初中數(shù)學(xué)中的基本數(shù)學(xué)思想方法

1、初中數(shù)學(xué)中的基本數(shù)學(xué)思想方法初中數(shù)學(xué)中的基本數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)主題具體要求典型例題數(shù)學(xué)思想（1）用字母 表示數(shù)會(huì)用字母表示數(shù)，進(jìn)行式的運(yùn)算 和討論一些數(shù)學(xué)問(wèn)題。如會(huì)列方程解 應(yīng)用題，會(huì)用換元法，利用整體思想 達(dá)到化簡(jiǎn)解題過(guò)程或解決問(wèn)題的目的 等。用字母表示數(shù)的思想是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化 思想的具體體現(xiàn)。1. 一件工作，甲做 a天能完成，乙做b天能 完成，現(xiàn)在甲先做了 c天（ca）,余下的 工作由乙繼續(xù)完成，乙需做幾天可以完成 全部工作？2 .已知 x= 4_逅求 X： 6x3+23 的x2 _8x+15值。能運(yùn)用代數(shù)、三角比知識(shí)通過(guò)數(shù) 量關(guān)系的討論去處理幾何圖形的問(wèn) 題；能運(yùn)用幾何、三角比知識(shí)通過(guò)對(duì) 圖形性

2、質(zhì)的研究去解決數(shù)量關(guān)系的問(wèn) 題。能將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖 形符號(hào)結(jié)合起來(lái)，把抽象思維與形象 思維結(jié)合起來(lái)；會(huì)用代數(shù)的方法去研 究幾何問(wèn)題，會(huì)根據(jù)圖形的性質(zhì)及幾1、已知二次函數(shù)y = ax + bx + c的圖象如 圖所示，則2a0,b0,c0,b _4ac0（Lx（2）數(shù)形結(jié) 合法何知識(shí)去處理代數(shù)問(wèn)題。VT2、如果關(guān)于x的方程2x2 +3x+5m =0有且只有一個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根，求m的取值范 圍。23 .二次函數(shù)ywx +bxc如圖（1）試確定 c的符號(hào)及a、b、b2 4ac的符號(hào)（2）試確定 a+b+c、a-b+c 的符號(hào)|y/ x（3）函數(shù)思 想函數(shù)所揭示的是兩個(gè)變量之間的 對(duì)應(yīng)關(guān)系，

3、通俗的講就是一個(gè)量的變 化引起了另一個(gè)量的變化。在數(shù)學(xué)中 總是設(shè)法將這種對(duì)應(yīng)關(guān)系用解析式表 示出來(lái)，這樣就能充分運(yùn)用函數(shù)的知 識(shí)、方法來(lái)解決有關(guān)的問(wèn)題。1把一塊邊長(zhǎng)為20cm的正方形鐵皮，四角各 截去邊長(zhǎng)為xcm的小正方形，再將它折成一 個(gè)無(wú)蓋盒子。求這個(gè)盒子的容積 V關(guān)于自變 量x的函數(shù)解析式，并說(shuō)明 x的取值范圍。2 .如圖在 Rt ABC / BAC=90o,AB=AC=2，點(diǎn) D 在BC上運(yùn)動(dòng)（不能到達(dá) B、C）,過(guò)D作/ ADE= 45 o, DE 交 AC 于 E。設(shè) BD=x，AE=y， 求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫岀自變量取值范圍。問(wèn)當(dāng) ADE為等腰三角形時(shí)，求AE 的長(zhǎng)。ed

4、c學(xué)會(huì)分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，尋1.牧場(chǎng)的青草，每天都生長(zhǎng)一樣快，牧場(chǎng)的全找已知量與未知量之間的相等關(guān)系部青草可以供給10頭牛吃20天供給15學(xué)會(huì)通過(guò)適當(dāng)設(shè)元,列出方程或頭牛吃10天，那么供給25頭?？梢猿詭滋?？方程組，從而解決問(wèn)題的一種思維方2.四邊形ABCD對(duì)角線相交于0點(diǎn)，且式ABC、 BCD、 CDA、 DAB 的面積分(4)方程思 想別為 5、9、10、6求厶 OAB、 OBC、OCD及厶ODA的面積.當(dāng)面臨的冋題不宜用一種方法處1 解關(guān)于x的方程理或同一種形式敘述時(shí)，就把問(wèn)題按m .宀砧 吋Ji任濟(jì) 八斗甘十*砂2 2x +x2+k(x +2x)=0照一疋的原則或標(biāo)準(zhǔn)分為右十類，然

