基本求導(dǎo)積分公式

1、1基本求導(dǎo)公式(C )0（ C為常數(shù)）( xn )nxn 1 ；一般地， ( x )x 1 。特別地： ( x)2)1)1， (x )11 ， ( x2x ， (x22 x。x(ex )ex ；一般地， (a x )a xln a (a0, a1) 。(ln x)1x)1(a0, a1) 。；一般地， (log ax ln ax2求導(dǎo)法則 四則運(yùn)算法則設(shè)f(x)， () 均在點(diǎn)x可導(dǎo)，則有：（）( f ( x)g (x)f (x) g (x)；g x（） ( f ( x) g(x)f ( x)f（）()g( x)f (x)g( x)f ( x) g ( x) ，特別(x)g( x)2f (x)

2、 g (x) , ( g (x)g ( x)(Cf ( x)Cf( x) （ C為常數(shù)）；0) ，特別1g (x)()。g(x)g2( x)3微分函數(shù) yf ( x) 在點(diǎn) x 處的微分： dyy dxf (x)dx4、 常用的不定積分公式x dx1x 1C (1),dxx c,xdxx 2c,x 2 dxx3（1）x4123 ；x3 dxc4（2）1 dxln | x | C ； ex dxexC ；a x dxa xC (a0, a1) ；xln a（ 3） kf ( x) dx k f (x)dx （ k 為常數(shù)）5、定積分bF ( a)f ( x)dx F (x) |ba F (b)a

3、bbbf (x) k2 g(x)dxk1 af ( x)dxk2 ag (x)dxa k1 分部積分法設(shè) u( x) ， v( x) 在 a， b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u (x), v ( x) ，則bbba u( x) dv( x)u(x)v(x) aa v( x)du( x)6、線性代數(shù)1特殊矩陣的概念100（1）、零矩陣 O2 200010二階I221000, （2）、單位矩陣 I n0,1001(3) 、對(duì)角矩陣 A(5) 、上三角形矩陣(6) 、矩陣轉(zhuǎn)置 Aa1000a20(4) 、對(duì)稱矩陣 aij000ana11a12a1nA0a22a2n下三角形矩陣000anna11a12a1na11a

4、21a22a2n轉(zhuǎn)置后 ATa12an1an 2anna1n212a ji , A135257a1000a20A00 0ana21an1a22an 2a2 nann6、矩陣運(yùn)算ABa befaebfcdghcgdhabefaebgafbhABdghcedgcfdhc7、 MATLAB軟件計(jì)算題例 6 試寫出用 MATLAB軟件求函數(shù) yln(xx2ex ) 的二階導(dǎo)數(shù) y 的命令語句。解： >>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x+x2)+exp(x);>>dy=diff(y,2)例： 試寫出用 MATLAB軟件求函數(shù)y

5、ln(xex ) 的一階導(dǎo)數(shù)y 的命令語句。>>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x)+exp(x);>>dy=diff(y)例 1121x3試寫出用 MATLAB軟件計(jì)算定積分edx 的命令語句。1x解： >>clear;>>syms x y;>>y=(1/x)*exp(x3);2>>int(y,1,2)例 試寫出用MATLAB軟件計(jì)算定積分1 ex3 dx 的命令語句。x解： >>clear;>>syms x y;>>y=(1/x)*

6、exp(x3);>>int(y)MATLAB軟件的函數(shù)命令表 1 MATLAB軟件中的函數(shù)命令函數(shù)xaxexln xlg xlog 2xxMATLABx asqrt ( x)exp(x)log( x)log 10( x)log 2(x)abs( x)運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算符+-*/功能加減乘除乘方典型例題例 1 設(shè)某物資要從產(chǎn)地 A1，A2，A3 調(diào)往銷地 B1， B2， B3， B4，運(yùn)輸平衡表（單位：噸）和運(yùn)價(jià)表（單位：百元 / 噸）如下表所示：運(yùn)輸平衡表與運(yùn)價(jià)表銷地BBB供應(yīng)量BBBBB12341234產(chǎn)地A17311311A419282A3974105需求量365620（ 1）用最小

7、元素法編制的初始調(diào)運(yùn)方案，（ 2）檢驗(yàn)上述初始調(diào)運(yùn)方案是否最優(yōu)，若非最優(yōu)，求最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案，并計(jì)算最低運(yùn)輸總費(fèi)用。解：用最小元素法編制的初始調(diào)運(yùn)方案如下表所示：運(yùn)輸平衡表與運(yùn)價(jià)表銷地BBBB供應(yīng)量BBBB產(chǎn)地12341234A4373113111A23141928A363974105需求量3656203找空格對(duì)應(yīng)的閉回路，計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)：111，12 1，22 0，242已出現(xiàn)負(fù)檢驗(yàn)數(shù)，方案需要調(diào)整，調(diào)整量為1調(diào)整后的第二個(gè)調(diào)運(yùn)方案如下表：運(yùn)輸平衡表與運(yùn)價(jià)表銷地BBBB供應(yīng)量BBBB產(chǎn)地12341234A5273113111A23141928A363974105需求量365620求第二個(gè)調(diào)運(yùn)方案的檢

