概率統(tǒng)計(jì)真題—By fan

1、統(tǒng)計(jì)之都 COSCapital Of Statistics 人大概率統(tǒng)計(jì)考研歷年真題精華版(02-07)By fan（聲明：這是由fan整理編輯，僅供參考。）2007年人大概率統(tǒng)計(jì)初試題一、（20分）兩個不能分辨的盒子里都有9個球，其中一個是5紅4白，另一個是4紅5白。從兩個盒子中隨機(jī)抽一個，希望通過無放回抽樣來猜測抽到底是哪個盒子。其規(guī)則是：無放回抽取三次，如果抽到的紅球多，則認(rèn)為盒子是5紅4白；反之認(rèn)為是4紅5白。問這樣猜錯的概率有多大？如果用有放回抽樣，猜錯的概率又有多少？二、（20分）相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y分別服從參數(shù)為和的泊松分布，證明隨機(jī)變量X+Y服從參數(shù)為+的泊松分布。要求用兩

2、種方法證明，其中一種是特征函數(shù)。三、（10分）二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為 求的概率密度函數(shù)。四、（15分）設(shè)隨機(jī)變量序列及分別以概率收斂于隨機(jī)變量和，證明： 以概率收斂于。五、（15分）二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為 YX012-10.10.20000.10.210.10.20.1求和的分布律。六、（20分）設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，證明：（1）； （2）與相互獨(dú)立。七、（15分）設(shè)總體的分布函數(shù)為，概率密度函數(shù)為，是總體的簡單隨機(jī)樣本，證明第個次序統(tǒng)計(jì)量的概率密度函數(shù)為八、（20分）設(shè)總體服從正態(tài)總體，其中已知。參數(shù)的先驗(yàn)分布為正態(tài)總體，其中和已知。是總體的簡單隨機(jī)樣

3、本，求（1）參數(shù)的后驗(yàn)分布；（2）在平方損失函數(shù)下求的貝葉斯估計(jì)；（3）求的置信水平為的區(qū)間估計(jì)。九、（15分）某市作電視收視率調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100人，在晚七點(diǎn)二十分收看中央臺新聞聯(lián)播節(jié)目的人數(shù)是45人，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，這一時刻節(jié)目的收視率是50%，則（1）能否認(rèn)為收視率有了顯著減少（顯著性水平=0.05）；（2）假設(shè)檢驗(yàn)問題與區(qū)間估計(jì)具有對偶性，給出與以上假設(shè)檢驗(yàn)問題相對偶的單側(cè)區(qū)間估計(jì)，并說明如何由此區(qū)間估計(jì)做上面的假設(shè)檢驗(yàn)。（已知）2006年人大概率統(tǒng)計(jì)初試題一、（20分）設(shè)有編號的個球和從左到右排列的編號為的個格子()，每個球都以同樣的概率落到個格子中的一個格子中，試求： 1.某指定的

4、個格子中各有一個球的概率；2.任何個格子中各有一個球的概率；3.任何個格子中各有一個球并且球號從左到右嚴(yán)格上升的次序排列的概率；4.任何個格子中各有一個球并且球號從左到右嚴(yán)格上升的次序排列，同時編號為的球落在第個盒子中的概率()。二、（20分）在可靠性與生存分析中，所研究的壽命現(xiàn)象是非負(fù)隨機(jī)變量，記作，其分布函數(shù)為，密度函數(shù)為，稱為生存函數(shù)，這時常引入失效率函數(shù)，其定義為。 1.給出失效率函數(shù)的直觀解釋，并推導(dǎo)用表示的公式； 2.某放射性物質(zhì)在初始時刻的質(zhì)量為，在單位時間內(nèi)每個原子產(chǎn)生分裂核的概率為常數(shù)，求經(jīng)過時間后改放射性物質(zhì)質(zhì)量的期望。三、（20分）設(shè)和不相關(guān)，分別對以下兩種情況證明與獨(dú)立