5、后逐類進(jìn)行討論，再把這幾類的結(jié)論2 .已知關(guān)于x的方程x2-(k+2)x+2k=0。匯總，得出問(wèn)題的答案，這種解決問(wèn)(1)求證：無(wú)論k取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)題的思想方法就是分類討論的思想方數(shù)根；法。(2) 若等腰 ABC的一邊長(zhǎng)a=1,另兩邊長(zhǎng)分類討論的思想方法的實(shí)質(zhì)是把b, c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求問(wèn)題“分而治之，各個(gè)擊破”。其一般ABC的周長(zhǎng)。(5)分類討規(guī)則及步驟是：(1 )確定同一分類標(biāo)3 .已知AB為。O的直徑，D為直徑AB上一論思想準(zhǔn)；(2)恰當(dāng)?shù)貙?duì)全體對(duì)象進(jìn)行分類，動(dòng)點(diǎn)(D不與點(diǎn)A, B重合)，過(guò)D作CD丄AB按照標(biāo)準(zhǔn)對(duì)分類做到“既不重復(fù)又不交。O于C,過(guò)C作。O的切線PC,

6、交。O的遺漏” ；(3)逐類討論，按一定的層次切線AM于P，連PB交CD于E。討論，逐級(jí)進(jìn)行；(4)綜合概括小節(jié)，(1)請(qǐng)根據(jù)D點(diǎn)的不同位置畫出符合題意的歸納得出結(jié)論。圖形；(2)猜想CE與DE的數(shù)量關(guān)系，并就 D點(diǎn)的某一位置證明你的結(jié)論；(3)如果。O的半徑為1,設(shè)點(diǎn)D與圓心O的距離為m，試求PC的長(zhǎng)(可用m的 代數(shù)式表示)。(6)化歸思想化歸思想方法是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的 指導(dǎo)思想和一種基本策略?；瘹w思想 就是把未知問(wèn)題化歸為已知問(wèn)題。把 復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，把非常規(guī) 問(wèn)題化歸為常規(guī)問(wèn)題。從而使很多問(wèn) 題得到解決的思想。結(jié)合解題進(jìn)行化 歸思想方法的訓(xùn)練的做法：1、化繁為 簡(jiǎn)；2、化高維為低維

7、；3、化抽象為 具體；4、化非規(guī)范性問(wèn)題為規(guī)范性問(wèn) 題；5、化數(shù)為形；6、化實(shí)際問(wèn)題為 數(shù)學(xué)問(wèn)題；7、化綜合為單一；8、化 一般為特殊1 解方程：2x 3 = x2 .已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是x軸正半袖上的兩點(diǎn)，點(diǎn) A在點(diǎn)B的 左側(cè)，如圖。二次函數(shù)2y = ax bx c(卄0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)a、B，與y軸相交于點(diǎn)Co(1)a、c的符號(hào)之間有何關(guān)系？如果線段0C的長(zhǎng)度是線段 0A、0B長(zhǎng)度的 比例中項(xiàng)，試證 a、c互為倒數(shù)；(3)在(2)的條件下，如果 b= 4，AB= 4 3求a、 c的值。(7)數(shù)學(xué)模 型思想所謂數(shù)學(xué)模型，是指用數(shù)學(xué)語(yǔ)言 把實(shí)際問(wèn)題概括地表述出來(lái)的一種數(shù)

