各種模態(tài)分析方法總結(jié)與比較

1、各種模態(tài)分析方法總結(jié)與比較一、模態(tài)分析模態(tài)分析是計算或試驗分析固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型這些模態(tài)參 數(shù)的過程。模態(tài)分析的理論經(jīng)典定義：將線性定常系統(tǒng)振動微分方程組中的物理 坐標變換為模態(tài)坐標，使方程組解耦，成為一組以模態(tài)坐標及模態(tài)參數(shù)描 述的獨立方程，以便求出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。坐標變換的變換矩陣為模態(tài)矩 陣，其每列為模態(tài)振型。模態(tài)分析是研究結(jié)構(gòu)動力特性一種近代方法，是系統(tǒng)辨別方法在工程 振動領(lǐng)域中的應用。模態(tài)是機械結(jié)構(gòu)的固有振動特性，每一個模態(tài)具有特 定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型。這些模態(tài)參數(shù)可以由計算或試驗分析 取得，這樣一個計算或試驗分析過程稱為模態(tài)分析。這個分析過程如果是 由有限元計算的

2、方法取得的，則稱為計算模記分析；如果通過試驗將采集 的系統(tǒng)輸入與輸出信號經(jīng)過參數(shù)識別獲得模態(tài)參數(shù)，稱為試驗模態(tài)分析。 通常，模態(tài)分析都是指試驗模態(tài)分析。振動模態(tài)是彈性結(jié)構(gòu)的固有的、整 體的特性。如果通過模態(tài)分析方法搞清楚了結(jié)構(gòu)物在某一易受影響的頻率 圍各階主要模態(tài)的特性，就可能預言結(jié)構(gòu)在此頻段在外部或部各種振源作 用下實際振動響應。因此，模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動態(tài)設(shè)計及設(shè)備的故障診斷的 重要方法。模態(tài)分析最終目標是在識別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動特 性分析、振動故障診斷和預報以及結(jié)構(gòu)動力特性的優(yōu)化設(shè)計提供依據(jù)。二、各模態(tài)分析方法的總結(jié)（一）單自由度法一般來說，一個系統(tǒng)的動態(tài)響應是它的若干階模態(tài)

3、振型的疊加。但是如果假定在給定的頻帶只有一個模態(tài)是重要的，那么該模態(tài)的參數(shù)可以單 獨確定。以這個假定為根據(jù)的模態(tài)參數(shù)識別方法叫做單自由度（SDOF）法n1。在給定的頻帶圍，結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性的時域表達表示近似為：htR2-1而頻域表示則近似為：h j rUR 蘭2-2jr單自由度系統(tǒng)是一種很快速的方法，幾乎不需要什么計算時間和計算 機存。這種單自由度的假定只有當系統(tǒng)的各階模態(tài)能夠很好解耦時才是正確的。然而實際情況通常并不是這樣的，所以就需要用包含若干模態(tài)的模 型對測得的數(shù)據(jù)進行近似，同時識別這些參數(shù)的模態(tài)，就是所謂的多自由 度（MDOF）法。單自由度算法運算速度很快，幾乎不需要什么計算和計算機存，

4、因此在當前小型二通道或四通道傅立葉分析儀中，都把這種方法做成置選項。然而隨著計算機的發(fā)展，存不斷擴大，計算速度越來越快，在大多數(shù)實際 應用中，單自由度方法已經(jīng)讓位給更加復雜的多自由度方法。1、峰值檢測峰值檢測是一種單自由度方法，它是頻域中的模態(tài)模型為根據(jù)對系統(tǒng)極點進行局部估計（固有頻率和阻尼）。峰值檢測方法基于這樣的事實：在 固有頻率附近，頻響函數(shù)通過自己的極值，此時其實部為零（同相部分最?。摬亢头底畲螅ㄏ嘁七_90 °，幅度達峰值）圖1。出現(xiàn)極值的那個固有頻率就是阻尼固有頻率r的良好估計。相應的阻尼比r，的估計可用2-32-4模態(tài)檢測是根據(jù)頻域中的模態(tài)模型對復模態(tài)（或?qū)嵞B(tài)）