8、驗(yàn)數(shù)：111已出現(xiàn)負(fù)檢驗(yàn)數(shù)，方案需要再調(diào)整，調(diào)整量為2調(diào)整后的第三個(gè)調(diào)運(yùn)方案如下表：運(yùn)輸平衡表與運(yùn)價(jià)表銷地B1B2B3B4供應(yīng)量B1B2B3B4產(chǎn)地A1257311311A21341928A639741053需求量365620求第三個(gè)調(diào)運(yùn)方案的檢驗(yàn)數(shù)：12 2，14 1，22 2，23 1，31 9，33 12所有檢驗(yàn)數(shù)非負(fù)，故第三個(gè)調(diào)運(yùn)方案最優(yōu)，最低運(yùn)輸總費(fèi)用為：2 × 3 5× 3 1× 13× 8 6× 4 3×5 85（百元）例 2 某物流公司下屬企業(yè)經(jīng)過對(duì)近期銷售資料分析及市場預(yù)測得知，該企業(yè)生產(chǎn)的甲、乙、丙三種產(chǎn)品，均為市

9、場緊俏產(chǎn)品，銷售量一直持續(xù)上升經(jīng)久不衰。今已知上述三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品原材料消耗定額分別為4 公斤、 4 公斤和 5 公斤；三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品所需工時(shí)分別為 6 臺(tái)時(shí)、 3 臺(tái)時(shí)和 6 臺(tái)時(shí)。另外，三種產(chǎn)品的利潤分別為400 元 / 件、250 元 / 件和 300元/ 件。由于生產(chǎn)該三種產(chǎn)品的原材料和工時(shí)的供應(yīng)有一定限制，原材料每天只能供應(yīng)180公斤，工時(shí)每天只有150 臺(tái)時(shí)。1試建立在上述條件下，如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使企業(yè)生產(chǎn)這三種產(chǎn)品能獲得利潤最大的線性規(guī)劃模型。2. 寫出用 MATLAB軟件計(jì)算該線性規(guī)劃問題的命令語句。解： 1、設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品分別為x件、 x件和 x件，顯然x

10、， x， x0123123線性規(guī)劃模型為4max S400x1250x2300x34x14x25x31806x13x26x3150x1， x2， x302解上述線性規(guī)劃問題的語句為：>>clear;>>C=-400 250 300;>>A=4 4 5;6 3 6;>>B=180;150;>>LB=0;0;0;>>X,fval,exitflag=linprog(C,A,B,LB)1012110例3已知矩陣 A41 ， C，求： ABC T01，B1221110211010112111解：AB C1412610263021 1

11、例 4 設(shè) y (1 x2)ln x，求： y解： y(1 x2 ) ln x(1x 2 )(ln x)2xln x 1 x2x例 5ex設(shè) y，求： y1x解： y(ex ) (1x)ex (1x)xex(1x)2(1x) 2例 7 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為 2 萬元，每多生產(chǎn) 1 百臺(tái)產(chǎn)品， 總成本增加 1 萬元，銷售該產(chǎn)品 q 百臺(tái)的收入為 R( q) 4q 0.5 q2（萬元）。當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤最大？最大利潤為多少？解： 產(chǎn)量為 q 百臺(tái)的總成本函數(shù)為：C( q) q2利潤函數(shù)L(q) ()() 0.5 23 2R qC qqq令 ML( q) q 3 0得唯一駐點(diǎn)q 3（百臺(tái)

12、）故當(dāng)產(chǎn)量 q 3 百臺(tái)時(shí)，利潤最大，最大利潤為L (3) 0.5 ×323×3 2 2.5 （萬元）例 8 某物流企業(yè)生產(chǎn)某種商品， 其年銷售量為 1000000 件，每批生產(chǎn)需準(zhǔn)備費(fèi)1000 元，而每件商品每年庫存費(fèi)為0.05 元，如果該商品年銷售率是均勻的，試求經(jīng)濟(jì)批量。解： 庫存總成本函數(shù)C ( q)q100000000040q5令 C ( q)110000000000 得定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)q 200000 件。40q2即經(jīng)濟(jì)批量為200000 件。13ex )dx例 9計(jì)算定積分：( x01x12x15解：0 (x 3e )dx ( x3e )|03e22例 10

