高級數(shù)字信號處理大作業(yè) 2016.

1、高級數(shù)字信號處理大作業(yè) 學(xué) 院 專 業(yè) 學(xué) 號 學(xué)生姓名 2016年 月 日1.仿真題目For this computer experiment involving the LMS algorithm, use a first-order, autoregressive (AR) process to study the effects of ensemble averaging on the transient characteristics of the LMS algorithm for real data.Consider an AR process of order one, des

2、cribed by the difference equationwhere is the (one and only) parameter of the process and is a zero-mean white-noise process of variance . To estimate the parameter , use an adaptive predictor of order one, as depicted in Fig. P4.Given different sets of AR parameters, fixed the step-size parameter,

3、and the initial condition . ·Please plot the transient behavior of weight including the single realization and ensemble-averaged result. ·The transient behavior of the squared prediction error. ·Draw the experimental learning curves, what is the result when the step-size parameter is

4、reduced.2.題目分析已知滿足一階AR過程，其差分方程為 （2-1）這里a是這個過程的參數(shù)，是零均值，方差為的白噪聲。為了估計參數(shù)a,我們使用一階自適應(yīng)預(yù)測器，初始值，自適應(yīng)算法采用LMS算法。預(yù)測器抽頭權(quán)值的LMS自適應(yīng)算法形式為 （2-2）其中 （2-3）是預(yù)測誤差。題目要求我們用計算機(jī)對一階AR過程隨機(jī)信號的LMS濾波進(jìn)行仿真，通過繪制不同過程參數(shù)情況下，單一實現(xiàn)和集平均時一階自適應(yīng)預(yù)測器權(quán)值和平方預(yù)測誤差的瞬態(tài)特性圖，來研究實時數(shù)據(jù)集平均對LMS算法瞬態(tài)特性的影響。最后，繪出不同步長因子情況的學(xué)習(xí)曲線圖后，分析學(xué)習(xí)曲線在步長因子減小情況下的變化情況。仿真的目的是通過計算機(jī)仿真來研

5、究輸入到LMS濾波器的信號參數(shù)、步長因子對LMS算法性能的影響。因此在仿真實驗中需要改變題目中的AR參數(shù)a和步長因子，并對實驗得到的權(quán)系數(shù)和均方誤差的瞬態(tài)特性進(jìn)行分析，來獲得這些因素對LMS算法性能的影響情況。3.仿真原理（1）. LMS算法LMS（Least-Mean-Square）又稱最小均方算法是自適應(yīng)濾波器中常用的一種算法，與維納算法不同的是，其系統(tǒng)的系數(shù)是隨輸入序列而改變的。維納算法中截取輸入序列自相關(guān)函數(shù)的一段構(gòu)造系統(tǒng)的最佳系數(shù)。而LMS算法則是對初始化的濾波器系數(shù)依據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則進(jìn)行不斷修正來實現(xiàn)的。因此，理論上講LMS算法的性能在同等條件下要優(yōu)于維納算法，但是LMS算法是在

6、一個初始化值的基礎(chǔ)上進(jìn)行逐步跟蹤調(diào)整得到的，這就使得系統(tǒng)在進(jìn)入穩(wěn)定之前有了一個調(diào)整的時間，這個時間受到算法步長因子的控制，在一定數(shù)值范圍內(nèi)，增大會減小調(diào)整時間，但超過這個值范圍時系統(tǒng)收效性能會降低或者不再收斂，的最大取值為的跡。LMS算法表達(dá)式：設(shè)計參數(shù)：時刻的輸入數(shù)據(jù)矢量時刻的期望響應(yīng)時刻的濾波器系數(shù)矢量系數(shù)的數(shù)目步長參數(shù)初始化： （3-1）計算：對于有 （3-2） （3-3） （3-4）（2）. 實驗數(shù)據(jù)的產(chǎn)生的方差未知，步長因子未知，這兩個需要我們自己給定。輸入數(shù)據(jù)和噪聲也沒有給出，需要我們自己產(chǎn)生。 的產(chǎn)生：由知，給定，對于的全部唯一確定。 的產(chǎn)生：由Yule-Walker方程 （3-

7、5）可以得到 （3-6）4.仿真過程（1）.實驗涉及到的各個參數(shù)條件設(shè)定如下：AR參數(shù)；步長因子0.01、0.04、0.08；高斯白噪聲的功率為；AR序列的長度為1000；實驗次數(shù)為100。（2）.仿真步驟：實驗開始先定義以上參變量。對于不同的參數(shù)、步長因子和試驗次數(shù)M分別進(jìn)行N次迭代來獲得每個點的權(quán)值系數(shù)。對于不同的參數(shù)和步長因子分別計算它們的M次集平均權(quán)值特性和均方誤差特性。繪出三幅圖，分別是該一階自適應(yīng)預(yù)測器的權(quán)值和平方誤差瞬時特性圖以及不同步長因子下的學(xué)習(xí)曲線圖。5.仿真結(jié)果通過運行附錄程序可以得出該一階自適應(yīng)預(yù)測器權(quán)值的瞬態(tài)特性圖（=0.04）如下所示：圖1 一階自適應(yīng)預(yù)測器權(quán)值的瞬

