破解折疊問題的三步曲

1、破解折疊問題的“三步曲折疊問題是指將平面圖形按某種要求翻折為立體圖形，考察由此產(chǎn)生的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，因?yàn)槭菑钠矫孳S然而到空間思維跨度大，由靜到動(dòng)，能綜合考查學(xué)生的空間想象能力，識(shí)圖能力及分析能力， 是近年來高考的熱門題型， 要解決好此類問題筆者認(rèn)為應(yīng)從以下三點(diǎn) 著手： 第一步：看兩圖兩圖指折疊前的平面圖形和折疊后的立體圖形，有時(shí)候題目中可能只給出平面圖形，這 就需要我們自己去畫立體圖形，我們應(yīng)該對(duì)比兩個(gè)圖形，思考下面的問題；（1）折痕 是哪些直線？折痕與折疊特征是折疊問題的兩大要素，是引發(fā)后面問題的“罪魁禍?zhǔn)住?，呵呵，這么說只是強(qiáng)調(diào)一下折痕的重要地位，鹽打哪兒咸，醋打哪兒酸，解決折疊問題的

2、思維起點(diǎn)，位置與數(shù)量關(guān)系的變化皆與折痕有關(guān)，要 明確一點(diǎn)：位于折痕同一側(cè)的點(diǎn)，線的關(guān)系是不變的；（2） 折疊前后哪些點(diǎn)重合了？重合的點(diǎn)往往意味著重合的線段，即立體圖形中明明是 一條線段，但在原來的平面圖形中則是兩條相等的線段。（3） 折疊前后哪些點(diǎn)或線不在原平面而被翻折到了空間？ 第二步：挖掘折疊特征折疊特征就是把平面圖形翻折要實(shí)現(xiàn)的目的，它是解題的一個(gè)重要已知條件，我們應(yīng)該 充分理解、挖掘這個(gè)特征，常見的折疊特征有以下三種：（1） 將平面圖形折疊成某個(gè)度數(shù)的二面角，比如直二面角，這種情況我們就應(yīng)該找到這 個(gè)二面角的平面角，在立體圖中標(biāo)出；（2）使幾個(gè)點(diǎn)重合，這種情況我們就應(yīng)該標(biāo)出哪些點(diǎn)重合的

3、；比如若A,B兩點(diǎn)重合記為點(diǎn)P的話，我們可以在圖上標(biāo)記為 P（A,B）,這樣便于翻折前后的對(duì)比；（3）使指定的兩個(gè)點(diǎn)的距離是某值，那么我們應(yīng)該連接相關(guān)的點(diǎn)； 第三步：結(jié)合問題，尋找不變量通過前兩步，我們已經(jīng)對(duì)翻折過程有了比較清晰的了解，對(duì)翻折得到的立體圖形的空間 形態(tài)也有了全方位的認(rèn)識(shí)，那么最后一步，就是結(jié)合問題，充分利用翻折前后圖形的性質(zhì)來 尋找解題的途徑，而其中翻折前后的“不變量”往往是解題的關(guān)鍵，常見的不變量有“不變 的垂直關(guān)系，不變的長度關(guān)系，不變的平行關(guān)系“這三類，當(dāng)解題受阻時(shí)就應(yīng)該思考“哪些 量是不變的？”，可以說找到了不變量就找到了解題的鑰匙！上述三步曲是解決折疊問題的總的規(guī)律，

4、在實(shí)際解題中應(yīng)靈活運(yùn)用，下面舉例說明在解 題中，我們?nèi)绾巫吆眠@“三步”，重點(diǎn)來看一下三種“不變量”是如何在解題中運(yùn)用的： 一、不變的垂直關(guān)系例1:如圖，ABCD是正方形，E是AB的中點(diǎn)，將 ADE和厶BEC沿DE和CE折起，使 AE與BE重合，記A與B重合后的點(diǎn)為P求（1）求證：PE 平面PDC ；（ 2）二面角P-CD-E的度數(shù);E1分析：從翻折的過程可以看出,AD _ AE,EB _ BC這兩個(gè)垂直關(guān)系是不變量，而翻折后A,B重合為P,故在立體圖中有PE _ PD, PE _ PC，問題得解;解：（1）由翻折過程可知，PE-PD, PE _ PC，故 PE _ 平面 PDC ；（2）取 C