5、向量進行局部估計的一種單自由度方法。在h j則單個頻響函數(shù)在r處的值近似為:Qr 1r jrHtj j r -:一j rr j rQrURLR中略去剩余項Qr 1r jrA1 jr2-5半功率點法得到。設(shè)!和2分處在阻尼固有頻率的兩側(cè)（1< r< 2）,則:H j rH J i H j 2 =-1111422 1r2 r2、模態(tài)檢測由此式可見，頻響函數(shù)在r處的值乘以模態(tài)阻尼因r，就是留數(shù)（的估計值如圖1。利用這種模態(tài)檢測方法之前，先要估計出圖1對頻響應函數(shù)的幅值進行峰值和模態(tài)檢測3、圓擬合圓擬合是一種單自由度方法，用頻域中的模態(tài)模型對系統(tǒng)極點和復模態(tài)（或?qū)嵞B(tài)）向量進行局部估計。此

6、方法依據(jù)事實是：單自由度系統(tǒng)的速度頻響函數(shù)（速度對力）在奈奎斯特圖（即實部對虛部）上呈現(xiàn)為一個圓。如果r附近，頻響函數(shù)把其他模態(tài)的影響近似為一個復常數(shù)，那么在共振頻率的基本公式為：Htj jU jVjR j12-6因此，首先要選擇共振頻率附近的一組頻率響應點，通過這些點擬合 成一個圓。阻尼固有頻率r可以看成是復平面上數(shù)據(jù)點之間角度變化率最 大（角間隔最大）的那個點的頻率，也可以看成是相位角與圓心的相位角最 為接近的那個數(shù)據(jù)點的頻率。 對于分得幵的模態(tài)而言，二者的差別是很小 阻尼比r估計如下：r2-7式中1，2 :分居在r兩側(cè)的兩個頻率點：1，2 :分別為頻率點在 1和2得半徑與r得半徑之間的夾

7、角。r ta n 1 2tan 2 2圓的直徑和阻尼固有頻率點的角位置含有復留數(shù)U+jV的信息:2-8式中：圓的直徑:園心與固有頻率點的連線跟虛軸之間的夾角.圓擬合法速度也很快，但為避免結(jié)果出錯，特別是在模態(tài)節(jié)點附近, 需要操作者參與。（二）單自由度與多自由度系統(tǒng)粘性阻尼單自由度SDOF系統(tǒng)如圖2的力平衡方程式表示慣性力、 阻尼力、彈性力與外力之間的平衡圖2單自由度系統(tǒng)2-9Hp二亠p2 C/M p K/M2-10Mx t Cx t Kx t其中M :質(zhì)量C:阻尼K： xxx :加速度，速度，位移f :外力t時間變 量，把結(jié)構(gòu)中所呈現(xiàn)出來的全部阻尼都近似為一般的粘性阻尼。把上面的時間域方程變換

8、到拉氏域復變量P，并假設(shè)初始位移和初始速度為零，則得到拉氏域方程：Mp2 Cp K F p，或Z p XZ:動剛度經(jīng)過變換可得傳遞函數(shù)的定義，H p Z 1 p即X p上式右端的分母叫做系統(tǒng)特征方程，它的根即是系統(tǒng)的極點是:1,2 C/ 2M V C/2M 2 K /M2-11如果沒有阻尼C=0 ,則所論系統(tǒng)是保守系統(tǒng)。我們定義系統(tǒng)的無阻尼固有頻率為:2-41 K/M臨界阻尼Cc的定義為使（2.3 ）式中根式項等于零的阻尼值:2-5而臨界阻尼分數(shù)或阻尼比z 1為：Z二CCc，阻尼有時也有用品質(zhì)因數(shù)即Q因數(shù)表示:Q 1/ 2 12-6系統(tǒng)按阻尼值的大小可以分成過阻尼系統(tǒng)（Z 1>1 ）、臨

9、界阻尼系統(tǒng)（Z 1=1 ）和欠阻尼系統(tǒng)（z 1<1 ）。過阻尼系統(tǒng)的響應只含有衰減成分、沒有振 蕩趨勢。欠阻尼系統(tǒng)的響應時一種衰減振動，而臨界阻尼系統(tǒng)則是過阻尼 系統(tǒng)與欠阻尼系統(tǒng)之間的一種分界。實際系統(tǒng)的阻尼比很少有大于 10%的，除非這些系統(tǒng)含有很強的阻尼 機制，因此我們只研究欠阻尼的情形。在欠阻尼的情況下式2-11兩個共軛復根：*11 j 1，11 j 12-7其中1為阻尼因子1為阻尼固有頻率。有關(guān)系統(tǒng)極點的另外一些關(guān)系式有:2-2式寫成如下形式:1/M在展幵成部分分式形式，則有:*H p &，這里A1p 1 p 11/Mj2 12-82-92-102-112-122-13這