5、： 1. 與都是只取0和1兩個值的隨機(jī)變量； 2. 是只取和()這兩個值的隨機(jī)變量，是只取和()這兩個值的隨機(jī)變量。四、（15分）一個同學(xué)采用如下方法獲得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)：每次產(chǎn)生12個(0,1)區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，求和后再減6，作為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個隨機(jī)數(shù)。你認(rèn)為該同學(xué)的做法是否合理?說明原因。五、（20分）假設(shè)取自正態(tài)分布的簡單隨機(jī)樣本，和未知，求 1.和的極大似然估計(jì)； 2.在上述分布下，求用估計(jì)的均方誤差，比較和上一問中的的極大似然估計(jì)的均方誤差誰大誰小。六、（20分）以下是13名大學(xué)生剛?cè)胄r某項(xiàng)體能測試成績和入校進(jìn)行了三個月體育訓(xùn)練后的測試成績，數(shù)據(jù)如下表所示入校時42573

6、849633648584751832731訓(xùn)練后40654837684050604958623344在水平為0.01之下，回答訓(xùn)練前后測試數(shù)據(jù)的均值是否存在顯著性差異。1.觀察兩組數(shù)據(jù)，討論所選檢驗(yàn)方法的假定條件；2.用1中所選用的假定條件，在0.01的顯著性水平下，判斷訓(xùn)練前后測試數(shù)據(jù)的均值是否存在顯著性差異。七、（20分）設(shè)從均值為，方差為的總體中，分別抽取樣本量為和的兩個獨(dú)立樣本，和分別是兩個樣本的樣本均值。確定常數(shù)和使得為的無偏估計(jì)且達(dá)到最小。八、（15分）設(shè)總體的分布密度為 為總體的樣本，求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間。2005年人大概率統(tǒng)計(jì)初試題一、（20分）證明幾何分布是離散隨機(jī)變量

7、中唯一具有無記憶分布的分布。二、（20分）記，是相互獨(dú)立的0,1區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，令 證明：與是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。三、（20分）設(shè)是相互獨(dú)立隨機(jī)變量，的方差，試找非負(fù)實(shí)數(shù)(其中)，使的方差最小。四、（15分）設(shè)是一列相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，服從區(qū)間上的均勻分布，用林德貝格條件證明服從中心極限定理。五、（20分）令是從分布族中抽取的獨(dú)立同分布隨機(jī)樣本，如下所示 求參數(shù)的極大似然估計(jì)，判斷是否是的無偏估計(jì)，如果是，求出它的方差；如果不是，請構(gòu)造一個無偏估計(jì)，并求出不偏估計(jì)的方差，在均方差的標(biāo)準(zhǔn)下說明誰更優(yōu)。（提示：參數(shù)的估計(jì)量的均方差定義為）六、（15分）某超市為方便附近居民對某種商品的需求

8、，調(diào)查了100家住戶，得出每戶平均需要量為，為。假如居民對該類商品的月需要量服從正態(tài)分布，如果該超市附近有10000戶居民。 1.（8分）試求一戶居民對該種商品的平均月需求量置信水平為0.99的區(qū)間估計(jì)； 2.（7分）本著節(jié)約庫存的考慮，至少需要準(zhǔn)備多少該類商品才能以0.99的概率滿足附 近居民的需要？七、（20分）設(shè)是取自正態(tài)總體獨(dú)立同分布樣本，對假設(shè)檢驗(yàn)問題： 1（10分）試給出一個水平為的檢驗(yàn)和檢驗(yàn)拒絕域；（要求：給出求解的全部過程） 2.（10分）假設(shè)有先驗(yàn)分布，求在平方損失函數(shù)下的Bayes估計(jì)。（提示： 的Bayes估計(jì)定義為：）八、（20分）一個社會工作者選取10對夫妻，考察他們

9、對婚姻狀況的滿意程度，婚姻滿意度描述的是每個人在婚姻中的快樂。結(jié)果由下表給出：女性男性統(tǒng)計(jì)量均值 標(biāo)準(zhǔn)差均值 標(biāo)準(zhǔn)差婚姻滿意度 25.6 8.632.0 9.8 1.（8分）如果需要分析在婚姻滿意狀況中，男性的差異和女性的差異是否存在不同，請討論可以選擇怎樣的假定和方法進(jìn)行分析，你對如上的數(shù)據(jù)匯總方式是否滿意？ 2.（6分）根據(jù)你的假定和選擇的方法回答，是否可以認(rèn)為在婚姻滿意狀況中男性的差異與女性的差異不同？ 3.（6分）構(gòu)造男性和女性對婚姻狀況滿意度之間的90%置信區(qū)間。2004年人大概率統(tǒng)計(jì)初試題一、（15分）袋中有枚同型號硬幣，枚是正品，枚是次品，次品的兩面都是國徽。從袋中任取一枚，將它