8、態(tài)特性（=0.04）圖一中，顯示了平均的學(xué)習(xí)曲線及一個實現(xiàn)，其中實線所示為某一單獨實驗中的得到的權(quán)值瞬態(tài)特性曲線，虛線表示的是在100次實驗后得到的一個平均結(jié)果。觀察兩條曲線發(fā)現(xiàn)，虛線較實線平滑。這是因為集平均實現(xiàn)采用的是100次試驗的平均處理，平滑了單一處理中梯度噪聲的影響。圖2一階自適應(yīng)預(yù)測器的平方預(yù)測誤差瞬時特性（=0.04）圖二中，是相應(yīng)的一階自適應(yīng)預(yù)測器的平方預(yù)測誤差與迭代次數(shù)的關(guān)系圖，可見，LMS算法單一實現(xiàn)的學(xué)習(xí)曲線呈現(xiàn)出嚴(yán)重的噪聲的形式，但經(jīng)總體平均后得到了一條較穩(wěn)定的曲線，即=0.04時的一階自適應(yīng)預(yù)測器的學(xué)習(xí)曲線。圖3 一階自適應(yīng)預(yù)測器的學(xué)習(xí)曲線（變步長） 在圖三中，我們可

9、以看到當(dāng)步長參數(shù)分別取0.01、0.04和0.08時均方誤差的學(xué)習(xí)曲線。圖中顯示，影響收斂速度，也影響穩(wěn)態(tài)值。當(dāng)時算法大約在100次迭代收斂，而當(dāng)時大約需要250次迭代才收斂，而前者的穩(wěn)態(tài)值要比后者的高。當(dāng)時需要700次的迭代。綜上所述隨著步長因子的減小，LMS算法就需要進(jìn)行更多的迭代才能收斂，即到達(dá)最優(yōu)點的時間越長。6.結(jié)論由以上實驗結(jié)果分析可歸納為：（1）單一實現(xiàn)的軌跡和學(xué)習(xí)曲線明顯是隨機(jī)的或是“有噪聲的”，而隨著實驗次數(shù)的增多，其平均結(jié)果趨于平滑。即總體平均有一個平滑的作用。（2）LMS算法的收斂速度依賴于步長。在允許的范圍內(nèi)值取得越大，收斂速度越快，反之步長越小，收斂速度就越慢。LMS

10、算法是一種相對簡單而性能又十分優(yōu)越的自適應(yīng)算法。在對LMS算法進(jìn)行應(yīng)用或設(shè)計的時候，我們可以用變步長方法來縮短其自適應(yīng)收斂過程，為了達(dá)到快速收斂的目的，必須選擇合適的步長因子的值，一個可能的策略是盡可能多的減少瞬時平方誤差，即用瞬時平方誤差作為均方誤差的簡單估計。LMS算法的上述特點使得LMS濾波器越來越多的應(yīng)用于更廣泛的領(lǐng)域。附 錄：clcclearN=1000; M=100; w=zeros(M,N,3,2); f=zeros(M,N,3,2);for l=1:2, if l=1 a=0.95; else a=-0.197; end; for d=1:3, if d=1 u=0.01; e

11、lse u=0.04*(d-1); end; for k=1:M, v=0.169*randn(1,N); x(1)=1; for n=2:N, x(n)=-a*x(n-1)+v(n); f(k,n,d,l)=x(n)-w(k,n,d,l)*x(n-1); w(k,n+1,d,l)=w(k,n,d,l)+u*x(n-1)*f(k,n,d,l); end end endendfor l=1:2 for d=1:3 for n=1:N, fea(n,d,l)=0; wea(n,d,l)=0; for m=1:M fea(n,d,l)=fea(n,d,l)+f(m,n,d,l)2; wea(n,d,

12、l)=wea(n,d,l)+w(m,n,d,l); end fea(n,d,l)=fea(n,d,l)/M; wea(n,d,l)=wea(n,d,l)/M; end endendn=1:N;figure(1)plot(n,w(1,n,2,1),'r-',n,wea(n,2,1),'b-',n,w(1,n,2,2),'r-',n,wea(n,2,2),'b-');title('一階自適應(yīng)預(yù)測器權(quán)值的瞬態(tài)特性（u=0.04）')xlabel('迭代次數(shù)'),ylabel('抽頭權(quán)值')

13、legend('it單一實現(xiàn)','it100次實驗集平均實現(xiàn)')text(400,-0.01,'a=-0.197')text(400,-0.8,'a=+0.95')figure(2)plot(n,f(1,n,2,1),'r-',n,fea(n,2,1),'b-');title('一階自適應(yīng)預(yù)測器的平方預(yù)測誤差瞬時特性（u=0.04）')axis(0 1000 0.001 1);xlabel('迭代次數(shù)'),ylabel('平方誤差')legend('it單次誤差','it100次重復(fù)實驗平均誤差')figure(3)semilogy(n,fea(n,1,1),'b-',n,fea(n,