高中數(shù)學(xué)第30講(必修5)解斜三角形

1、 (必修5) 第一章 解三角形 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角度量問題些簡單的三角度量問題. 2.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與幾何計算有關(guān)的實際問題方法解決一些與幾何計算有關(guān)的實際問題.2.正弦定理及變式正弦定理及變式(1) = = =2R;(2)a=2RsinA,b= ,c=2RsinC;(3)sinA= ,sinB= ,sinC= ;(4)sinA sinB sinC =a b c.(5)在下列條件下，應(yīng)用正弦定理求解在下列條件下，應(yīng)用正弦定理求解:()已知兩角和一邊，求其他邊和角；

2、已知兩角和一邊，求其他邊和角；()已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角及其他邊和角的對角及其他邊和角.sinaAsinbBsincC2RsinB2aR2bR2cR3.余弦定理及變式余弦定理及變式1.在在ABC中，已知中，已知BC=12，A=60，B=45，則，則AC=( )DA.3 B.3 C.4 D.43663 由正弦定理得由正弦定理得 = ,所以所以AC= = =4 .sinBCAsinACBsinsinBCBA62122322.在在ABC中，若中，若a、b、c成等比數(shù)列，且成等比數(shù)列，且c=2a，則，則cosB=( )DA. B. C. D.2423

3、1434 因為因為a、b、c成等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，所以b2=ac.又又c=2a,所以所以b2=2a2,所以所以cosB= = = .2222acbac222242aaaa343.在在ABC中中,sinA:sinB:sinC=2: :( +1),則則三角形的最小內(nèi)角是三角形的最小內(nèi)角是( )63A.60 B.45 C.30 D.以上答案都錯以上答案都錯 由正弦定理由正弦定理 = = =2R，得得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC,所以所以a:b:c=sinA:sinB:sinC=2 ( +1).因為因為a為最小值，所以為最小值，所以A為最小內(nèi)角為最小內(nèi)角.因為因為cosA

4、= = ,且且A(0,60)，所以，所以A=45，故選，故選B.sinaAsinbBsincC63B222( 6)( 31)226( 31)22_, 8:7:5sin:sin:sin. 5BCBAABC則中，若在00002290.60.45.30._,sin)2()sin(sin2. 6DCBACBbaCARRABC則，且的外接圓半徑為已知9.某人向正東方向走了某人向正東方向走了x km，他向右轉(zhuǎn)，他向右轉(zhuǎn)150,然后朝新方向走了然后朝新方向走了 km，結(jié)果他離出發(fā)點，結(jié)果他離出發(fā)點恰好為恰好為 千米，那么千米，那么x的值是（的值是（ ）C3A. B.2C.2 或或 D.33333 先根據(jù)已知

5、條件畫出草圖，再用先根據(jù)已知條件畫出草圖，再用余弦定理或正弦定理列方程，解方程即余弦定理或正弦定理列方程，解方程即可，選可，選C.10.已知已知ABC的三個內(nèi)角的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)成等差數(shù)列，且列，且AB=1,BC=4，則邊，則邊BC上的中線上的中線AD的長為的長為 ，SACD= .332 由已知，由已知，B=60，AB=1，BD=2.由余弦定理知由余弦定理知AD= = .222cos60ABBDAB BD22122 1 2cos60 3又又cosADB= = = ,又又0ADB180，所以所以ADB=30，所以，所以ADC=150，所以所以SACD= ADDCsinADC= .222

6、2ADBDABAD BD222( 3)212 23 321232例例1 在在ABC中，已知中，已知a= ,b= ,B=45,求角求角A、C及邊及邊c. 由正弦定理，得由正弦定理，得sinA= = = ,因為因為ba,所以所以BA,所以所以A=60或或120.sinaBb3sin4523232 已知兩邊和其中一邊的對角解三角已知兩邊和其中一邊的對角解三角形問題形問題,用正弦定理解用正弦定理解,求得求得sinA= 時，要時，要注意角注意角A是銳角還是鈍角，若不能確定，是銳角還是鈍角，若不能確定，則需分類討論則需分類討論.(1)當(dāng)當(dāng)A=60時，時，C=75，所以所以c= = .(2)當(dāng)當(dāng)A=120時

7、，時，C=15，所以所以c= = .2sin75sin456222sin15sin4532622例例2 鈍角鈍角ABC的三內(nèi)角的三內(nèi)角A、B、C所對的所對的邊分別為邊分別為a、b、c，sinC= , (c-b)sin2A+bsin2B=csin2C，求角，求角A、B、C.22 由由(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C,得得(c-b)a2+b3=c3,所以所以(c-b)a2+(b-c)(b2+bc+c2)=0,即即(c-b)(b2+bc+c2-a2)=0,所以所以b=c或或b2+bc+c2-a2=0,當(dāng)當(dāng)b=c時，有時，有B=C，所以，所以C為銳角，為銳角，又又sinC= ,所以所以

8、B=C=45,所以所以A=90，這與，這與ABC為鈍角三角形矛盾為鈍角三角形矛盾.22當(dāng)當(dāng)b2+bc+c2-a2=0時，時，b2+c2-a2=-bc,所以所以cosA= =- ,所以所以A=120，又又sinC= 且且C為銳角，所以為銳角，所以C=45，所以所以B=180-A-C=15，綜上可知綜上可知,A=120,B=15,C=45.2222bcabc1222 若將邊化角若將邊化角,常用三角函數(shù)公式來化簡常用三角函數(shù)公式來化簡;若將角化邊若將角化邊,則常通過因式分解來得到則常通過因式分解來得到.三三.三角形形狀的判定三角形形狀的判定 例例3 已知圓內(nèi)接四邊形的邊長為已知圓內(nèi)接四邊形的邊長為A

9、B=2,BC=6,CD=DA=4，求四邊，求四邊形形ABCD的面積的面積. 如圖，連接如圖，連接BD，設(shè)四邊形設(shè)四邊形ABCD的面積為的面積為S，則則S=SABD+SBCD = ABADsinA+ BCCDsinC,因為四邊形因為四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，為圓內(nèi)接四邊形，所以所以A+C=180，所以所以sinA=sinC,cosA=-cosC,所以所以S= (ABAD+BCCD)sinA=16sinA,121212在在ABD中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，BD2=AB2+AD2-2ABADcosA =22+42-224cosA=20-16cosA.在在BCD中，由余弦定理同樣可得，中，

10、由余弦定理同樣可得，BD2=BC2+CD2-2BCCDcosC=52+48cosA.由由BD2=BD2，得，得20-16cosA=52+48cosA，即即cosA=- ,又又A(0,)，所以，所以A=120,所以所以S=16sin120=8 .123 將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形問題，創(chuàng)將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形問題，創(chuàng)造應(yīng)用解三角形的情景，進而運用有關(guān)造應(yīng)用解三角形的情景，進而運用有關(guān)的知識去解決問題的知識去解決問題.正、余弦定理體現(xiàn)了三角形中角與邊存正、余弦定理體現(xiàn)了三角形中角與邊存在一種內(nèi)在聯(lián)系，其主要作用是將已知邊、在一種內(nèi)在聯(lián)系，其主要作用是將已知邊、角互化或統(tǒng)一角互化或統(tǒng)一.一般的，利用公式一般的，利用公式a=2RsinA等（等（R為外接圓半徑），可將邊轉(zhuǎn)化角的三為外接圓半徑），可將邊轉(zhuǎn)化角的三角函數(shù)關(guān)系