求最值在圓錐曲線中的體現(xiàn)

1、求最值在圓錐曲線中的體現(xiàn)張靜最值問題的探討已經(jīng)滲透到各章節(jié)中，在圓錐曲線中的體現(xiàn)也較為明顯。常遇到面積最大最小問題，距離的最長最短問題，不定量的最大最小問題等等。實(shí)質(zhì)上與其他內(nèi)容的最值一樣，應(yīng)會(huì)從函數(shù)、方程、三角、幾何、導(dǎo)數(shù)等多個(gè)角度思考問題。下面舉例說明。一、利用圓錐曲線的對(duì)稱性求最值例1. 設(shè)AB是過橢圓中心的弦，橢圓的左焦點(diǎn)為，則F1AB的面積最大為（）A. B. C. D. 解析：如圖1，由橢圓對(duì)稱性知道O為AB的中點(diǎn)，則F1OB的面積為F1AB面積的一半。又，F(xiàn)1OB邊OF1上的高為，而的最大值是b，所以F1OB的面積最大值為。所以F1AB的面積最大值為cb。圖1點(diǎn)評(píng)：抓住F1AB中

2、為定值，以及橢圓是中心對(duì)稱圖形。二、利用圓錐曲線的參數(shù)方程求最值例2. 已知點(diǎn)P是橢圓上到直線的距離最小的點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ）A. B. C. D. 解析：將化成參數(shù)方程，設(shè)，則，其中，當(dāng)時(shí)，。此時(shí)可以取得，從而可得到。故選A。點(diǎn)評(píng)：化橢圓，利用三角函數(shù)的方法將最值轉(zhuǎn)化為角變量來確定。三、利用重要不等式求最值例3. 已知圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓心C到直線l：距離的最小值等于（ ）A. B. 2 C. D. 解析：圓C過原點(diǎn)，則。圓心C（a，b）到直線l：的距離所以圓心到直線l距離的最小值為。點(diǎn)評(píng)：抓住定值，利用重要不等式求最值，但是不要忽視等號(hào)成立的條件。四、利用圓錐曲線的定義求最值例4. 已

3、知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值是（ ）A. B. C. 2 D. 解析：由雙曲線的第一定義，得又，所以，從而由雙曲線的第二定義可得，所以。又，從而。故選B。點(diǎn)評(píng)：“點(diǎn)P在雙曲線的右支上”是銜接兩個(gè)定義的關(guān)鍵，也是不等關(guān)系成立的條件。利用這個(gè)結(jié)論得出關(guān)于a、c的不等式，從而得出e的取值范圍。五、利用幾何性質(zhì)求最值例5. 已知A（3，2）、B（4，0），P是橢圓上一點(diǎn)，則|PA|PB|的最大值為（）A. 10 B. C. D. 解析：易知A（3，2）在橢圓內(nèi)，B（4，0）是橢圓的左焦點(diǎn)（如圖2），則右焦點(diǎn)為F（4，0）。連PB，PF。由橢圓的定義知：圖2，所以。由平面幾何知