《幻方問題中隱含的規(guī)律》教案

1、 幻方問題教案執(zhí)教：杜羲傳說公元前二千多年 ,在洛水里浮起一只大烏龜 ,它的背上有個奇特的圖案 ,如圖1 ,后來人們把它稱之為洛書 ,實際上它是由九個數(shù)字排成一定的格式如圖2 ,圖中有一個非常有趣的性質(zhì)：它的橫、豎、對角線上的每三個數(shù)字之和都是15。許多人產(chǎn)生了這樣的問題 ,圖中的九個數(shù)字 ,有沒有別的填法？如果把圖形變成4×4個方格 ,是否也可以進行這樣的填數(shù)游戲？   1、奇偶性規(guī)律：偶數(shù)是能被2整除的整數(shù) ,如0、2、6、8等 ,奇數(shù)是指被2除余1的整數(shù)。奇偶數(shù)的加法具有以下性質(zhì)：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)+偶數(shù)+偶數(shù)2、數(shù)的整除規(guī)律：a

2、整除b ,且a整除c ,那么a整除b+c ,或a整除b-c。3、商和余數(shù)：整數(shù)a除以整數(shù)b時 ,商數(shù)是q ,余數(shù)是r ,必有等式a=b×q+r ,0r<b , 當(dāng)r=0時 ,就說b整除a ,記為b|a。 如：30被7除余2 ,滿足關(guān)系式30=7×4+2 ,又因為2<4 ,也可以說4除30余2。4、自然數(shù)分類：如果兩個整數(shù)分別被a除 ,所得余數(shù)相同 ,那么我們說這兩個整數(shù)對于a是同余的。如偶數(shù)對于2是同余的余數(shù)都為零 ,所有奇數(shù)對于2也是同余的 ,余數(shù)都是1。由同余 ,可以對整數(shù)進行分類 ,如整數(shù)可按3分成：被3除余0 ,被3除余1 ,被3除余2這三類 ,也可按4

3、分類 ,分成被4除余0 ,被4除余1 ,被4除余2 ,被4除余3這四類。5、自然數(shù)分拆：將一個自然數(shù)寫成兩個自然數(shù)的和 ,叫做自然數(shù)的二分拆 ,其中一個和的形式稱為該自然數(shù)的一個分拆。如9寫成2+7 ,4+5 ,1+8等就是對9的分拆 ,而2+7或4+5 ,1+8就是它的一個分拆。一個分拆的被加數(shù)和加數(shù)調(diào)換位置后得到的分拆視為同一個分拆 ,如2+7和7+2視為9的同一分拆。例1：將1-9這九個數(shù) ,填入圖3的方格內(nèi) ,使每行、每列、及兩條對角線上三個數(shù)字的和都相等。分析與解：假設(shè)圖形中填入的數(shù)如圖4所示 ,并設(shè)各邊和對角線的三數(shù)之和為k ,那么解法的關(guān)鍵是找出中心數(shù)及各頂點的數(shù)。我們分三步來完

4、成：1求每行、每列三個數(shù)的和 ,即k值。2確定中心數(shù) ,即b2=？3試填各頂點數(shù)及其它方格內(nèi)數(shù)。a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=3k又a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=1+2+9=453k=45 k=15a1+b2+c3=a2+b2+c2=a3+b2+c1=b1+b2+b3=15(a1+b2+c3)+(a2+b2+c2)+(a3+b2+c1)+(b1+b2+b3)=4×15 (a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3)+3b2=6045+3b2=60 3b2=15 b2=5試填a1 ,假設(shè)a1為奇 ,a1+c3=10 ,故C3為奇

5、 ,a2和a3也應(yīng)同奇或同偶 ,假設(shè)a2、a3同奇 ,那么c2為奇 ,b3為奇 ,這樣就出現(xiàn)了六個奇數(shù) ,與1-9的自然數(shù)中只有5個奇數(shù)矛盾；假設(shè)a2和a3同偶 ,那么c2為偶 ,b3為偶 ,c1也為偶 ,這樣共出現(xiàn)了五個偶數(shù) ,與1-9的自然數(shù)中只有4個偶數(shù)矛盾 ,故a1不能為奇數(shù) ,那么a1應(yīng)填偶數(shù) ,此時c1、a3、c3也只能取偶數(shù) ,由于a1+c3=C1+a3=10 ,又2+8=4+6=10 ,故只需取a1=2 ,C3=8 ,a3=4 ,c1=6即可 ,其它各方格中的數(shù)須填a2=9 ,b2=3。C2=1 ,b1=7。如圖5所示 ,這樣就得到此題的一個解 ,假設(shè)取a1=4 ,c3=6 ,

