幾個常用的自感系數(shù)計算公式的應用

1、2005年第1期河北理科教學研究問題討論幾個常用的自感系數(shù)計算公式的應用江蘇省鹽城師范學院陸荷琴224001江蘇省南京化工職業(yè)技術學院葛宇宏210048© 1994-2008 China Academic Joun)al Electronic Publishing House. All rights reserved hitprZ/2005年第1期河北理科教學研究問題討論© 1994-2008 China Academic Joun)al Electronic Publishing House. All rights reserved hitprZ/2005年第1期河北理科

2、教學研究問題討論IrZnr' | R、圧通常自感系數(shù)是由實驗測定，只是在某些 簡單的情形才可由定義公式計算出來,所以在 這些求自感系數(shù)公式的應用中需要針對各自 適用的條件區(qū)別使用，決不能一概而論以下 借助一典型的例題來說明這一點.普通物理教 學中經常遇到計算同軸電纜的自感這類例題, 筆者査閱了許多教材，其處理方法可歸納為三 種:一是忽略芯線的大小或將芯線考慮為與外 壁在同軸上的圓筒形狀的導體，應用公式= “或0二舟"2都可以得到同一結果;二 是只忽略外壁厚度;三是芯線的大小和外壁厚 度都不忽陀，后兩沖悽況自感系數(shù)旳計算用 0 = 12 b”公式就較簡便而準確.這里首先以 第三

3、種情況為例給予分析.如圖1所示， 電纜導體材料的磁 導率為“，芯線與 外壁之間填入非磁 性介質，電纜的芯 線是半徑為/?!的 實心圓柱體，外壁 的內徑為人2、外 徑為R3,通過它們的電流均為人求其單 位長度直電纜的自感系數(shù).1簡便正確的解法是應用公式W = LI2根據(jù)安培環(huán)路定律:求得各區(qū)域內的磁 感應強度.芯線中：I二了氣4（rwRjZ7TA J填充介質中：2二守彳（尺20卩0尺3） 外壁導體之外：血=0（ r M尺3） 因此這單位長的同軸電纜中的磁場能為：B 2=匚"m 必二I 01寸吃燈 dr + 2wd;“ j唸2mS（丿-尸吃兀廠dr +2/rri r J£ I

4、（32" f2） l2 9 juf J_人34 壘 3卅二財4兀4 4（眉2 - &2嚴 & - 4（ &2 _ R2）+泌14tt ln R則單位長度同軸電纜的自感系數(shù)為： r 2WmJ P 一“ 1 卅 ,3財-財1第喘（1）式中的第一 項是內導體中內自感,第二、 三項是外導體中的內自感，最后一項是外自 感.當R2»R且&=斤3時,這時同軸電纜 的自感為"喘說咗唸喘這就是第-種情況的計算結果，僅當只2 = R3時自感為：L二斗旦h色'8tt 2tt R這就是第二種時況的計算的結果.2似是両非的解法為了 15寫的方便 現(xiàn)以

5、第二種情況，即 R 2 a人3為例，對m =LI公式的應用進行 討論.筆者在教學過 程中完成上述第一種 解法討論后，就向學 生提出為什么沒有使用公式0.= H進行圖2計算，如果使用這公式計算其結果是否與上一解法相同？如圖2 所示，通過回路abed的磁通呈，大家不難 得到：0= I - "r 心豐丨 2- '2pR2 R、27W_4tt+ 2沙 RR這樣的推算結果看似無可非議,（4） 但 式多了式與（3）式比較就會發(fā)現(xiàn)比（3） 益.那么這似是而非的解法又錯在什么地 方呢？很顯然這是對公式L=肆,即“在 數(shù)值上等干回路中的電流為一個單位時，穿 過此回路所圍面積的磁通量”的理解還

