三年級(jí)奧數(shù)高斯求和

1、高斯求和一、知識(shí)要點(diǎn)被人稱為“數(shù)學(xué)王子”的高斯在年僅8歲時(shí)，就以一種非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+99+100的結(jié)果。小高斯是用什么辦法算得這么快呢？原來(lái)，他用了一種簡(jiǎn)便的方法：先配對(duì)再求和。數(shù)列的第一個(gè)數(shù)（第一項(xiàng)）叫首項(xiàng)，最后一個(gè)數(shù)（最后一項(xiàng)）叫末項(xiàng)，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是一個(gè)不變的數(shù)，這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)不變的數(shù)則稱為這個(gè)數(shù)列的公差。計(jì)算等差數(shù)列的和，可以用以下關(guān)系式：等差數(shù)列的和（首項(xiàng)末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2末項(xiàng)首項(xiàng)公差×（項(xiàng)數(shù)1）項(xiàng)數(shù)（末項(xiàng)首項(xiàng)）÷公差1二、精講精練【例題1】你有好辦法算一算嗎？1+2+3+4

2、+5+6+7+8+9+10（ ） 練習(xí)1：速算。(1) 1+2+3+4+5+20 (2) 1+2+3+4+99+100 (3) 21+22+23+24+100 【例題2】計(jì)算。(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324 練習(xí)2：計(jì)算。(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188 【例題3】有一堆木材疊堆在一起，一共是10層，第1層有16根，第2層有17根，下面每層比上層多一根，這堆木材共有多少根？練習(xí)3：(1)體育館的東區(qū)共有30排座位，呈梯形，第1排有10個(gè)座位，第2排有11個(gè)座位，這個(gè)

3、體育館東區(qū)共有多少個(gè)座位？ (2)有一串?dāng)?shù)，第1個(gè)數(shù)是10，以后每個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)大4,最后一個(gè)數(shù)是90，這串?dāng)?shù)連加的和是多少？ (3)有一個(gè)鐘，一點(diǎn)鐘敲1下，兩點(diǎn)鐘敲2下，十二點(diǎn)鐘敲12下，分鐘指向6敲1下，這個(gè)鐘一晝夜敲多少下？ 【例題4】計(jì)算992+993+994+995+996+997+998+999。 練習(xí)4：計(jì)算。(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009 (3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19 【例題5】計(jì)算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-

4、16-84-17-83-18-82-19-81 練習(xí)5：計(jì)算。(1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1 (2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19 (3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16 植樹(shù)問(wèn)題一、知識(shí)要點(diǎn)爸爸給晶晶出了一道題：“小朋友們?cè)诼返囊贿呏矘?shù)，先植一棵樹(shù)，以后每隔3米植一棵，已經(jīng)植了9棵，問(wèn)第一棵和第九棵樹(shù)相距多少米？”晶晶一看，隨口答題：“27米。”同學(xué)們，晶晶答對(duì)了嗎？這一類應(yīng)用題我們通常稱為“

5、植樹(shù)問(wèn)題”。解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是要弄清總距離、間隔長(zhǎng)和棵數(shù)三者之間的關(guān)系。解答植樹(shù)問(wèn)題先要考慮植樹(shù)的方式，一般在不封閉的線路上植樹(shù)，棵數(shù)總距離÷間隔長(zhǎng)1；在封閉的線路上植樹(shù)，棵數(shù)總距離÷間隔長(zhǎng)。另外，生活中還有一些問(wèn)題，可以用植樹(shù)問(wèn)題的方法來(lái)解答。比如鋸木頭、爬樓梯問(wèn)題等等，這時(shí)解題的關(guān)鍵是要將題目中的條件和問(wèn)題與植樹(shù)問(wèn)題中的“總距離”、“間隔長(zhǎng)”、“棵數(shù)”對(duì)應(yīng)起來(lái)。二、精講精練【例題1】小朋友們?cè)诼返囊贿呏矘?shù)，先植一棵樹(shù)，以后每隔3米植一棵，已經(jīng)植了9棵，問(wèn)第一棵和第九棵樹(shù)相距多少米？【思路導(dǎo)航】要得出正確的結(jié)果，我們可以畫(huà)出如下的示意圖： 根據(jù)“已經(jīng)植了9棵”，從圖中可

