 1 (1,2,1)、 M 2 (2,3,1) 且和平面 xyz 10垂直的平面方程。二、練習(xí)p42 43習(xí)題 8-5 1， 6， 8§8

7、.6空間直線及其方程一、補(bǔ)充例題例 1用對稱式方程和參數(shù)方程表示直線：x2yz20（ 1）3xy2 z40解 先找出這直線上的一點(diǎn)(x0 , y0 , z0 ) 。例如，可以取x01 ，代入方程組（1），得2 y z1y 2z1解之得 y01， z0 1 ，即 (1,1,1) 是這直線上的一點(diǎn)。下面再找出這直線的方向向量s 。由于兩平面的交線與這兩平面的法線向量n1(1, 2,1) ，ijkn 2 (3,1, 2) 都垂直，所以可取s n1 n 21213 i 5 j 7k ，312因此，所給直線的對稱式方程為x1y1z1 ，357x3t1令上式為 t ，又得已知直線的參數(shù)方程為y5t1。z7

8、t13例 2x4 y2z0一直線過點(diǎn) M (5,0, 2) 且與直線3yz平行，求該直線的方程。2x1 0例 3已知直線過一點(diǎn) M0 (1,2,0) ，且與平面 2xy3z 1 0 垂直，求此直線的對稱式方程和參數(shù)方程。解所求直線與已知平面垂直，平面的法向量可以取為直線的方向向量s (2,1,3) ，由對稱式方程（ 2），得所求直線的對稱式為x 1y2z 。213x 1y 2zx12t令t ，得所給直線的參數(shù)方程為y2t 。213z3t補(bǔ)充 ：平面束的方程 。設(shè)直線 L 由方程組A1 x B1 y C1 z D10A2 x B2 y C2 z D 20所確定，其中系數(shù)A1、B1、 C1 與 A

9、2、B2、 C2 不成比例。下面建立三元一次方程：A1 x B1 y C1 z D1( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0 ，其中為任意常數(shù)。 因為 A1、 B1、C1 與 A2、B2、 C2 不成比例， 所以對于任何一個值，方程 的系數(shù)：A1A2、B1B2、C1C2 不全為零，從而方程 表示一個平面，若一點(diǎn)在直線L 上，則點(diǎn)的坐標(biāo)必同時滿足方程 和 ，因而也滿足方程 ，故方程 表示通過直線L 的平面，且對應(yīng)于不同的值，方程 表示通過直線 L 的不同的平面。 反之，通過直線 L 的任何平面 （除平面 外）都包含在方程 所表示的一族平面內(nèi)。通過定直線的所有平面的全體稱為平面束 ，而方程

10、就作為通過直線 L 的平面束的方程 （實際上，方程 表示缺少平面 的平面束） 。指出 ：若要使平面束包含已知的兩個平面，可以取平面束方程為1 ( A1 x B1 y C1 z D1 )2 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0 。例 4求直線 L：2xy z10： x2 y z 0 上的投影直線的方程。x yz1在平面0分析寫出直線 L 的平面束方程，由這平面與已知平面垂直14投影平面為 3xy z 103x y z 1 0投影直線為2 yz 0。x4例 5求過直線 L1：2x y z 20,2y 1z 33x 2 y 2 z 1且與直線 L2： x平行的平面方程。0,323分析 ：由

11、過直線 L1 的平面束與直線 L2平行，可求出平面束方程中的參數(shù)5，代入平面束方程，即可得所求平面方程為 17 x 9 y 11z 30 。二、練習(xí)p49 50習(xí)題 8-61， 2， 4， 7，11，15第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（10學(xué)時）§9.1多元函數(shù)的基本概念一、補(bǔ)充例題例 1求下列函數(shù)的定義域：（ 1） zarcsin xarcsin y ；（ 2） z4x 2y 21y 2。23x 21答案 ：（ 1） ( x, y)2x2,3y3 ；（ 2） ( x, y) 1x2y 24 。例 2求下列極限：（ 1）limtan xy ；（ 2）limln( xey ) ；（ 3）

