多維隨機(jī)變量及其分布

1、§ 3.3 多維隨機(jī)變量及其分布前面討論了一維連續(xù)型隨機(jī)變量,如同第二章中所討論的多維離散型隨機(jī)變量一樣,還可以討論多維連續(xù)型隨機(jī)變量,這里,我們?nèi)詮囊话愕亩嗑S隨機(jī)變量定義出發(fā)定義 3.3 設(shè)是定義在同一樣本空間上的隨機(jī)變量,則n維向量()稱為是樣本空間上的n維隨機(jī)變量或n維隨機(jī)向量.并稱n元函數(shù)是n維隨機(jī)變量()的聯(lián)合分布函數(shù),也簡(jiǎn)稱為聯(lián)合分布或分布.聯(lián)合分布函數(shù)描述函數(shù)描述了多維隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.表示笛卡兒平面上點(diǎn)的坐標(biāo),那么就表示點(diǎn)(落入任一矩形中的概率可由概率的加法性質(zhì)求得: (3.25)如同一維分布函數(shù),還可以證明二維分布函數(shù)具有下述性質(zhì):(1) 對(duì)x或y都是單調(diào)不減的;

2、(2) 對(duì)x或y都是左連續(xù)的,即有: (3.26) (3.27)(3) 對(duì)任意的x和y,有 (3.28)并且還有 (3.29)(4) 對(duì)任意的(其中,有 (3.30)滿足這四個(gè)條件的二元函數(shù)通常就稱為二元聯(lián)合分布函數(shù).如果二維隨機(jī)變量(的聯(lián)合分布函數(shù)為已知,那么它的兩個(gè)分量與的分布函數(shù)取可由求得,因?yàn)橛? (3.31)其中=同理還有 (3.32)其中=如同離散型情形,人們也稱是聯(lián)合分布的邊際分布函數(shù),或稱為邊際分布.類似于一維時(shí)的情形,下面將著重討論二維的連續(xù)型隨機(jī)變量,這就是下述的定義.定義 3.4 如果是一個(gè)聯(lián)合分布函數(shù),若存在函數(shù)使得任意的(x,y),有 (3.33)成立,則稱是一個(gè)連續(xù)

3、型的聯(lián)合分布函數(shù),并且稱其中的是的聯(lián)合概率密度函數(shù)或簡(jiǎn)稱為密度.如果二維隨機(jī)變量(的聯(lián)合分布函數(shù)是連續(xù)型分布函數(shù),就稱(是二維的連續(xù)型隨機(jī)變量.由分布函數(shù)的性質(zhì)可知,任一二元密度函數(shù)必具有下述性質(zhì):(1) (2) (3.35)反過(guò)來(lái),任意一個(gè)具有上述兩個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù),必定可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù).此外,密度函數(shù)還具有性質(zhì):(1) 若在點(diǎn)連續(xù), 是相應(yīng)的分布函數(shù),則有 (3.36)(2) 若G是平面上的某一區(qū)域,則 (3.37)例如,若這時(shí)就有 (3.38)這是與(3.35)式一至的,由此還容易求得邊際分布為 (3.39)從而可知是一個(gè)連續(xù)型分布函數(shù),相應(yīng)的密度為 (3.40)同理可知也是連續(xù)型分布函數(shù),其密度函數(shù)為 (3.41)因?yàn)槭沁呺H分布函數(shù),所以也稱為邊際分布密度.例 3.6 (略)見P122例 3.7 設(shè)二維隨機(jī)變量具有密度函數(shù)試求 (1) 常數(shù)C(2)分布函數(shù);(1) 邊際分布函數(shù)及相應(yīng)的邊際密度; 解 (1)故