二元函數(shù)極值問題.

1、淺談二元函數(shù)的極值問題摘要： 本文首先給出二元函數(shù)極值的定義，實例分析了二元函數(shù)極值存在的必要條件和充分條件，并通過實例解析了求二元函數(shù)極值的步驟.關(guān)鍵詞 ：二元函數(shù) ; 極值 ;必要條件 ;充分條件To discuss the extreme-value problem of the binaryfunction shallowlyAbstract: In this paper, the definition and conditions of the extreme of binary function are firstly given, on the basis, steps of f

2、inding the extreme value are discussed, and specific examples of relevant to this are given to expound them.Key words: binary function; extreme; necessary condition;sufficientcondition前言函數(shù)極值在數(shù)學(xué)、工程、金融風(fēng)險管理等多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，本文以二元函數(shù)為例，討論函數(shù)極值的若干方面問題.1. 預(yù)備知識定義設(shè)函數(shù)f 在點 p0 (x0 , y0 ) 的某領(lǐng)域 U ( p0 ) 內(nèi)有定義，若對于任意點p( x,

3、y)U ( p0 ) ，成立不等式f ( p)f ( p0 )（或f ( p)f ( p0 ) ），則稱函數(shù)f 在點p0 取得極大（或極?。┲?，點p0 稱為f 的極大（或極?。┲迭c，極大值、極小值統(tǒng)稱極值，極大值點、極小值點統(tǒng)稱極值點.注意：這里所討論的極值點僅限于定義域的內(nèi)點.2. 二元函數(shù)存在極值的實例分析例 1 二元函數(shù) z 3x24 y 2 在點 (0,0) 處存在極小值 .因為點 ( 0,0) 的任一鄰域內(nèi)異于 (0,0) 的點的函數(shù)值都為正 , 而在點0,0 處的函數(shù)值為零 . 從幾何上看這是顯然的, 因為點 (0,0,0) 是開口朝上的橢圓拋物面 z3x 24 y 2 的頂點 .

4、例 2二元函數(shù) zx 2y2 在點 (0,0) 處存在極大值 .因為點 (0,0) 是位于 xoy 面下方的錐面 zx2y 2 的頂點 , 所以二元函數(shù)zx 2y 2在點 ( 0,0) 處存在極大值 .3. 極值的條件3.1 極值的必要條件若函數(shù) f 在點 p0 ( x0 , y0 ) 存在偏導(dǎo)數(shù)，且在p0 取得極值，則有f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y (x0 , y0 ) 0 .（1）反之，若函數(shù) f 在點 p0 滿足（1），則稱 p0 為 f 的穩(wěn)定點 .上述極值的必要條件指出：若f 存在偏導(dǎo)，則其極值點必為穩(wěn)定點，但穩(wěn)定點并不都是極值點，例如函數(shù) h( x, y) xy

5、，原點為其穩(wěn)定點，但它在原點并不取得極值點此外，函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點仍然可能有極值，例如：.x, x0z，x, x0它是交于 Y 軸的兩個平面 .顯然，凡 x0 的點都是函數(shù)的極小值點 .但是，x 0 時， z1,x 0 時， z1.xx因此在 x0時偏導(dǎo)數(shù)不存在 .由此可見，函數(shù)的極值點必為f及 f同時為零或至少有一個偏導(dǎo)數(shù)不存xy在的點 .3.2 極值的充分條件設(shè)函數(shù) zf ( x, y) 在點的某個鄰域 內(nèi)連 續(xù)且 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 又f x ' ( x0 , y0 )0 且 fy ' (x0 , y0 ) 0,記二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)為f xx ' (x0 , y

6、 0 )A , f xy ' ( x0 ,y 0 )B , f yy ' ( x0 , y0 ) C ,B2AC ,則函數(shù) zf ( x, y) 在 ( x0 , y 0) 點處是否取得極值的條件如下 :(1)當(dāng)0且 A0 時,函數(shù) zf ( x, y) 在點 (x0 ,y 0 ) 處取得極大值 ;(2)當(dāng)0 且 A0 時,函數(shù) zf ( x, y) 在點 (x0 ,y 0 ) 處取得極小值 ;(3)當(dāng)0時,函數(shù) zf ( x, y)在點 ( x0 ,y 0 ) 處不取得極值 ;(4)當(dāng)0時,函數(shù) zf (x, y)在點 ( x0 , y 0) 處可能取得極值 ,也可能不取得極