6、以看出，第一棵樹(shù)和第九棵樹(shù)之間的間隔是9-1=8（個(gè)），每個(gè)間隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8=24（米），具體列式如下： 3×（9-1） =3×8=24（米） 答：第一棵和第九棵樹(shù)相距24米。練習(xí)1：（1）在路的一側(cè)插彩旗，每隔5米插一面，從起點(diǎn)到終點(diǎn)共插了20面，這條道路有多長(zhǎng)？（2）在學(xué)校的走廊兩邊，每隔4米放一盆菊花，從起點(diǎn)到終點(diǎn)一共放了20盆，這條走廊長(zhǎng)多少米？【例題2】在一條長(zhǎng)42米的大路兩側(cè)栽樹(shù)，從起點(diǎn)到終點(diǎn)一共栽了14棵，已知相鄰兩棵樹(shù)之間的距離都相等，問(wèn)相鄰兩棵樹(shù)之間的距離是多少米？【思路導(dǎo)航】根據(jù)“在路的兩側(cè)共栽了14棵樹(shù)”這個(gè)條件，我們

7、可以先求出每一側(cè)栽了14÷2=7（棵）樹(shù)，那么從第1棵樹(shù)到第7棵樹(shù)之間的間隔是7-1=6（個(gè)）。42米長(zhǎng)的大路平均分成6段，每段是42÷6=7（米）。列式如下： 42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6 =7（米） 答：相鄰兩棵樹(shù)之間的距離是7米。練習(xí)2：在公園一條長(zhǎng)30米的路的兩側(cè)放椅子，從起點(diǎn)到終點(diǎn)共放了12把椅子，相鄰兩把椅子的距離相等，相鄰兩把椅子之間相距多少米？ 【例題3】把一根鋼管鋸成小段，一共花了28分鐘，已知每鋸開(kāi)一段需要4分鐘，這根鋼管被鋸成了多少段？【思路導(dǎo)航】我們先求出鋼管被鋸開(kāi)了28÷4=7

8、（處），因而被鋸開(kāi)的段數(shù)有7+1=8（段）。列式如下： 28÷4+1 =7+1 =8（段） 答：這根鋼管被鋸成了8段。 練習(xí)3： 一根圓木鋸成2米長(zhǎng)的小段，一共花了12分鐘。已知每鋸下一段要3分鐘，這根圓木長(zhǎng)多少米？【例題4】甲、乙兩人比賽爬樓梯，甲跑到4樓時(shí)，乙恰好跑到3樓，照這樣計(jì)算，甲跑到16樓時(shí)，乙跑到了多少樓？【思路導(dǎo)航】解答爬樓梯問(wèn)題時(shí)，不能以樓層進(jìn)行計(jì)算，而要用樓梯段數(shù)進(jìn)行計(jì)算，因?yàn)榈谝粚訕鞘遣挥门赖模皹菍訑?shù)-1”才是要走的“樓梯段數(shù)”，根據(jù)題意“甲跑到4樓時(shí)，乙恰好跑到3樓”，實(shí)際上是說(shuō)“甲跑3段樓梯與乙跑2段樓梯所用的時(shí)間相同?！闭者@樣計(jì)算，甲跑到16樓，也就是跑

9、了15段樓梯，應(yīng)是甲跑3段樓梯所用的時(shí)間的5倍，在同一時(shí)間里，乙跑的樓梯段數(shù)也是他跑2段樓梯的5倍，也就是這時(shí)乙跑了10段樓梯，即他跑到了第10+1=11（樓）。列式如下： （3-1）×（16-1）÷（4-1）+1 =2×5+1 =11（樓）答：甲跑到16樓時(shí)，乙跑到了11樓。練習(xí)4：小明和小紅兩人爬樓梯比賽，小明跑到第4層時(shí)，小紅跑到第5層，照這樣計(jì)算，當(dāng)小明跑到第16層時(shí)，小紅跑到了第幾層？ 【例題5】一個(gè)圓形跑道長(zhǎng)300米，沿跑道周圍每隔6米插一面紅旗，每?jī)擅婕t旗中間插一面黃旗，跑道周圍各插了多少面紅旗和黃旗？【思路導(dǎo)航】在圓周上插旗，插的面數(shù)正好等于分成的