6、不準確.實驗表明自感L與回路的形狀、大小以 及周的介質的磁導率有關這里應注意的是：一是“回路”這一模型，嚴格來講這冋 路是可以理解為由細微的通電線圍成.根據(jù) 定義要求這一回路還是單一的.沒有與其他 冋路發(fā)生交鏈.如圖2中所示的芯線審 部分顯然是不能看成是細微通電線，而應等 效為有N條細微通電線緊密平拼組成，也 就是說平面afed是由N條、每條中通冇電 流的細徵通電線圈的一邊拼成的（如圖3所示）.由此可見，（4）式 中的 % 不能反映圖 3所示的線圈的磁通 鏈數(shù)Wm.由于這些線 圈是平鋪在同一平面 內，以圖3中面積元 ds=dr.l（陰影部分） 為例，與此相交鏈的相對應的電流是以半徑圖3r的部分

7、芯線，而外側的電流并不與其交鏈故鄉(xiāng)Z"部分的磁通鏈 數(shù)也不能簡單寫成% = 件二LI的形式.二是“電流”人在% /或監(jiān)=LJ 公式中的電流，通常是指線圈之間是彼此串 接、并無漏磁這先決條件前提下的線圈中的電流.則如圖3所示的面積元的磁通應為:(5)心2市山很顯然（5）式中的/不是等效線圈中 的等效電流，而是與面積元交鏈的相應電流 ” r27 =P3應用公式m = L/要注意V”與/的物 理意義如圖3所示，Wm由兩部分組成是芯 線中的電流對芯線與外壁之間的/必 部分.二J幼TS I唸沁r 嗚咗二是芯線中電流對回路afed的磁通鏈數(shù) 繪嚴=採嚴（7）(7) 式中“是芯線的磁導率r是面 積

8、元到軸線之間的距離，“是面積元到軸線 之間等效線圈數(shù).對應的交鏈電流為r, 因為需#，又因嚴嶋，則青嶋。 令N = 則幾二召。(7)式為口 1 訃煤盞心驚 所以=眷警b魯 一姿一牛也(8)1 3jr + 2n 乩(8) 式這一結果與(3)式完全一樣. 說明以上的分析和處理方法是合理的.4求自感厶的常用公式應用常見的幾個求自感厶的公式是： 厶二爭"歲=¥(3) JT = -|l/2"-2 務從公衣中包含的物理量來分，可將求自 感的方法分為三種情況： (上接第7頁)解:設 /(%W走對Wa,2(lVa< 2)恒成立，則(尤- 1 )2 W log/ 對 X G

9、a,2：l < a < 2) 恒成立.在同一坐 標系中，分別作出 函數(shù)y十-I 14 y = log/的圖象如圖7所示.所以(x-l)2log/對x6a,2(1 va<2)恒成立oa > 1(2-1)2現(xiàn),O盤鼻越由定理1得:)max =古; 設 /(x)M臨對 Wa,2(l < a <2)恒成一、設有電流/通過的線圈(回路)、能 準確分析線圈回路所包圍的范圍內，由此電 流形成的磁場的空間分布，計算磁場穿過自 身回路的總磁通或磁通鏈數(shù).這一般來說是 用公式(1)或(2)計算但這種方法只適合 有規(guī)則的簡單的線圈回路.二、在回路中通以己知變化率的電流能 準確測出

10、回路中的感應電動勢eL時,應用公 式(4)計算厶，所以這一方法一般適用于工程 中.三、載有電流/的導體(或回路)產生的 磁感強度是對稱性分布時，磁場能密度0m 這時也呈龍稱性，通過積分可以簡便地求得 整個磁場所具有的總能儀.用公式(3)計算自 感L也就較為簡便.I 1 盧億龔.物理學.髙等教療出版社，>998:341.張立升俸理學天注大學出版社,1996:381.3馬文尉.物理學髙等教仔岀版社,第四版中冊第 218頁圖8立，則(一 14 log6X 對 % W a, 2 (1 <a<2)恒成立. 在同一坐標系中, 分別作出國數(shù)v = (x - I)2, y = log/ 的圖象如圖8所 示所以(x - l)2>log/ 對 % a,2j(l < a < 2)恒成6>1 ,./ 或 0 < 6