12、lim( x, y ) ( 0, 2)x( x , y) (1,0 )x2y2( x, y )(0 ,0)解（ 1）limtan xylimtan xy ylimtan xylim y1 22 ；( x, y)(0 ,2)x( x, y )(0,2)xyxy0xyy 2ln( xey)limln( xey )ln 2（ 2）lim( x, y )(1, 0)ln 2 ；x2y2x2y21( x, y)(1,0)lim( x, y )(1,0)（ 3）limxy11limxy111。xyxy11)2( x, y )(0 ,0)( x, y)( 0, 0) xy(二、練習(xí)p63習(xí)題 9-15， 6

13、（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）xy11。xy§9.2偏導(dǎo)數(shù)一、補(bǔ)充例題例 1設(shè) zxsin(xy)ex 2 y ，求z， z和 zx 1 。xyxy 0例 2設(shè) zx y （ x0 ， x1），求z ，z 。xy例 3設(shè) zarctan y ，求z 和 z 。xxy5例 4求函數(shù) z xy x 2sin y 的所有二階偏導(dǎo)數(shù)。例 5設(shè) u ( xy) z ，試求3u 。x y z二、練習(xí)p69習(xí)題 9-21（ 1）（2）（ 3）（ 5）（ 6）（ 7）， 4， 6，8§ 9.3全 微 分一、補(bǔ)充例題例 1設(shè) z lnx2y 4 ，求 dz 。例 2求函數(shù) uf (

14、x, y, z)( x ) z 在點(diǎn) ( 2,1,2) 的全微分。y例 3求函數(shù) ux 2sinyarctan z 的全微分。2y二、練習(xí)p75 76 習(xí)題 9-31，2， 3§ 9.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、補(bǔ)充例題例 1設(shè) zln( x 2y2 ) ， x t1， yt (t 1)，求 dz 。tdt解設(shè) ux 2y 2，則dzdzu dxdzu dy1y2 2x(111dtdux dtduy dtx2t 2 )x2y2 2 y(2t1)1 212(t1)(11 )112(t 2t )(2t 1) 。(t(t2t )2tt 22(t2t)2)(t)tt例 2設(shè) zeucosv

15、 ， uxy ， v2xy ，求z ， z 。xy例 3 設(shè) zz解x例 4 設(shè) z二、練習(xí)fxvx2 vx3v ，而22，求z 。()ev x y,cosxffv2xev3x2(x2evsin v) 2x3x22x(1 x2)ex2y22y2) 。xvx2x si nx(f ( y , x2y, ysin x) ，求z ，z 。xxyp82 83習(xí)題 9-41， 2， 3， 4，5， 86§9.5隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一、補(bǔ)充例題例 1求由方程 x yy x （ xy ）所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dy 。dx例 2設(shè) x2 yezz ，求 z ， z 和2 z 。xyx y解先求 z 和z 。

16、xy2y ezz，則，2，z，（方法一） 公式法 。令F x y z x( ,)Fx2xyF yx Fze 1所以zFx2xy， zF yx 2。xFzez1yFzez1（方法二） 直接法 。直接對方程 x2 yezz的兩端分別對x 和 y 求導(dǎo)，得2xy ezzz ， x 2ezzz ，xxyy解得z2xy，zx2。xezyez11注意對方程兩端求導(dǎo)時，要把z 看作x 和 y的函數(shù)。（方法三） 微分法 。對方程 x 2 yezz 的兩端求微分，有2xydxx2 dyezdzdz ，整理，得dz2xydxx2dy ，ez1ez1所以z2xy，zx2xezyez。11最后，計算二階混合偏導(dǎo)數(shù)。由