10、段數(shù)，所以插了紅旗300÷6=50（面），由于每?jī)擅婕t旗中間插一面黃旗，所以黃旗的面數(shù)就等于紅旗的面數(shù)，也是50面。 300÷6=50（面） 答：跑道周圍插了50面紅旗和50面黃旗。練習(xí)5：（1）有一個(gè)正方形水池，周長(zhǎng)是200米。如果沿著水池周圍每隔10米裝一盞紅燈，再在相鄰的兩盞紅燈中間等距離地裝4盞黃燈。問(wèn)水池周圍一共裝了幾盞紅燈？幾盞黃燈？ （2）一條公路長(zhǎng)480米，在兩旁植樹(shù)，兩端都植。每隔12米植一棵樟樹(shù)，兩棵樟樹(shù)中間又等距離地栽了3棵柳樹(shù)。問(wèn)樟樹(shù)和柳樹(shù)各栽了多少棵？簡(jiǎn)單推理一、知識(shí)要點(diǎn)數(shù)學(xué)課上，老師布置了一道題：=28 = =（ ） =（ ）要得出正確的結(jié)論，就

11、要進(jìn)行分析、推理。學(xué)會(huì)了推理，能使你變得更聰明，頭腦更靈活。數(shù)學(xué)上有許多重大的發(fā)現(xiàn)和疑難問(wèn)題的解決都離不開(kāi)推理。解答這類推理題時(shí)，要求小朋友仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析等式中幾個(gè)圖形之間的關(guān)系，尋找解題的突破口，然后再利用等量代換、消去等方法來(lái)進(jìn)行解答。二、精講精練【例題1】下式中，和各代表幾？ =28 = =（ ） =（ ）【思路導(dǎo)航】根據(jù)=28，我們可以得出=28；由=得到28=，4個(gè)等于28，一個(gè)等于28÷4=7；由=可求出=777=21。練習(xí)1：1=18 = =（ ） =（ ）2=25 = =（ ） =（ ）3=36 = =（ ） =（ ）【例題2】下式中，和各代表幾？ ×=

12、36 ÷=4 =（ ） =（ ）【思路導(dǎo)航】根據(jù)÷=4可知為一份，是這樣的4份，即=4；又根據(jù)×=36，可以得到4×=36，即×=9，進(jìn)一步得到=3，=4=4×3=12。練習(xí)2：1和各表示幾？ ×=16 ÷=4 =（ ） =（ ）2想想，填填。 ×=20 = =（ ） =（ ）3和各代表幾？= ×=16 =（ ） =（ ）【例題3】下式中，和各代表幾？ =16 =14 =（ ） =（ ）【思路導(dǎo)航】16里面有2個(gè)，1個(gè)；14里面有1個(gè)，2個(gè)，16減去14等于2，即=2，那么如果把換成了，則16需

13、要加上2，即=162，那么=（162）÷3=6，=166×2=4。練習(xí)3： 1=38 =22 =（ ） =（ ）2=52 =48 =（ ） =（ ）3=10 =12 =12 =（ ） =（ ） =（ ）【例題4】下式中，和各代表幾？ =34 =48 =（ ） =（ ）【思路導(dǎo)航】34里面有2個(gè)、3個(gè)，48里面有3個(gè)、4個(gè)，用48減去34得到=14，34中有2個(gè)（）及1個(gè)。所以，=3414×2=6，=（346×3）÷2=8。練習(xí)4：1=24 =36 =（ ） =（ ）2=54 =76 =（ ） =（ ）3=96 =123 =（ ） =（ ）【例題5】下式中，、和各代表幾？ = = =80 =（ ） =（ ） =（