10、里的A和A是留數(shù)。多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)可以用簡單的力平衡代數(shù)方程演化成形式相似的一個矩陣的方程。下面是以而自由度系統(tǒng)為例。如圖：£1 Jtl*)-W一JL ) L J5, (J 壬圖3多自由度系統(tǒng)該系統(tǒng)的運動方程如下:M1 xCC2 x tC2X2 tK1K2% tK2x2 tf1 t2-14M 2X2C2C3 X2 tC2X1 tK2 K3 X2 tK2x-! tf2 t寫成矩陣形式是M10 x1G C2C2%K1 K2K2Xf10 M2x2C2C2C3X2K2K2 K3X2f22-15或者Mx C xK xf2-16其中M、C、K、f(t)和x(t)分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、

11、剛度矩陣、方向量和響應向量。把這個時間域的矩陣方程變換到拉氏域(變量為p)且假定初始位移和初始速度為零，則得：2p M p C K X p F p2-17或者是 Z p X p F p 式中：Z(p)動剛度矩陣 2-18可以得到傳遞函數(shù)矩陣為:2-19HP Z p 1 adj Z p式中 adj Z p : Z p的伴隨矩陣，等于ij乙iijZij : Z p去掉第行第列后的行列式ij1 如果i j等于偶數(shù)1 如果i j等于奇數(shù)；傳遞函數(shù)矩陣含有幅值函數(shù)。2-19式中的分母，即是 Z p的韓烈士,叫做系統(tǒng)的特征方程。與單2-17 轉(zhuǎn)自由度情況一樣，系統(tǒng)特征方程的根，即系統(tǒng)極點，決定系統(tǒng)的共振頻

12、率。根據(jù)特征值問題，可以求出系統(tǒng)特征方恒的根。為了把系統(tǒng)方程 化為一般的特征值問題公式，加入下面的恒等式：p M p M X 02-20將此式與2-17式結(jié)合在一起得：p A B YF'2-210MM0其中A，BMC0K ，p Xl'0Y，F(xiàn)0XF如果力函數(shù)等于零，那么式2-19就成了關(guān)于實值矩陣的一般特征值問 題，其特征值馬祖下列方程的p值：p A B 02-22它的根就是特征方程|z p| 0的根。對于N各自由度系統(tǒng)，此方程有2N個呈復共軛對出現(xiàn)的特征根:11 J 12-230NN J N11 J 10 0Nr是阻尼因子，虛同單自由度系統(tǒng)一樣，多自由度系統(tǒng)的極點的實部部r是

13、阻尼固有頻率。（三）實模態(tài)和復模態(tài)按照模態(tài)參數(shù)（主要指模態(tài)頻率及模態(tài)向量）是實數(shù)還是復數(shù)，模態(tài)可以分為實模態(tài)和復模態(tài)。對于無阻尼或比例阻尼振動系統(tǒng)，其各點的振動相位差為零或180度，其模態(tài)系數(shù)是實數(shù)，此時為實模態(tài)；對于非比例 阻尼振動系統(tǒng)，各點除了振幅不同外相位差也不一定為零或180度，這樣模態(tài)系數(shù)就是復數(shù)，即形成復模態(tài)。1 復模態(tài)與實模態(tài)理論在擬合頻段，實模態(tài)理論中傳遞函數(shù)在 k點激勵Z點響應的留數(shù)表達式 為Hkir Rkl r 1 2，r2VreJ2arcta nk,l 1,2, n(1)其中，rRkl為留數(shù)；r和Vr構(gòu)成的復數(shù)為系統(tǒng)的復特征值擬合頻段復模態(tài)理論中傳遞函數(shù)在k點激勵f點響應