7、值 .4. 求二元函數(shù)的極值的步驟要求函數(shù)的極值， 首先要求出所有使函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)等于零或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點，然后討論該點周圍函數(shù)的變化情形，以進一步判斷是否有極值，為此我們討論f ，若 f (x,y) 的一切二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)， 則由泰勒公式并注意到在極值點必須f xfy0 ，就有f f (x0x, y0y) f (x, y )1( f2( xx, y0y) x2002x0.2 f xy (x0x, y0y) x y f y2 ( x0x, y0y) y2 )由 于 f ( x, y)的 一切 二 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 在 ( x0 , y0 ) 連 續(xù) ， 記 Afx2 (x0 , y0 ) ，B fxy

8、 ( x0 , y0 )， Cf y2 (x0 , y0 ) ，那就有f x2 (x0x, y0y)A,0( x0,y0)fxy ( x0x, y0y)B,0(x0, y0)f y2 ( x0x, y0y) C,0( x0, y0)于是f1 A x22B x y C y2 1x22 x yy2 .22當(dāng)二次形式 kfA x22Bx yCy2 不為零時，注意到x0, y 0時，, , 都是無窮小量，所以存在點 M 0 (x0 , y0 ) 的一個領(lǐng)域，使得在這個領(lǐng)域內(nèi) ， f的 符號 與 kf的 符號 相同 ，而當(dāng) kf0 時，f 的符號取決于x22xyy 2 的符號了 .對于二次型kfA x2

9、2Bx yC y2它的判別式為HABAC B2.BC那就有以下結(jié)論：H>0H<0H=0A<0A>0函數(shù)有極函數(shù)有極小函數(shù)無極值需進一步判定大值值利用代數(shù)中關(guān)于二次型的理論，很容易理解以上結(jié)論.這是因為當(dāng) H0而 A0 時，二次型 kf 為負(fù)定的，故 kf0 ，從而f0 ；當(dāng) H0 而 A0 時，二次型 kf 為正定的，故 kf0 ，從而f0 ；當(dāng) H0時，二次型為不定的 .所以f 亦可正可負(fù)的， 于是函數(shù)無極值； 當(dāng) H0 時，二次型 kf 在某些x,y 值上將等于零，于是f 的符號就必須進一步判斷了.5. 求極值的相關(guān)例題例 1 證明具有已知周長的三角形中，等邊三角形

10、有最大面積.證明 : 設(shè)三角形的邊長為 x, y, z ，周長xyz2 p ，于是z2 pxy .三角形的面積 S 有如下公式：f ( x, y)2Sp( p)x ( py) ( p )zp( p )x( p )y( .x y ) pfy) ( 2 p 2xy)0 ,p( p由xfx 2 y)0 ,p( p x) ( 2 py解得 f (x, y) 的穩(wěn)定點：( 0 p, ，) ( p, p) ， ( p,0) ， ( 2 p, 2 p) .33事實上，f ( x, y) 的定義域是 D （如下圖陰影部分）：yx00xp ,0yp ,xyp .f ( x, y) 在 D 上一定有最大值，在 D

11、 內(nèi)有唯一穩(wěn)定點 ( 2 p, 2 p) ，33f ( 2 p, 2 p) p * 1 p* 1 p * 1 p1p4 ,333332722f ( x, y) 在D 上取值為零，因此 f (x, y) 一定在 (p,p) 取到 D 內(nèi)的最大值，即x2 p , y2 p , z2 p .333時，三角型有最大值 .例 2 設(shè)通過觀測或?qū)嶒灥玫揭涣悬c(xi , yi ) ， i1,2,.n. 它們大體上在一條直線上，即大體上可用直線方程來反映變量x 與 y 之間的對應(yīng)關(guān)系， 現(xiàn)要確定一直線與這 n 個點的偏差平方和最小 .解 : 設(shè)所求直線方程為yax b ，所測得的 n 個點為 (xi , yi

12、 ) (i1,2.n) ，現(xiàn)要確定 a,b, 使得nyi ) 2f (a,b)( axibi1為最小，為此nfa2xi(axibyi )0,i1nfb2(axi byi )0i1把這組關(guān)于 a,b 的線性方程加以整理，得nnna xi 2b xixi yi ,i 1i 1i 1nna xibnyi.i 1i 1求此方程組的解，即得f (a,b) 的穩(wěn)定點nnnnxi yi (xi )yinai 1i 1i1yi ,nnn2(xi )2i 1xii 1i1nnnn(xi 2 )(yi ) (xi yi )(xi )bi 1i1i1i1.n2nxi )2nxi(i1i1為了進一步確定該點是極小值點，我們計算得nnA faa2 xi 20 ,B fab2 xi 0 ,i 1i 1nnC fbb 2n ,DACB24n xi 24( xi )20i 1i 1由極值的充要條件知，f (a,b) 在點 D ( a, b) 取得極小值，由實際問題知這極小值為最小值 .結(jié)