17、z2xy對 y 求偏導(dǎo)數(shù)，得xez12 z2x(ez1)2xyezz2x(ez 1) 22x 3 yez(ez1) 2y。x y(ez1)3例 3設(shè) 2x 2xy2z26 ，求z ，2 z 。xx y解令 F (x, y, z)2x2xy 2z26 ，因為7Fx4xy 2 ， F y2xy ， Fz2z ，所以z4xy 2y 24x，x2z2zz2xyxy ，y2zz2 z2y2z( y24x)2z2 yz( y24x)xy2 yz2xy34x 2 yyzx y4z22z22z3。例 4設(shè)函數(shù) yy(x) ， zxyz0所確定，求 dy 和 dz 。z( x) 由方程組2y 2z 2x1dxd

18、x解（方法一） 直接法 。注意到 y 和 z 都是 x 的一元函數(shù)，方程組兩端對自變量x 求導(dǎo)，得1dydz0dydz1dxdxdxdx2z dz，即，2x2 y dy0y dyz dzxdxdxdxdx這樣通過求解關(guān)于dy ， dz 的線性方程組，可求得dy 和 dz 的表達(dá)式。dxdxdxdx因為系數(shù)行列式J11zy0 ，由克拉默法則，得yz1111dyx zx z ， dzyxy x 。dx11zydx11z yyzyz也可以用消元法求解線性方程組，得出dy 和 dz 的表達(dá)式。dxdx（方法二） 微分法 。方程兩端微分，得dxdydz0，即dydzdx，2xdx 2 ydy 2 zdz

19、 0ydyzdzxdx解得 dyxz dx ， dzyx dx 。于是zyzydyxz ， dzyx 。dxzydxzy（方法三） 公式法 。設(shè) F (x, y, z)xyz ，(, )x2y2z21，則Gxy zFxFyFz1 ， Gx2x ， Gy2 y ， Gz2z 。8由公式（ 4），得FxFz11dyG xG z2x 2zx z ，dxFyFz11z yG yG z2 y2zF yFx11dzG yG x2y 2xy x 。dxFyFz11zyG yG z2y2z二、練習(xí)p89習(xí)題 9-51， 2， 3， 4， 10（1）（ 4）§9.6多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用一、補(bǔ)充例題

20、例 1求螺旋線 x2 cost ， y2 sin t ， z2t 上對應(yīng)于 t的點(diǎn)處的切線與法平面方程。4解當(dāng) t時， x2 cos2 ， y 2sin2 ， z2，因為4444x2 sin t ， y2cost ， z2 ，所以x2 ， yt2 ， zt2 。t4442x2 y2z于是，可得螺旋線在對應(yīng)于 t的點(diǎn)處的切線方程為4，即4222x2yz242，111螺旋線在該點(diǎn)處的法平面方程為2 (x2 )2 ( y2)2 (z2)0 ，4即4x4y4z20 。例 2求曲線：y16x 2上對應(yīng)于x1的點(diǎn)處的切線與法平面方程。z12x 22解因為 y 14 ， z3 ， y16， z12 ，所以曲

21、線在對應(yīng)于 x1111的點(diǎn)處的切xxx2x22221xy4z3 ，線方程為2116129曲線在對應(yīng)于 x1的點(diǎn)處的法平面方程為116( y4) 12( z 3) 0 ，2x2即2x 32 y24z2010 。例3 求曲線x2y 2z23x0 在點(diǎn) (1,1,1) 處的切線及法平面方程。2x3y5z40解（方法一） 公式法 ：直接利用公式（9）及（ 10）來解。（方法二） 直接法 ：依照推導(dǎo)公式的方法來做。dydz3 2x，2 y2z將所給方程的兩邊對x 求導(dǎo)并移項，得dxdx3 dy5 dz2，dxdx32x2z由此得dy251510x4z ，dydx2 y2z10y6zdx352 y32xd