13、322) dx計(jì)算定積分：(x1x32 )dx( 1 x3326解：1(x 22 ln | x |)|12ln 3x33教學(xué)補(bǔ)充說明1.對(duì)編程問題，要記住函數(shù)ex， ln x，x 在 MATLAB軟件中相應(yīng)的命令函數(shù)exp(x) ，log(x)， sqrt(x) ；2 對(duì)積分問題，主要掌握積分性質(zhì)及下列三個(gè)積分公式：xa dx1 xa 1c （a 1）a1exdxexc1ln | x | cdxx07.記住兩個(gè)函數(shù)值：e 1， ln 1 0。模擬試題一、單項(xiàng)選擇題： （每小題4 分，共20 分）1.若某物資的總供應(yīng)量（C）總需求量，可增設(shè)一個(gè)虛銷地，其需求量取總供應(yīng)量與總需求量的差額，并取各產(chǎn)

14、地到該銷地的單位運(yùn)價(jià)為0，則可將該不平衡運(yùn)輸問題化為平衡運(yùn)輸問題。(A)等于(B)小于(C)大于(D)不超過2某物流公司有三種化學(xué)原料A1，A2，A3。每公斤原料A1 含 B1， B2， B3 三種化學(xué)成分的含量分別為 0.7 公斤、 0.2公斤和0.1 公斤；每公斤原料 A含 B ， B ，B 的含量分別為 0.12123公斤、 0.3公斤和 0.6公斤；每公斤原料A 含 B ，B ，B 的含量分別為0.3 公斤、 0.4公斤3123和 0.3 公斤。每公斤原料A1， A2， A3 的成本分別為500 元、 300 元和 400 元。今需要 B1 成分至少 100 公斤， B2 成分至少50

15、 公斤， B3 成分至少80 公斤。為列出使總成本最小的線性規(guī)劃模型，設(shè)原料A ， A ， A 的用量分別為 x公斤、 x2公斤和 x公斤，則目標(biāo)函數(shù)為（ D）。12313(A) maxS 500x1 300x2400x3(B) minS 100x1 50x2 80x3(C) maxS 100x1 50x2 80x3(D) minS 500x1 300x2 400x33.設(shè) A12,B124x7x，并且 A B，則 x（ C）。7(A) 4(B) 3(C) 2(D) 14設(shè)運(yùn)輸某物品 q 噸的成本（單位：元）函數(shù)為C( q) q2 50q2000 ，則運(yùn)輸該物品100 噸時(shí)的平均成本為（A）元

16、/噸。(A) 170(B) 2506(C) 1700(D) 170005.已知運(yùn)輸某物品q 噸的邊際收入函數(shù)為MR( q) ，則運(yùn)輸該物品從100 噸到 300 噸時(shí)的收入增加量為（D）。(A)300( ) d(0)(B)100CMR(q)dq100MR qq300(C)MR(q)dq(D)300MR(q)dq100二、計(jì)算題： （每小題7 分，共21 分）10121106已知矩陣A，B41， C，求： AB C01212111012110101020解： ABC4101212611273117.設(shè)yln x，求： y1x 3(ln x)(1x3 )(ln x)(1x3 )1 x33x2ln

17、x解： yx(1x3 ) 2(1x3 ) 28.12ex )dx計(jì)算定積分：( x30解：13x14x 172e )dx ( x2e )|02e0 ( x44三、編程題： （每小題6 分，共12 分）9.試寫出用MATLAB軟件求函數(shù)y ln(xx2ex ) 的二階導(dǎo)數(shù)y 的命令語句。解： >>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x+x2)+exp(x);>>dy=diff(y,2)10. 試寫出用 MATLAB軟件計(jì)算定積分1xe xdx 的命令語句。0解： >>clear;>>syms x y;

18、>>y=x*exp(sqrt(x);>>int(y,0,1)四、應(yīng)用題 （第 11、 12 題各 14分，第 13 題 19 分，共 47 分）11. 某物流企業(yè)生產(chǎn)某種商品，其年銷售量為 1000000 件，每批生產(chǎn)需準(zhǔn)備費(fèi)1000 元，而每件商品每年庫存費(fèi)為0.05 元，如果該商品年銷售率是均勻的，試求經(jīng)濟(jì)批量。解： 庫存總成本函數(shù)C(q)q100000000040q110000000000得定義域內(nèi)的惟一駐點(diǎn)q200000 件。令 C (q)q240即經(jīng)濟(jì)批量為200000 件。712. 某物流公司下屬企業(yè)經(jīng)過對(duì)近期銷售資料分析及市場預(yù)測得知，該企業(yè)生產(chǎn)的甲、乙、