6、a3=2 ,c1=8 ,須取a2=9 ,b3=7 ,b1=3 ,c2=1 ,根據(jù)對稱輪換 ,答案是唯一的。說明：此題是引例中的問題 ,將1-9九個數(shù) ,填入列3×3個方格內(nèi) ,使每行每列、每條對角線的和相等 ,這叫做三階幻方 ,一般地 ,在n×n個方格內(nèi) ,填上n×n個連續(xù)自然數(shù) ,并且每行、每列、每條對角線上n個自然數(shù)的和都相等 ,那么稱它為n階幻方。解決幻方問題的關(guān)鍵是確定中心數(shù)和頂點數(shù)。例2：把1到6這六個數(shù)分別填在圖7-a中三角形三條邊上的六個圓圈內(nèi) ,使每條邊上三個圓圈內(nèi)的數(shù)的和都相等。分析與解：設(shè)填入頂點圓圈內(nèi)的數(shù)分別為a、b、c ,其余三個圓圈內(nèi)的數(shù)

7、分別是d、e、f。每條邊上三個圓圈內(nèi)數(shù)的和為k ,如圖7-a。a+d+b=k,b+e+c=k,a+f+c=k(a+d+b)+(b+e+c)+(a+b+c)=3k又a+b+c+d+e+f=1+2+6=21(a+b+c+d+e+f)+(a+b+c)=3k21+(a+b+c)=3k由上式可知：a+b+c最小時 ,k值也最小 ,a+b+c最大時 ,k值也最大 ,且k是整數(shù) ,當(dāng)a+b+c=1+2+3=6時 ,k=9 ,a+b+c=4+5+6=15時 ,k=12 ,所以k可取9、10、11、12四種情況。當(dāng)k=9時 ,a+b+c=6 ,6只有一個三拆分 ,6=1+2+3 ,因此a=1 ,b=2 ,c=3

8、 ,其余三個圓圈內(nèi)分別填4、5、6、 ,即e=4 ,f=5 ,d=6。這樣就得到一個根本解如圖8將這個解左、右旋轉(zhuǎn)或適當(dāng)調(diào)換后 ,可以得到其余的五個解。當(dāng)k=10時 ,a+b+c=9 ,9有三種三拆分 ,9=1+2+6=1+3+5=2+3+4 ,當(dāng)a、b、C為1 ,2 ,6時 ,以2、6為頂點的一邊只能填2 ,如圖9-a ,2重復(fù)了 ,故此解排除；當(dāng)a、b、C為1、3、5時 ,其余邊上的圓圈內(nèi)約數(shù)填上2、4、6即可如圖9-b；當(dāng)a、b、c為2、3、4時 ,以3、4為頂點的一邊只能填上3 ,如圖9-c ,3重復(fù)了 ,故此解也排除。當(dāng)k=11 ,12時 ,可仿照上面方法求出根本解。說明：這個數(shù)陣問

9、題中各條邊是相互連接的 ,叫做封閉型數(shù)陣圖。封閉型數(shù)陣圖的解題突破口 ,是確定各邊頂點所應(yīng)填的數(shù)。為確定這些數(shù) ,采用的方法是建立有關(guān)的等式 ,通過以最小值到最大值的討論 ,來確定每條邊上的幾個數(shù)之和 ,再將和數(shù)進行拆分以找到頂點應(yīng)填入的數(shù) ,其余的數(shù)再利用和與頂點的數(shù)就容易被填出。例3、把1-9這九個數(shù) ,分別填入圓10-a中 ,使得從中輻射出的每條線上三個圓圈內(nèi)的數(shù)的和相等。分析與解：由圖10-a可知 ,計算每條線段上的三個圓圈內(nèi)數(shù)的和時都要用到中心數(shù) ,因此確定中心數(shù)是解此題的關(guān)鍵。該中心數(shù)為 ,其余各數(shù)如圖10-b所示 ,每條線段上的三數(shù)之和為k。+a1+a2=+b1+b2=+c1+c

10、2=+d1+d2=k(+a1+a2)+(+b1+b2)+(+c1+c2)+(+d1+d2)=4k (a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2+)+3=4k又a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2+=1+2+9=45 45+3=4k觀察上式 ,k是整數(shù) ,即45+3被4整除 ,而45+3÷4=45÷4+3÷4 ,45除以4的余數(shù)為1 ,那么3除以4的余數(shù)應(yīng)為3 ,當(dāng)=1、5、9時 ,3÷4的余數(shù)為3。當(dāng)=1時 ,k=45+3×1÷4=12 ,12拆分成含有一個1的三個自然數(shù)的和有以下四種形式：12=1+2+9=1+3+8=

