北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)課件

1、北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)一、向量在軸上的投影與投影定理一、向量在軸上的投影與投影定理.上的有向線段上的有向線段是軸是軸，設(shè)有一軸設(shè)有一軸uABuuAB.ABABABuuABuABAB ，即，即的值，記作的值，記作上有向線段上有向線段叫做軸叫做軸那末數(shù)那末數(shù)是負(fù)的，是負(fù)的，軸反向時(shí)軸反向時(shí)與與是正的，當(dāng)是正的，當(dāng)向時(shí)向時(shí)軸同軸同與與，且當(dāng)，且當(dāng)滿足滿足如果數(shù)如果數(shù)北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)ouAB1軸軸同同方方向向的的單單位位向向量量，是是與與設(shè)設(shè)ue.)(eABAB 的相互位置如何，的相互位置如何，三點(diǎn)三點(diǎn)軸上任意三點(diǎn)，不論這軸上任意三點(diǎn)，不論這是是設(shè)設(shè)uCBA,eBCeABeAC)

2、()()( 即即,)(eBCAB .BCABAC ,BCABAC e北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)證證,1uOA ,1euOA 故故eueu12 .)(12euu ouAB1e1u2u,2euOB 同理，同理，OAOBAB 于是于是北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a與與向向量量b的的夾夾角角),(ba ),(ab 類似地，可定義類似地，可定義向量與一軸向量與一軸或或空間兩軸空間兩軸的夾角的夾角.特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值.

3、 0() 北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)空間一點(diǎn)在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影u AA 過過點(diǎn)點(diǎn)A作作軸軸u的的垂垂直直平平面面，交交點(diǎn)點(diǎn)A 即即為為點(diǎn)點(diǎn)A在在軸軸u上上的的投投影影.北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uAA BB 已已知知向向量量的的起起點(diǎn)點(diǎn)A和和終終點(diǎn)點(diǎn)B在在軸軸u上上的的投投影影分分別別為為BA ,那那么么軸軸u上上的的有有向向線線段段BA 的的值值，稱稱為為向向量量在在軸軸u上上的的投投影影.北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)ABjuPr.BA 向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影記記為為關(guān)于向量的關(guān)于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向量向量AB在軸在軸u

4、上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦：軸與向量的夾角的余弦：ABjuPr cos| AB 證證uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)定理定理1 1的說明：的說明：投影為正；投影為正；投影為負(fù)；投影為負(fù)；投影為零；投影為零；uabc(4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一軸上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)關(guān)于向量的關(guān)于向量的投影定理（投影定理（2 2）兩兩個(gè)個(gè)向向量量的的和和在在軸軸上上的的投投影影等等于于兩兩個(gè)個(gè)向向量量在在該該軸軸上上的的投投影影之之和和. .Pr

5、Pr)(Pr2121a ja jaaj AA BB CC （可推廣到有限多個(gè)）（可推廣到有限多個(gè)）u1a2a北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)二、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量二、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)的坐標(biāo)1M1P2M2P上上的的投投影影分分別別為為點(diǎn)點(diǎn)在在軸軸點(diǎn)點(diǎn)為為一一條條數(shù)數(shù)軸軸為為一一向向量量，設(shè)設(shè)212121,PPuMMuMMa 上上的的坐坐標(biāo)標(biāo)依依次次為為在在軸軸又又設(shè)設(shè)2121,uuuPPuo,Pr21uuaMMj 1221OPOPPP ,12uu .12uuau 北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)如如果果e是是與與u軸軸正正向向一一致致的的單單位位向向量量，.)(12euu 設(shè)設(shè)a是是以以),

6、(1111zyxM為為起起點(diǎn)點(diǎn)、),(2222zyxM為為終終點(diǎn)點(diǎn)的的向向量量，過過21, MM各作垂直于三個(gè)坐標(biāo)軸的平面各作垂直于三個(gè)坐標(biāo)軸的平面 ,這這六六個(gè)個(gè)平平面面圍圍成成一一個(gè)個(gè)以以線線段段21MM為為對對角角線線的的長長方方體體.由例由例1知知eaPPu 21北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的的單單位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影x 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影y 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)

