整環(huán)里的因子分解

1、第四章 整環(huán)里的因子分解本章討論環(huán)的一個(gè)特殊問題，即整環(huán)里的唯一分解定理4.1 素元 唯一分解 課時(shí)安排 約2課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 P125-130定義：我們說，整環(huán)R的一個(gè)元a可以被I的元b整數(shù)，假如在R里找得出元c，使：a=bc假如a能被b整除，我們說b是a的因子，并且用符號(hào)b|a來表示，否則 b a來表示。定理1：兩個(gè)單位和的乘積也是一個(gè)單位，單位的逆-1也是一個(gè)單位。定義：?jiǎn)挝灰约霸猘的相伴元叫做a的平凡因子，其余的a的因子，叫做真因子。定義：整環(huán)R的一個(gè)元P叫做一個(gè)素元，假如P既不是零元，也不是單位，并且P只有平凡因子。定理2：?jiǎn)挝籷同素元P的乘積qp也是一個(gè)素元。定理3：整理中一個(gè)不等于

2、零的元a有真因子的充分而且必要條件是：a=bcb和c都不是單位元。推論：假定a0，并且a有真因子，b:a=bc，那么C也是a的真因子。定義：我們說，一個(gè)整環(huán)R的一個(gè)元a在R里有唯一分解，假如以下條件能被滿足：（i）a=P1P2Pr(Pi是R的素元1)（ii）若同時(shí)a=那么r=s，且可把 的次序掉換一下使 （ I是R的單位）例1：P129 教學(xué)重點(diǎn) 掌握和理解素元概念 教學(xué)難點(diǎn) 幾個(gè)定理的證明過程 布置作業(yè) P130 1，2 例題精講 P130 34.2 唯一分解環(huán) 課時(shí)安排 約2課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 P130-135定義：一個(gè)整環(huán)R叫做一個(gè)唯一分解環(huán)，假如R的每個(gè)既不等于零又不是單位的元都有唯一分解

3、。定理1：一個(gè)唯一分解環(huán)有以下性質(zhì)：（iii）若一個(gè)素元P能夠整除ab，那么P能夠整除a或b。定理2：假定一個(gè)整環(huán)R有以下性質(zhì)：（i）R 每一個(gè)即不是零也不是單位的元a都有一個(gè)分解。A=P1P2Pr（Pr是R的素元）（iii）R的一個(gè)素元P若能整除ab，那么P能整除a或b。則R一定是一個(gè)唯一分解環(huán)。定理3：一個(gè)唯一分解環(huán)R的兩個(gè)元a和b，在R里一定有最大公因子，a和b的兩個(gè)最大公因子d和d只能差一個(gè)單位因子。推論：一個(gè)唯一分解環(huán)R的n個(gè)元a1,a2,an在R里一定有最大公因子，a1,a2,an的兩個(gè)最大公因子只能差一個(gè)單位因子。定義：我們說，一個(gè)唯一分解環(huán)的元a1,a2,an互素，假如它們的最

4、大公因子是單位。 教學(xué)重點(diǎn) 唯一分解定理 教學(xué)難點(diǎn) 定理的證明 布置作業(yè) P135 2 教學(xué)輔導(dǎo) P135 1，34.3 主理想環(huán) 課時(shí)安排 約2課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 P135-138定義：一個(gè)整環(huán)R叫做一個(gè)主理想環(huán)，假如R的每一個(gè)理想都是一個(gè)主理想。引理1：假定R是一個(gè)主理想環(huán)，若在序列a1,a2,a3,(aiR)里每一個(gè)元是前面一個(gè)的真因子，那么這個(gè)序列一定是一個(gè)有限序列。引理2：假定R是一個(gè)主理想環(huán)，那么I的一個(gè)素元P生成一個(gè)最大理想。定理：一個(gè)主理想環(huán)R是一個(gè)唯一分解環(huán)。 教學(xué)重點(diǎn) 主理想的理解 教學(xué)難點(diǎn) 兩個(gè)引理的證明 教學(xué)要求 掌握本節(jié)內(nèi)容，并應(yīng)用 布置作業(yè) P138 1 例題精講 P1

5、38 2，34.4 歐氏環(huán) 課時(shí)安排 約1課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 P138-141定義：一個(gè)整環(huán)R叫做一個(gè)歐氏環(huán)，假如：（i）有一個(gè)從R的非零元無所作成的集合到0的整數(shù)集合的映射存在。（ii）給定了R的一個(gè)不等于零的元a，R的任何元b都可以寫成b= a+r（ ,rR）的形式，其中r=0或（r）（a）例：P139定理1：任何歐氏環(huán)R一定是一個(gè)主理想環(huán)，因而一定是一個(gè)唯一分解環(huán)。定理2：整數(shù)環(huán)是一個(gè)主理想環(huán)，因而是唯一分解環(huán)。引理：P140定理3：一個(gè)域F上的一元多項(xiàng)式環(huán)FX是一個(gè)歐氏環(huán)。 教學(xué)重點(diǎn) 掌握歐氏環(huán)，整數(shù)環(huán)，多項(xiàng)式環(huán) 教學(xué)難點(diǎn) 理解歐氏環(huán)、主理想環(huán)、唯一分解環(huán)的關(guān)系。 教學(xué)要求 理解歐氏環(huán)的思

6、想，并區(qū)別幾個(gè)環(huán)的定義。 布置作業(yè) P141 1，2，34.5 多項(xiàng)式環(huán)的因了分解 課時(shí)安排 約1課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 P141-147定義：RX的一個(gè)元f(x)叫做一個(gè)本原多項(xiàng)式，假如f(x)的系數(shù)的最大公因子是單位。引（1-4）P142-145定理1：若是R是唯一分解環(huán)，那么RX也是。定理2：若R是唯一分解環(huán)，那么RX1，X2，Xn也是。 教學(xué)重點(diǎn) 多項(xiàng)式環(huán)的因子分解 教學(xué)難點(diǎn) 引理（1-4）的證明過程 教學(xué)要求 掌握好本節(jié)內(nèi)容 布置作業(yè) 無 例題精講 P147 1，24.6 因子分解與多項(xiàng)式的根 課時(shí)安排 約2課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 P148-150定義：R的元d叫做Rx的多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根，假如f(a)=0。定理1：a是f(x)的一個(gè)，當(dāng)且僅當(dāng)f(x)能被x-a整除的時(shí)候。定理2：定理1的推廣P148推論：若f(x)的次數(shù)是n，那么f（x）在R里至多有n個(gè)根。定義：R的元a叫做f(x)的一個(gè)重根，假如f(x)能被（x-a）k整除，K是大于1的整數(shù)。定義：由多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0唯一決定的多項(xiàng)式f(x)=nanxn-1+(n-1)an-2xn-2+a1叫做f(x)的導(dǎo)數(shù)。定理