10、拋擲次，每次都出現(xiàn)國徽，求這枚硬幣是正品的概率。二、（20分）設(shè)一個家庭有個小孩的概率為這里，若認(rèn)為生一個小孩為男孩或女孩是等可能的，求證一個家庭有個男孩的概率為三、（20分）設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求條件數(shù)學(xué)期望和條件方差。四、（20分）（伯恩斯坦定理）已知隨機(jī)變量序列的方差有界：，并且當(dāng)時，和的相關(guān)系數(shù)，證明對成立大數(shù)定律。五、（20分）假定鋼鐵制造廠A生產(chǎn)的鋼材的強(qiáng)度服從，從中獲得容量為16的樣本，測定其強(qiáng)度，得到，（樣本無偏方差）。鋼鐵制造廠B生產(chǎn)的同種鋼材的強(qiáng)度服從，從中抽取容量為13的樣本，測定其強(qiáng)度，得，。 1.（6分）求的置信水平為0.95的置信區(qū)間； 2.（7分）由

11、上述置信區(qū)間是否可以假定？請指出這樣做的理由。 3.（7分）在條件下求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。六、（20分）設(shè)，是的無偏估計(jì)，令 證明：。七、（20分）有一種專門用于動物治療的新安眠藥，據(jù)說在一定劑量下，能比某舊安眠藥平均增加睡眠時間3小時。根據(jù)以往資料，用舊安眠藥平均睡眠時間為20.8小時。為了檢驗(yàn)新安眠藥是否達(dá)到療效，收集到一組（8個）用新安眠藥的睡眠時間分別為：26.7，22.0，24.1，21.0，27.2，25.0，24.3，24.5。 1.（10分）假定睡眠時間為正態(tài)分布，試在顯著型水平下，判斷新安眠藥是否達(dá)到療效。 2.（10分）如果沒有正態(tài)假定，用符號檢驗(yàn)給出檢驗(yàn)，并和

12、1中的結(jié)果進(jìn)行比較。八、（15分）設(shè)總體密度函數(shù)為 從中獲得樣本，試給出下列檢驗(yàn)問題 的廣義似然比檢驗(yàn)法則。2003年人大概率統(tǒng)計(jì)初試題一、（20分）甲、乙兩人下棋，每局獲勝概率各為0.5，約定誰先勝5局贏得全部8000元獎金?，F(xiàn)已下4局，甲3勝1負(fù)，這時因故終止比賽。若按最終獲勝概率的比例分配獎金，甲、乙兩人各應(yīng)分得多少獎金？二、（20分）若，獨(dú)立，且均服從，試證與相互獨(dú)立。三、（20分）設(shè)服從二元正態(tài)分布，相關(guān)系數(shù)為，求。四、（15分）將編號為的球隨機(jī)放入編號為的盒中，每盒只放一球。以表示球與盒的編號正好相同的個數(shù)，求證：五、（20分）設(shè)是相互獨(dú)立的連續(xù)性隨機(jī)變量，且的分布函數(shù)為。試證明隨

13、機(jī)變量服從分布。六、（20分）設(shè)為一組簡單隨機(jī)樣本?？傮w分布密度為其中為未知參數(shù)，求的極大似然估計(jì)。七、（20分）設(shè)是取自總體的樣本，具有密度函數(shù) 證明可取作為求區(qū)間估計(jì)的樞軸量（其分布與無關(guān)），并求的置信水平為的置信下限。八、（15分）有甲、乙兩臺機(jī)床，加工同樣產(chǎn)品，其產(chǎn)品口徑服從正態(tài)分布，從兩臺機(jī)床的產(chǎn)品中分別抽取6個和9個，測量口徑尺寸分別為和，并計(jì)算得取顯著性水平，試問這兩臺機(jī)床加工的零件其口徑尺寸的方差是否有向住行差異？（注：連續(xù)性隨機(jī)變量的分位數(shù)如下定義：，題目可能用到的分位數(shù)，）2002年人大概率統(tǒng)計(jì)初試題一、（10分）甲、乙兩袋中分別裝有一黑一白兩球，從兩袋中各隨機(jī)取一球，交換