7、()()(12121221 北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本單位向量的按基本單位向量的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐標(biāo)坐標(biāo)：,zyxaaa向量的向量的坐標(biāo)表達(dá)式坐標(biāo)表達(dá)式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa

8、;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 設(shè)設(shè)),(zyxM為直線上的點(diǎn)，為直線上的點(diǎn)，例例 2 2 設(shè)設(shè)),(111zyxA和和),(222zyxB為為兩兩已已知知點(diǎn)點(diǎn)，而而在在AB直直線線上上的的點(diǎn)點(diǎn)M分分有有向向線線段段AB為為兩兩部部分分AM、MB，使使它它們們的的值值的的比比等等于于某某數(shù)數(shù))1( ，即即 MBAM，求求分分點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo).ABMxyzo北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)由題意知：由題意知：MBAM ,111zzyyxx

9、,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM為為有有向向線線段段AB的的定定比比分分點(diǎn)點(diǎn).M為為中中點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，,221xxx ,221yyy .221zzz 北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)xyzo 1M 2M 由圖分析可知由圖分析可知 cos|aax co

10、s|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模長的坐標(biāo)表示式向量模長的坐標(biāo)表示式21212121RMQMPMMM 北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)0222 zyxaaa當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單位向量的方向余弦為北京

11、郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)例例 3 3 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的單單位位向向量量的的分分解解式式.解解所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與 同向，一個(gè)反向同向，一個(gè)反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)例例 4 4 設(shè)設(shè)有有向向量量21PP，已已知知221 PP，它它與與x軸軸和和y軸軸的的夾夾角角分分別別為為3 和和4 ，如如果果1P的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為)3 , 0 , 1(，求求2P的的坐坐標(biāo)標(biāo).解解設(shè)設(shè)向向量量21PP的的方方向向角角為為 、 、 ,3 ,4 , 1cosc

12、oscos222 .21cos ,21cos ,22cos 北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué).32,3 設(shè)設(shè)2P的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)例例 5 5 設(shè)設(shè)kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求求向向量量pnma 34在在x軸軸上上的的投投影影及及在在y軸軸上上的的分分向向量量.解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,157

13、13kji 在在x軸軸上上的的投投影影為為13 xa,在在y軸上的分向量為軸上的分向量為j7.北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)向量在軸上的投影與投影定理向量在軸上的投影與投影定理.向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo).向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式.四、小結(jié)四、小結(jié)（注意分向量與向量的坐標(biāo)的（注意分向量與向量的坐標(biāo)的區(qū)別區(qū)別）北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)思考題思考題 設(shè)設(shè)jim ，kjn 2，求求以以向向量量nm,為為邊邊的的平平行行四四邊邊形形的的對對角角線線的的長長度度.北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)思考題解答思考題解答對角線的長為對角線的長為|,|,|nm

14、nm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm平行四邊形的對角線的長度各為平行四邊形的對角線的長度各為11, 3.mn北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 填空題：填空題：1 1、 已知已知rr,4 與軸與軸u的夾角是的夾角是60，則，則rjuPr=_=_ _ _；2 2、 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)1M)2,1,0(和和2M)0,1,1( 則則 21MM_；-2-221MM= =_；3 3、 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)1M)1,2,4(和和)2,0,3(2M, ,則向量則向量 21MM_ ，21MM=_=_，方向，方向 余弦余弦 cos=_=_； cos= =_； co

15、s= =_； 方向方向 角角_ ,_ , _ ,_ , _；4 4 、 已知向量已知向量kjia , ,kjib532 及及 kjic22 , , 0a則則_；北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué) 0b= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 0c= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；5 5、一一向向量量與與zoxyozxoy,三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)平平面面的的夾夾角角 , 滿滿足足 2cos+ + 2cos+ + 2cos= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二 、一一向向量量的的終終點(diǎn)點(diǎn)在在點(diǎn)點(diǎn))7,1,2( B，它它在在軸軸X，軸軸Y 和和軸軸Z上上的的投投影影依依次次為為74,4和和 ，求求這這向向量量的的 起起點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)A .