19、丙三種產(chǎn)品，均為市場緊俏產(chǎn)品，銷售量一直持續(xù)上升經(jīng)久不衰。今已知上述三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品原材料消耗定額分別為4 公斤、 4 公斤和 5 公斤；三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品所需工時(shí)分別為 6 臺(tái)時(shí)、 3 臺(tái)時(shí)和 6 臺(tái)時(shí)。另外，三種產(chǎn)品的利潤分別為400 元 / 件、250 元 / 件和 300元/ 件。由于生產(chǎn)該三種產(chǎn)品的原材料和工時(shí)的供應(yīng)有一定限制，原材料每天只能供應(yīng)180公斤， 工時(shí)每天只有150 臺(tái)時(shí)。 試建立在上述條件下，如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使企業(yè)生產(chǎn)這三種產(chǎn)品能獲得利潤最大的線性規(guī)劃模型，并寫出用MATLAB軟件計(jì)算該線性規(guī)劃問題的命令語句。解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品分別為x1 件、 x2 件和

20、 x3 件，顯然 x1，x2， x3 0線性規(guī)劃模型為max S400x1250x2300x34x14x25x31806x13x26x3150x1， x2， x30解上述線性規(guī)劃問題的語句為：>>clear;>>C=-400 250 300;>>A=4 4 5;6 3 6;>>B=180;150;>>LB=0;0;0;>>X,fval,exitflag=linprog(C,A,B,LB)線性規(guī)劃習(xí)題1.某物流公司下屬企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，要用A， B，C 三種不同的原料，從工藝資料知道：每生產(chǎn)一件產(chǎn)品甲，需用三種原料分別

21、為1，1，0 單位；生產(chǎn)一件產(chǎn)品乙，需用三種原料分別為1，2，1 單位。每天原料供應(yīng)的能力分別為6，8，3 單位。又知，銷售一件產(chǎn)品甲，企業(yè)可得利潤3 萬元； 銷售一件產(chǎn)品乙，企業(yè)可得利潤4 萬元。試寫出能使利潤最大的線性規(guī)劃模型，并用MATLAB軟件計(jì)算（寫出命令語句，并用MATLAB軟件運(yùn)行）。解：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x1 噸，乙產(chǎn)品 x2 噸。線性規(guī)劃模型為：max S3x14x 2x1x26x12x28x23x1 , x20用 MATLAB軟件計(jì)算該線性規(guī)劃模型的命令語句為：>> clear;>> C=-3 4;>> A=1 1;1 2;0 1;>&g

22、t; B=6;8;3;>> LB=0;0;8>> X,fval=linprog(C,A,B,LB)2. 某物流公司有三種化學(xué)產(chǎn)品A1，A2，A3 都含有三種化學(xué)成分 B1，B2， B3，每種產(chǎn)品成分含量及價(jià)格 ( 元 / 斤) 如下表，今需要B1 成分至少100 斤， B2 成分至少50 斤， B3 成分至少80 斤，試列出使總成本最小的線性規(guī)劃模型。相關(guān)情況表產(chǎn)品含量每斤產(chǎn)品的成分含量成分A1A2A3B10.70.10.3B0.20.30.42B20.10.60.3產(chǎn)品價(jià)格 ( 元/ 斤)500300400解：設(shè)生產(chǎn) A1 產(chǎn)品 x1公斤 ,生產(chǎn) A2產(chǎn)品 x2 公斤

23、 , 生產(chǎn) A3 產(chǎn)品 x3 公斤 ,min S500x1300x2400x30.7x10.1x20.3x31000.2x1 0.3x20.4x3500.1x10.6x20.3x380x1 , x2 , x303. 某物流企業(yè)下屬家具廠生產(chǎn)桌子和椅子，產(chǎn)品的銷路挺好。生產(chǎn)每張桌子的利潤為12 元，每張椅子的利潤為10 元。生產(chǎn)每張桌子在該廠的裝配中心需要10 分鐘，在精加工中心需要20 分鐘；生產(chǎn)每張椅子在裝配中心需要14 分鐘，在精加工中心需要12 分鐘。該廠裝配中心一天可利用的時(shí)間不超過1000 分鐘，精加工中心一天可利用的時(shí)間不超過880分鐘。假設(shè)生產(chǎn)桌子和椅子的材料能保證供給。試寫出使

24、企業(yè)獲得最大利潤的線性規(guī)劃模型，并用 MATLAB軟件計(jì)算（寫出命令語句，并用MATLAB軟件運(yùn)行出結(jié)果）解：設(shè)生產(chǎn)桌子x1 張，生產(chǎn)椅子x2 張max S12 x110x210 x114x2100020x112x2880x1 , x20MATLAB 軟件的命令語句為：>> clear;>> C=-12 10;>> A=10 14; 20 12;>> B=1000 ； 880;>> LB=0;0;>> X,fval=linprog(C,A,B,LB)4、某物流企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品分別需要A,B,C,D 四種不同的機(jī)床加工，這四種機(jī)床