5、D 中點(diǎn)F,連接PF,FE,在原平面圖形中,AD=BC,ED=EC,翻折后 A,B重合為 P,故 PD=PC,可知PF _ CD, EF_ CD ,則.PFE是二面角 P-CD-E的平面角，設(shè)正方形邊長為a,得aa21PE , EF =a, sin ZPF-，則二面角 P-CD-E 的度數(shù)為 30°2a 2二、不變的長度關(guān)系例2 （2007安徽文）把邊長為,2的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角,折成直二面角后，在 A, B, C, D四點(diǎn)所在的球面上，B與D兩點(diǎn)之間的球面距離為（nnA. V2 nC. nB. d 23分析：原題是沒有圖的，需要我們自己畫出前后兩個(gè)圖形，折疊特征

6、是直二面角，C. n哪個(gè)角是它的平面角？ 不難看到DO _ AC,OB _ AC這兩組垂直關(guān)系是不變的， 故.DOB就是面角的平面角，貝V - DOB二§，那么如何確定A,B,C,D四點(diǎn)所在的球心呢？找不變量！通 過比較兩圖可以發(fā)現(xiàn)，折疊前A、B、C、D四點(diǎn)是共面的，翻折后不再共面，這是變化的量，而正方體中心O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是不變的，即在折疊前后中始終有 OA = OB=OC=OD，所以O(shè)就是翻折后A, B, C, D四點(diǎn)所在球的球心，易得該球半 nI I兀徑R=1，而D,B兩點(diǎn)在球中所對(duì)球心角為，球面距離L R ，故選B.2 2D三、不變的平行關(guān)系 例3：(2006高考遼寧卷)已

7、知正方形ABCD , E,F分別是邊 AB, CD的中點(diǎn)，將 ADE沿DE折起，如圖所示，求證:BF / 平面 ADE01期分析：要證明BF /平面ADE，只需證明BF與平面ADE內(nèi)的一條直線平行即可，而比較翻折前后的圖形可以發(fā)現(xiàn)，BF /ED這個(gè)平行關(guān)系是不變量，命題得證；解：E、F分別是正方形 ABCD的邊AB、CD的中點(diǎn)，貝U EB/FD且EB=FD,四邊形EBFD是平行四邊形.BF/ED.ED 平面AED,而BF二平面AEDBF / 平面 AED練習(xí)：(1 )將邊長為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起,使得BD=a,則三棱錐D-ABC的體積是( )(A)(B)(C) a5(D) a36

8、 12 12 12(2) 如圖，在正三角形 ABC中，D , E, F分別為各邊的中點(diǎn)，G, H , I, J分別為AF , AD ,BE ,DE的中點(diǎn) 將厶ABC沿DE ,EF,DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度為 ()A . 90° B . 60 ° C . 45(D) 0j G F嚴(yán)(3) 如圖，在等腰梯形 ABCD中，AB=2DC=2,/DAB=60° ,E為AB的中點(diǎn)，將 ADE與厶BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P,則P DCE三棱錐的外接球的體積為4 3 二(A)-2T(4)正方形 ABCD的邊長是2, E、(C)將正方形沿EF

9、折成直面角(如圖所示) M為矩形AEFD內(nèi)的一點(diǎn)，如果,/MBEMBC , MB和平面BCF所成角的正切值為1/2，那么點(diǎn)M到直線EF的距離為 。答案：(1 )選D 提示畫出翻折前后的圖形，可知不變量有DO _ OC,DO _ OA,而BD二a，可得 DOB二90 ,則DO _平面ABC,三棱錐體積1 V sh =3v22a a12(2)選B 分析：畫出折疊后的立體圖形，因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)重合為S,翻折過程中不變量是GH /DF , JI / DB即JI /SD，故GH與IJ所成角就是 SDF，大小為60°。選C 提示：由已知易得 ADEr DEC CEB均為正三角形，而翻折后 A,B重合為P,故三棱錐P-CDE實(shí)際為正四面體，計(jì)算可得外接球半徑6=ji8(4)填 彳提示:由/MBE= EMBC，可知M在平面EFCB內(nèi)的射影在Z E