14、的留數(shù)表達式為Hki()r 1 2J r JVrr Rkl ej r2ejVrarcta nk,l 1, n由（1 ）、（ 2）式中可以看出，傳遞函數(shù)共振峰處復模態(tài)的相位與實模態(tài)相 位的差別在于多出的復留數(shù)相位r，由傳遞函數(shù)的逆變換可以得到脈沖響應函數(shù)，由此可以得到物理坐標系中結(jié)構(gòu)的自由響應表達式。對于無阻尼結(jié)構(gòu),t時刻第r階模態(tài)k點的振動為krY sinrt r(3 )粘性比例阻尼：t時刻第r階模態(tài)k點的振動為XkrkrYrert Sin drt (4 )般粘性阻尼：t時刻第r階模態(tài)k點的振動為mrtXkr2Tr kre COS drt r kr式中，© kr表示振型幅值；Q表示模

15、態(tài)頻率；。表示相位角可以看出，無阻尼和比例阻尼系統(tǒng)的初相位與初始條件有關(guān)，與物 理坐標無關(guān)， 具有模態(tài)（振型）保持性； 而一般粘性阻尼系統(tǒng)的初相位還與物理坐標k有關(guān)，每個物理坐標振動時并不同時達到平衡位置和最大位置， 不具備模態(tài)保持性，是行波形式.但各物理坐標的相位差保持不變，各點的振動周期、 衰減率仍保持相同J.從物理坐標點的自由響 應公式還可看出，即使各測點留數(shù)為復數(shù)，但如果留數(shù)的相位差，即振型的幅角相同，那么還是可以得到振動周期形狀不變且節(jié)點固定的振型.這樣模態(tài)雖是復模態(tài)，但表現(xiàn)出實模態(tài)的性質(zhì).因此實模態(tài)理論的 實振型與復模態(tài)理論中復模態(tài)的差別在于各測點峰值相位差的大小.2實模態(tài)提取方法

16、復模態(tài)理論中模態(tài)參數(shù)（特征值和特征向量）均為復數(shù)， 在進行結(jié)構(gòu) 模型修正時大量采用復數(shù)矩陣和復數(shù)迭代運算，計算工作量大，效率低;實模態(tài)理論中模態(tài)參數(shù)為實數(shù)，物理概念明確，后續(xù)結(jié)構(gòu)模型修正計算公 式簡單，計算工作量小又節(jié)約空間，故實模態(tài)得到廣泛的應用，實際測試 得到的傳遞函數(shù)留數(shù)一般都為復數(shù)，要由復模態(tài)經(jīng)過實模態(tài)提取技術(shù)才能 得到實模態(tài)。復模態(tài)提取實模態(tài)的方法主要有：根據(jù)復模態(tài)的實部、虛部 或相位確定實模態(tài)的傳統(tǒng)方法；I b r a h i m 的 擴大模型法； Chen的 傳遞函數(shù)提取法等。目前的模態(tài)分析軟件中普遍使用的為傳統(tǒng)方法。由復 模態(tài)實部或虛部獲得實模態(tài)向量的方法為：直接取復留數(shù)的實部

17、或虛部作 為實模態(tài)理論中的留數(shù)，進行規(guī)格化得到實模態(tài)振型.由復模態(tài)相位獲得實模態(tài)向量的方法為：取復留數(shù)的幅值作為實模態(tài)理論中的留數(shù)，根據(jù)sin r的數(shù)值接近1或-1，將留數(shù)相位歸為90 °或-90。，然后盡享振型規(guī)格化，得到實模態(tài)振型，此振型中各測點相位差 即為0?；?0。用復模態(tài)理論獲得的復模態(tài)向量，由復振型的周期變化中t=0即振動達到最大幅度時的振幅之比表示。三、模態(tài)分析的應用與發(fā)展模態(tài)分析技術(shù)的應用可歸結(jié)為以下幾個方面：1）評價現(xiàn)有結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動態(tài)特性；2）在新產(chǎn)品設(shè)計中進行結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的預估和優(yōu)化設(shè)計；3）診斷及預報結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的故障；4）控制結(jié)構(gòu)的輻射噪聲；5）識別結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的載荷