8、 學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型是對(duì)客觀事物的空 間形式和數(shù)量關(guān)系的一種反映。它可 以是方程、函數(shù)或其他數(shù)學(xué)式子，也 可以是一個(gè)幾何基本圖形。利用數(shù)學(xué) 模型解決問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法就是數(shù) 學(xué)模型方法。它的基本步驟如下圖所 示：設(shè)計(jì)一條隧道，要使高 4米，寬4米的巨 型載重車輛能單向通過(guò)，隧道上的縱斷面是如 圖拋物線狀的拱，拱寬是高的4倍，求拱寬可以取得的最小整數(shù)值。(單位：米；5 - 2.236)實(shí)際問(wèn)題的解*-數(shù)學(xué)模型的解數(shù)學(xué)抽象(8)分解組 合思想能把在內(nèi)容和形式上，和教材上 的公式、疋理所需要具備的條件不元 全一樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分 解、拆割，或者合成、拼補(bǔ)等手段， 將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為符合公式、定理所

9、要求 的形式，并運(yùn)用公式、定理來(lái)加以解 決。1、因式分解：2 2 2 2x 2xy + y - a 2ab b2、將兩塊三角板如圖放置，其中NC =/EDB =90，/A =45NE =30：AB =DE =6,求重疊部分的面積。AA0B(9)圖形運(yùn) 動(dòng)思想初中圖形運(yùn)動(dòng)包含平移、翻折和 旋轉(zhuǎn)，能通過(guò)實(shí)驗(yàn)、操作、觀察和想 象掌握運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)，在圖形的運(yùn)動(dòng)中 找到不變量，然后解決冋題。把一張邊長(zhǎng)為2的正方形紙片ABCD折 疊，使B落在AD上(不和A、B重合)，MN為折痕，設(shè) AB = a。求：(1)折起部分面積；(2)折痕MN的長(zhǎng)。(用a的代數(shù)式表示)1B bUC數(shù)學(xué)方法(1)待定系 數(shù)法熟練掌握待

10、定系數(shù)法的基本思想和步 驟，會(huì)求解一些需要確定系數(shù)的問(wèn)題， 尤其是確定函數(shù)解析式，或者會(huì)利用 系數(shù)證明一些問(wèn)題。1 .已知二次函數(shù)的圖像頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 5)它在y軸上的截距是一7,求這個(gè)二次函數(shù)。2 1 22 .已知拋物線 y=X - (a+b)X + 4C a、b、C分別是/ ABC中/ A、/ B、/ C的對(duì)邊。(1) 求證：該拋物線與X軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；(2) 設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為P、Q,頂點(diǎn)為R，/ PQR= a，tga =血，/ ABC 的周長(zhǎng)為10，求拋物線的解析式；設(shè)直線y=ax bc與拋物線交于點(diǎn)E、F,與y 軸交于點(diǎn)M，拋物線與y軸交于點(diǎn)N，若拋物 線的對(duì)稱軸為x=a，

11、/ MNE與/ MNF的面積之 比為5: 1，試判斷/ ABC的形狀，并證明你的 結(jié)論。(2)配方法學(xué)會(huì)通過(guò)湊、配等手段得到完全平方、 完全立方等形式，再利用完全平方項(xiàng) 是非負(fù)數(shù)等性質(zhì)，達(dá)到增加題目的條 件等目的。主要用在多元代數(shù)式求值， 無(wú)理式的證明和化簡(jiǎn)以及求解方程。1. 若實(shí)數(shù)X、y、z滿足4(作幵z_2) = x + y +z求x、y、z的值。2、已知關(guān)于x的方程2 2 2x +2(1+a)x+(3a +4ab+4b +2)=0有實(shí)根。求a、b的值。會(huì)用新的未知數(shù)去替換原條件中的舊未知數(shù)或數(shù)子或代數(shù)式，使較為復(fù)雜1解方程 2x2 +x5j2x2 +x =6的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，以達(dá)到簡(jiǎn)化解題(3)換兀法過(guò)程的目的，是體現(xiàn)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的2計(jì)算(1X11半-十)231999 232000具體體現(xiàn)。(1 1 1 1 +1 + 1 )232000 231999:會(huì)用判別式去處理一兀二次方程、二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式等方面問(wèn)題1不解方程，判別下列方程的根的情況：把二次三項(xiàng)式、一兀二次方程、分(1) 5x2 _4x=0 ( 2) 3x2 _2x +1 亠(3)式方程、無(wú)理方程、二次函數(shù)求