11、1+4+7=1+5+6這樣就得到一個解如圖11-a。當(dāng)=5、9時 ,仿照上面方法可得到相應(yīng)的解 ,如圖11-b ,圖11-c所示。說明：此題中的數(shù)陣圖 ,稱為輻射型數(shù)陣圖 ,解法的關(guān)鍵是確定中心數(shù)。具體方法是：通過所給條件建立有關(guān)等式 ,通過整除性的討論 ,確定出中心數(shù)的取值 ,然后求出各邊上數(shù)的和 ,最后將和自然數(shù)分拆成中心數(shù)的假設(shè)干個自然數(shù)之和 ,確定邊上其他的數(shù)。例4、 ,如圖12-a中 ,以為頂點 ,有四個小的等腰三角形和三個大的等腰三解形 ,將1-9這九個數(shù) ,填入內(nèi) ,使每個三角形的三個頂點的數(shù)字之和相等。分析與解：設(shè)應(yīng)填入的數(shù)如圖12-b所示 ,觀察可知 ,在計算每個小三角形和大

12、三角形各頂點數(shù)字和時 ,最中間的小三角形三個頂點分別用了三次 ,其中各頂點用了二次 ,設(shè)每個三角形的三個頂點數(shù)的和為k ,即：a+b+c=k,d+e+f=k,c+e+g=k,g+h+I=ka+g+d=k,b+e+h=k,c+f+I=k(a+b+c)+(d+e+f)+(c+e+g)+(g+h+i)+(a+g+d)+(b+e+h)+(c+f+i)=7k即：a+b+c+d+e+f+g+h+i+(c+e+g)=7ka+b+c+d+e+f+g+h+I=3k又a+b+c+d+e+f+g+h+I=1+2+9=45 3k=45k=15在1-9這九個數(shù)中 ,15的三拆分有以下幾種情況：15=1+9+5=1+8+

13、6=2+9+4=2+8+5=3+7+5=2+7+6=3+8+4=4+5+6 ,在這些拆分中 ,2、4、5、6、8、出現(xiàn)過三次 ,其它數(shù)字出現(xiàn)過兩次 ,所以C=2 ,e=8 ,g=5或c=6 ,e=4 ,g=5 ,再將其它數(shù)填入 ,這樣就得到此題的兩個解如圖13-a ,圖13-b所示說明：此題中的數(shù)陣圖為復(fù)合型數(shù)陣圖 ,解題的關(guān)鍵是要以中心數(shù)和頂點數(shù)為突破口。及時練習(xí)：1、用九個連續(xù)自然數(shù)構(gòu)造一個三階幻方 ,使每一橫行及每一豎列的三個數(shù)之和都等于60。2、將1-9這九個自然數(shù)分別填入如圖14的九個內(nèi) ,使三角形每邊上的四數(shù)之和都等于19 ,且有一個頂點的數(shù)字為1。3、將1-7這七個數(shù)字填寫到如圖

14、15的小圓圈中 ,使每條直徑上的三個數(shù)字之和都為10。4、把1-10這十個數(shù)分別填在如圖16的五邊形邊上的十個圓圈內(nèi) ,使每條邊上的三個圓圈內(nèi)的數(shù)的和盡可能最小。5、把1-9這九個數(shù)分別填入如圖17的大三角形中的九個小三角形內(nèi)每個小三角形只填一個數(shù) ,要求靠近大三角形三條邊的每五個數(shù)相加的和相等 ,問怎樣填才能使五個數(shù)的和盡可能地大一些 ,這五個數(shù)的和的最大值是多少？ 答案：1、解：先用1-9這九個自然數(shù)構(gòu)造一個三階幻方如圖18-a ,這個三階幻方的每行 ,每列之和為15 ,題目要求和為60 ,只需將每個數(shù)都加上15即可如圖18-b2、設(shè)三個頂點數(shù)字之和為m ,每邊三個數(shù)之和為k ,由于頂點的

15、數(shù)屬于兩邊公有 ,所以將三條邊的數(shù)字和加在一起 ,等于將1-9加了一遍 ,同時將三個頂點數(shù)多加了一遍 ,因為1-9九個自然數(shù)的和為45 ,故m+45=3k , ,由題目可知k=19 ,m=12 ,將12三拆分且含有1的結(jié)果是12=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6 ,排除1、2、9 ,1、3、8 ,1、5、6 ,填入1、4、7。再填入其它各數(shù)。即得解如圖19 3、解：設(shè)每條直徑的三個數(shù)字之和為k ,將所有直徑的數(shù)字相加 ,中心數(shù)加了三次 ,其它各數(shù)加了一次 ,設(shè)中心數(shù)為 ,那么 (1+2+7)+2=3k28+2=3k由題目可知k=10 ,那么=1 ,再填出其它各數(shù)。如圖20所示。4、解：設(shè)各頂點數(shù)之和為m ,五邊形每條邊上的數(shù)字和為k ,將五條邊的所有數(shù)字相加時 ,各頂點數(shù)加了兩次 ,其余各數(shù)加了一次 ,那么1+2+3+10+m=5k55+m=5k當(dāng)m=1+2+3+4+5=15時 ,k值最小 ,