高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

1、高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)1 1. 函數(shù)的奇偶性 (1)若f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(-x) ; (2)若f(x)是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則 f(0)=0(可用于求參數(shù)); (3)判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)0); (4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性; (5)奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性; 2. 復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題 (1)復(fù)合函數(shù)定義域求法：若已知 的定義域?yàn)閍，b,其復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域由不等式ag(x)b解出即可;若已知fg(x)的定義域

2、為a,b,求 f(x)的定義域，相當(dāng)于xa,b時(shí)，求g(x)的值域(即 f(x)的定義域);研究函數(shù)的問(wèn)題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。 (2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定; 3.函數(shù)圖像（或方程曲線的對(duì)稱性） (1)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上; (2)證明圖像C1與C2的對(duì)稱性，即證明C1上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在C2上，反之亦然; (3)曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y=-x+a)的對(duì)稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0); (4)曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(

3、a,b)的對(duì)稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0; (5)若函數(shù)y=f(x)對(duì)xR時(shí)，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱; (6)函數(shù)y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x= 對(duì)稱; 4.函數(shù)的周期性 (1)y=f(x)對(duì)xR時(shí)，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù); (2)若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù); (3)若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為4a的周期函數(shù); (

4、4)若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對(duì)稱，則f(x)是周期為2 的周期函數(shù); (5)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(ab)對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2 的周期函數(shù); (6)y=f(x)對(duì)xR時(shí)，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2 的周期函數(shù); 5.方程k=f(x)有解 kD(D為f(x)的值域)； af(x) 恒成立 af(x)max,; af(x) 恒成立 af(x)min; (1) (a>0,a1,b>0,nR+); (2) l og a N= ( a>0,a1,b>0,b1); (3) l og a b

5、的符號(hào)由口訣“同正異負(fù)”記憶; (4) a log a N= N ( a>0,a1,N>0 ); 6. 判斷對(duì)應(yīng)是否為映射時(shí)，抓住兩點(diǎn)： (1)A中元素必須都有象且唯一; (2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象; 7. 能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，求反函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性。 8.對(duì)于反函數(shù)，應(yīng)掌握以下一些結(jié)論： (1)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù); (2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù); (3)定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)不存在反函數(shù); (4)周期函數(shù)不存在反函數(shù); (5)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性; (6) y=f(x)與y=f-1(x)互為反

6、函數(shù)，設(shè)f(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則有ff-1(x)=x(xB),f-1f(x)=x(xA); 9.處理二次函數(shù)的問(wèn)題勿忘數(shù)形結(jié)合 二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問(wèn)題用“兩看法”：一看開口方向;二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系; 10 依據(jù)單調(diào)性 利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號(hào)性可解決求一類參數(shù)的范圍問(wèn)題; 11 恒成立問(wèn)題的處理方法： (1)分離參數(shù)法; (2)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解; 練習(xí)題： 1 （3,4）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_,關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_, 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)為_. 2 點(diǎn)B（5,2）到x軸的距離是_,到y(tǒng)軸的距離是_,到原點(diǎn)的距離是

7、_ 3 以點(diǎn)（3,0）為圓心,半徑為5的圓與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為_, 與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為_ 4 點(diǎn)P（a3,5a）在第一象限內(nèi),則a的取值范圍是_ 5 小華用500元去購(gòu)買單價(jià)為3元的一種商品,剩余的錢y（元）與購(gòu)買這種商品的件數(shù)x（件） 之間的函數(shù)關(guān)系是_,x的取值范圍是_ 6 函數(shù)y= 的自變量x的取值范圍是_ 7 當(dāng)a=_時(shí),函數(shù)y=x 是正比例函數(shù) 8 函數(shù)y=2x4的圖象經(jīng)過(guò)_象限,它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_, 周長(zhǎng)為_ 9 一次函數(shù)y=kxb的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,5）,交y軸于3,則k=_,b=_ 10若點(diǎn)（m,m3）在函數(shù)y= x2的圖象上,則m=_ 11 y與3x成正比例,當(dāng)x=8時(shí)

8、,y=12,則y與x的函數(shù)解析式為_ 12函數(shù)y= x的圖象是一條過(guò)原點(diǎn)及（2,_ ）的直線,這條直線經(jīng)過(guò)第_象限, 當(dāng)x增大時(shí),y隨之_ 13.函數(shù)y=2x4,當(dāng)x_,y0,b0,b>0; C、k 高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)2 一、函數(shù)的概念與表示 1、映射 (1)映射：設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種映射法則f，對(duì)于集合A中的任一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，則這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A、B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f)叫做集合A到集合B的映射，記作f：AB。 注意點(diǎn)：(1)對(duì)映射定義的理解。(2)判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是映射的方法。一對(duì)多不是映射，多對(duì)一是映射 2、函數(shù) 構(gòu)成函數(shù)概念的三要素 定義

9、域?qū)?yīng)法則值域 兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的條件：三要素有兩個(gè)相同 二、函數(shù)的解析式與定義域 1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)： (1)分式的分母不為零; (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義; (3)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零; (4)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1; 三、函數(shù)的值域 1求函數(shù)值域的方法 直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù); 換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合根式內(nèi)外皆為一次式; 判別式法：運(yùn)用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍;適合分母為二次且R的分式; 分離常數(shù)：適合分子分母皆為一次式(