18、。對于實際的工程，用有限元軟件分析需要的頻率段， 可查找振動原因, 或校核。模態(tài)分析可以看出在那些頻率段需要防止或避免共振時很有用。首先，頻率和振型是結(jié)構(gòu)的固有特性，任何結(jié)構(gòu)都可以進行模態(tài)分析；其次，結(jié)構(gòu)的功能是不同的，不同結(jié)構(gòu)對應的模態(tài)分析的用途是有差別的。 對建筑結(jié)構(gòu)，模態(tài)分析可以知道結(jié)構(gòu)的避頻設(shè)計、用于抗震設(shè)計計算以及 考慮動力荷載的放大作用等。另外，還可以挖掘振型有關(guān)的信息。機器、建筑物、航天航空飛行器、船舶、汽車等的實際振動千姿百態(tài)、 瞬息變化。模態(tài)分析提供了研究各種實際結(jié)構(gòu)振動的一條有效途徑。首先，將結(jié)構(gòu)物在靜止狀態(tài)下進行人為激振，通過測量激振力與胯動 響應并進行雙通道快速傅里葉變

19、換(FFT)分析，得到任意兩點之間的機械導納函數(shù)(傳遞函數(shù))。用模態(tài)分析理論通過對試驗導納函數(shù)的曲線擬 合，識別出結(jié)構(gòu)物的模態(tài)參數(shù)，從而建立起結(jié)構(gòu)物的模態(tài)模型。根據(jù)模態(tài) 疊加原理，在已知各種載荷時間歷程的情況下，就可以預言結(jié)構(gòu)物的實際 振動的響應歷程或響應譜。模態(tài)分析軟件以美國的ME ' ScopeVES的功能最為全面。ME 'ScopeVES軟件的功能包括信號處理(signal Process ing)、運行撓曲振型 (OperatingDeflection Shapes)、模態(tài)分析(Modal Analysi s)、結(jié)構(gòu)改正(SDM)和聲學分析(Acoustics Anal

20、ysi S) 等，解決和分析機器與結(jié)構(gòu)的振 動噪聲問題。主要可用于：1、可以顯示被測物體的實際工作形態(tài) (0DS)、模態(tài)、聲學分布形態(tài)和 工程數(shù)據(jù)的形態(tài)等；2、模塊化結(jié)構(gòu)便于用戶根據(jù)自己的需要選擇合適的產(chǎn)品;3、強大的圖形顯示、結(jié)構(gòu)編輯、數(shù)據(jù)處理及動畫顯示功能；4、軟件的幵放性好，能夠與全球的多家廠商的硬件兼容；5、主要應用的領(lǐng)域：航空航天、建筑橋梁、汽車制造、鋼鐵冶金、 軍工裝備等。模態(tài)分析與參數(shù)辨識作為結(jié)構(gòu)動力學中的一種逆問題分析方法并在 工程實踐中應用是從60年代中、后期幵始，至今已有近四十年的歷史了。 這一技術(shù)首先在航空、宇航及汽車工業(yè)中幵始發(fā)展。由于電子技術(shù)、信號 處理技術(shù)與設(shè)備的發(fā)

21、展，到 80年代末這項技術(shù)已成為工程中解決結(jié)構(gòu)動 態(tài)性能分析、振動與噪聲控制、故障診斷等問題的重要工具。目前這一技 術(shù)已漸趨成熟。經(jīng)過二十余年的研究發(fā)展，到目前為止模態(tài)分析技術(shù)已在 我國各個工程領(lǐng)域中廣泛應用，成為一種解決工程問題的重要手段。在工程應用方面模態(tài)分析已滲透到我國各個工程領(lǐng)域，并取得了不少 成就。例如，某型火箭全裝置的實物模態(tài)試驗保證了火箭的準確發(fā)射與導 航，防止了發(fā)射的失??；模態(tài)分析與參數(shù)識別技術(shù)曾被成功地用于解決某 型航空發(fā)動機的嚴重振動故障，取得重大經(jīng)濟及社會效益；某型魚雷全裝 置實物水下模態(tài)試驗為魚雷的振動與噪聲控制確保導航性能提供了技術(shù) 依據(jù)；遠東第一高塔的上方明珠電視塔的振動模態(tài)試驗，為高塔的抗風抗 地震安全性設(shè)計提供了技術(shù)依據(jù)；目前世界上跨度第一的斜拉索浦大橋的 振動試驗對大橋抗風振動的安全性分析與故障診斷提供了技術(shù)依據(jù)；建立