22、z324 y 96 x ，dzdx2 y2z10y6zdx35(1,1,1)(1,1,1)9 ，161 ，16從而T (1,9,1 ) ，故所求切線方程為x 1y 1z 1 ，16161911616即法平面方程為即x 1y1z1 ，1691(x 1)9 ( y 1)1 ( z 1) 0 ，161616x9 yz240 。例 4求橢球面 x2y 2z21在點(diǎn) M 0 (1,2,3)處的切平面及法線方程。31227解設(shè) F (x, y, z)x 2y 2z21 ，則31227n( Fx , Fy, Fz )( 2 x, 1 y, 2z) ， n (1,2, 3)(2,1,2)，3627339所以在

23、點(diǎn) M 0 (1,2,3) 處橢球面的切平面方程為2123y 2z 18 0，( x 1)( y 2)( z 3) 0，即6 x339法線方程為10x 1 y 2 z 3 ，即x1 y 2 z 3 。2 / 31/32/ 9632例 5求拋物面 z1x2y 2 在點(diǎn) M 0 (1,1, 1) 處的切平面及法線方程。解設(shè) z f (x, y)1x 2y 2 ，則 n ( f x , f y , 1)(2x, 2y,1) ， n (1,1, 1)( 2, 2, 1)，所以在點(diǎn) M 0 (1,1, 1)處的切平面方程為2(x 1) 2( y 1) (z 1) 0 ，即2x 2 y z 3 0 ，法線

24、方程為x 1 y 1 z 1 ，即x 1 y 1 z 1 。221221二、練習(xí)p100 習(xí)題 9-63，5， 6， 7，8§9.7方向?qū)?shù)與梯度一、補(bǔ)充例題例 1求函數(shù) zx 2y 2 在點(diǎn) P(1,2) 處沿從點(diǎn)P(1,2) 到點(diǎn) Q( 2,23) 方向的方向?qū)?shù)。 （ p1081）解PQ(1,3)， e PO( 1 ,3)。因為z2x (1,2 )2 ，z2y (1, 2 ) 4 ，22x (1,2 )y(1, 2)故z2143123 。PQ (1, 2)22例 2求 函 數(shù)(,)l n (22) 在 點(diǎn)處沿向量的方向?qū)?shù)fx y zxyzM 0 (0,1,2)l(2,1, 1

25、)f。l(0 ,1,2)解el(2,1,1 ) ，因為 f x (0,1,2)x1z 21 ，666y2(0 ,1,2 )5f y (0,1,2)x2 y2 ， f z (0,1,2)2zz24 ，y2z2( 0,1, 2)5xy 2(0 ,1,2)5故方向?qū)?shù)為f122（1） 4 （1 ）26 。l(0,1,2 )56565615例 3求函數(shù) f (x, y, z)xyyzzx 在點(diǎn) (1,0,2)沿方向 l 的方向?qū)?shù)，其中l(wèi) 的方向角分別為、34和 。611解 el( c o s , c o s, c o s )(1,2,3) ，因為346222，(1,0,2)()3，(1,0,2)()

26、1，f x (1,0,2) ( yz)2f yxzf zyx(1,0 ,2)(1,0 ,2)(1,0,2)故方向?qū)?shù)為f2 1321313 23 。l(1,0,2)22222練習(xí)：函數(shù)ul n(y2z2) 在 點(diǎn)A(1,0,1)處 沿A指 向 點(diǎn)B(3,2,2)方向的方向?qū)?shù)為x_ 。（答案：u1 ）2AB例 4 求 grad x y 。例 5求 ux2xyy2 在點(diǎn) ( 1,1) 沿方向 e1 ( 2,1) 的方向?qū)?shù)及梯度， 并指出 u 在該點(diǎn)沿哪個5方向減少最快？解grad u( 1,1)( u ,u ) ( 1,1)( 2xy,2 yx) ( 1,1)(3,3) ，xyugradu(1,1)e1 (63)3 ，e( 1,1)55方向?qū)?shù)取最大值的方向，即梯度方向，