10、x有范圍限制時(shí)要畫圖); 單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域; 圖象法：二次函數(shù)必畫草圖求其值域; 利用對(duì)號(hào)函數(shù) 幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含絕對(duì)值函數(shù) 四.函數(shù)的奇偶性 1.定義:設(shè)y=f(x)，xA，如果對(duì)于任意A，都有，則稱y=f(x)為偶函數(shù)。 如果對(duì)于任意A，都有，則稱y=f(x)為奇 函數(shù)。 2.性質(zhì)： y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(0)=0 奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇兩函數(shù)

11、的定義域D1，D2，D1D2要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 3.奇偶性的判斷 看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱看f(x)與f(-x)的關(guān)系 五、函數(shù)的單調(diào)性 1、函數(shù)單調(diào)性的定義： 2設(shè)是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則在M上是減函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則在M上是增函數(shù)。 高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)3 高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納 1、函數(shù)：設(shè)A、B為非空集合，如果按照某個(gè)特定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，寫作y=f(x)，xA，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x相對(duì)應(yīng)

12、的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合B=f(x)xA 叫做函數(shù)的值域。 2、函數(shù)定義域的解題思路： 若x處于分母位置，則分母x不能為0。 偶次方根的被開方數(shù)不小于0。 對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于0。 指數(shù)對(duì)數(shù)式的底，不得為1，且必須大于0。 指數(shù)為0時(shí)，底數(shù)不得為0。 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的，那么，它的定義域是各個(gè)部分都有意義的x值組成的集合。 實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義。 3、相同函數(shù) 表達(dá)式相同：與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)。 定義域一致，對(duì)應(yīng)法則一致。 4、函數(shù)值域的求法 觀察法：適用于初等函數(shù)及一些簡(jiǎn)單的由初等函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算得到的函數(shù)。 圖像法：適

13、用于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)已經(jīng)分段函數(shù)。 配方法：主要用于二次函數(shù)，配方成y=(x-a)2+b的形式。 代換法：主要用于由已知值域的函數(shù)推測(cè)未知函數(shù)的值域。 5、函數(shù)圖像的變換 平移變換：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進(jìn)行加減。 伸縮變換：在x前加上系數(shù)。 對(duì)稱變換：高中階段不作要求。 6、映射：設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于A中的任意儀的元素x，在集合B中都有唯一的確定的y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的映射。 集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 集合A中的不同元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)。 不

14、要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。 7、分段函數(shù) 在定義域的不同部分上有不同的解析式表達(dá)式。 各部分自變量和函數(shù)值的取值范圍不同。 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。 8、復(fù)合函數(shù)：如果(uM)，u=g(x) (xA),則，y=fg(x)=F(x) (xA)，稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。 高一數(shù)學(xué)函數(shù)的性質(zhì) 1、函數(shù)的局部性質(zhì)單調(diào)性 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)應(yīng)定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)變量x1、x2，當(dāng)x10時(shí)，頂點(diǎn)為最小值，a0時(shí)的最大值或a0時(shí)，開口方向向上，a0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a0)，對(duì)稱軸在y軸左; 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab0時(shí)，拋

15、物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。 =b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。 =b2-4ac0時(shí)，函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響. 3、函數(shù)的最值在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識(shí)求解實(shí)際問(wèn)題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價(jià)最低”，“利潤(rùn)”或“面積(體積)(最小)”等諸多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題上，求解時(shí)要特別關(guān)注實(shí)際意義對(duì)自變量的制約，以便能正確求得最值. 【(四)、函數(shù)的奇偶性】 1、函數(shù)的奇偶性的定義：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù)). 正確理解奇函數(shù)

16、和偶函數(shù)的定義，要注意兩點(diǎn)：(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)). 2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時(shí)需要將函數(shù)化簡(jiǎn)或應(yīng)用定義的等價(jià)形式： 注意如下結(jié)論的運(yùn)用： (1)不論f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，f(|x|)總是偶函數(shù); (2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù)，那么在D1D2上，f(x)+g(x)是奇函數(shù)，f(x)·g(x)是偶函數(shù)，類似地有“奇±奇=奇”“奇

17、5;奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”; (3)奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù); (4)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。 3、有關(guān)奇偶性的幾個(gè)性質(zhì)及結(jié)論 (1)一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱. (2)如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且函數(shù)值恒為零，那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). (3)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立. (4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，則奇(偶)函數(shù)在正負(fù)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同(反)的。 (5)若f(x)的定義域

18、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù)，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù). (6)奇偶性的推廣 函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，即y=f(a+x)為偶函數(shù).函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)成中心對(duì)稱圖形，即y=f(a+x)為奇函數(shù)。 【(五)、函數(shù)的單調(diào)性】 1、單調(diào)函數(shù) 對(duì)于函數(shù)f(x)定義在某區(qū)間a，b上任意兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1>x2時(shí)，都有不等式f(x1)>(或x2)，這說(shuō)明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”. 5、復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)性 若u=g(x)在區(qū)間a，b上的單調(diào)性，與y=f(u)在g(a)，g(b)(或g(b)，g(a)上的單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在a，b上單調(diào)遞增;否則，單調(diào)遞減.簡(jiǎn)稱“同增、異減”. 在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常需要先將函數(shù)化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為討論一些熟知函數(shù)的單調(diào)性。因此，掌握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將大大縮短我們的判斷過(guò)程. 6、證明函數(shù)的單調(diào)性的方法 (1)依定義進(jìn)行證明.其步驟為：任取x1、x2M且x1(或0，則f(x)為增函數(shù);如果f(x)0) 沿