14、后分別放入兩個袋中，重復(fù)做此過程，以，和分別記次后，甲袋中有兩個白球、兩個黑球和黑白各一球的概率。試導(dǎo)出，和用，和表示的關(guān)系式，并求出當(dāng)時的結(jié)果。二、（15分）已知某機(jī)器在時間內(nèi)停止工作的概率為，并假定在不重疊的時間段內(nèi)機(jī)器停止工作的事件是相互獨(dú)立的，并假定在時刻機(jī)器在工作。求該機(jī)器直到這段時間一直不停工作的概率。三、（15分）令為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且， ，記 試證對任意的，有四、（8分）證明二元聯(lián)合正態(tài)分布可完全由其邊緣分布決定。五、（7分）設(shè)已有一組均勻分布產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，說明如何得到由此得到一組服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，并說明其原理。六、（20分）設(shè)是取自正態(tài)分布的子樣，其中未知參數(shù)。

15、1.證明是的充分統(tǒng)計(jì)量，其中。 2.求出和的無偏估計(jì)的方差下界。七、（20分）設(shè)子樣取自均勻分布，為參數(shù)，記，對檢驗(yàn)問題取檢驗(yàn)函數(shù) 1.求檢驗(yàn)函數(shù)的勢函數(shù)，并證明它是關(guān)于單調(diào)； 2.在檢驗(yàn)中選擇什么樣的能使檢驗(yàn)函數(shù)的精度恰好是0.05。八、（20分）設(shè)子樣取自正態(tài)母體，試證： 1.當(dāng)時，正態(tài)分布關(guān)于具有單調(diào)似然比； 2.當(dāng)時，正態(tài)分布關(guān)于具有單調(diào)似然比。2007年人大數(shù)學(xué)分析初試題一、（本題滿分20分）設(shè)內(nèi)可導(dǎo)，并且存在使得=1。（1）對任何1|0，求極限 （2）求二次極限（3）若單增，證明對任何0，只要，就有（4）證明：二、（本題滿份25分） 設(shè)直線與拋物線在第一象限所圍成的平面圖形的面積為

16、，與直線所圍成的平面圖形的面積為。（1）試確定的值使得+達(dá)到最小,并求出最小值；（2）求該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積；（3）用定積分表示該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積（不必求出它的值）。三、（本題滿分30分） （1）設(shè)，將在展開為以為周期的傅立葉級數(shù)； （2）利用的麥克勞林展開式，證明：時， （3）證明：時，四、（本題滿分20分）證明邊長分別為的凸邊形中，當(dāng)邊的夾角滿足并且的夾角滿足+=時，該四邊形的面積最大，并且最大面積為五、（本題滿分20分）設(shè)，定義在上。（1）敘述含參變量的無窮限廣義積分 在上一致收斂的柯西原理；（2）敘述函數(shù)級數(shù)在上一致收斂的柯西原理；（3）證明：在上一致收斂的充要條件是對任何發(fā)散到的數(shù)列，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂，其中。六、（本題滿分35分） 設(shè)是空間二維單連通的有界區(qū)域，其邊界是簡單光滑曲面，點(diǎn)，在上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),在內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足（1）證明:其中是含在內(nèi)的球面；（2）設(shè)為上點(diǎn)處的外法向量, ，證明:（3）設(shè)為上點(diǎn)處的外法向量, ，計(jì)算積分.某年人大概率統(tǒng)計(jì)保研試題概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分1.考生坐公交車、坐出租車、騎自行車來人大考試的概率分別是0.3，0.45，0.25，三種交通工具遲到的概率分別為。問遲到了坐哪種交通工具來的可