高數(shù)第五版答案12

1、習題1271下列函數(shù)組在其定義區(qū)間內哪些是線性無關的？x %解 因為£=尤不恒為常數(shù) 所以x，是線性無關的X 2x解因為空=2所以X 2x是線性相關的 ex 3/解因為罕=3所以孑” 3/是線性相關的ee ”6解 因為竺=戶不恒為常數(shù)所以/是線性無關(5)cos2x sin2x解 因為刮空=tan2x不恒為常數(shù) 所以cos2x s i n2zcos2r是線性無關的(6) exl 2xex：解因為攀不恒為常數(shù) 所以/ ex無關的(7) s i n2x cos xX s i n x解 因為Sln2v =2 所以sin2x cos cosxsinx性相關的(8) e"cos2x

2、e s i n2x解因為竺沁丸n2x不恒為常數(shù)frrcos2xe si n2x 是線性無關的(9) In x xln x解因為辿不恒為常數(shù) 所以In丿nx性無關的xX s i n x是線以 e"cos2xxln x是線(10) ex ex a /?)解因為竺="枷不恒為常數(shù)所以尹eax關的2 驗證 / cos x 及 y2 s i n孑是線性無x都是方程y2y 0的解 并寫出該方程的通解 解因為cosXzCOS X0s i nX2 .s i n x02XiXi2y?y?并且2i=cots：不恒為常數(shù) 所以m cos x與昶sin x )?2是方程的線性無關解從而方程的通解為

3、yCicosx Cis i nX提示yisin xyi2cosX/2COS Xyi2s i n x3驗證yi=ex：及y2 = xex都是方程y 4xy (4x2) y 0 的解并寫出該方程的通解解因為）丫一4小；+（4妒_2）” =2-4x2“k +（4x2-2）-A* =0）弓一4勺£ +（4x2-2）y2 =6xe* +4xVv2 _4尤（討+2妒訝）+（4兀2 _2）x/ =0并且立“不恒為常數(shù)所以比=穴與y2 =力討是方程的線性無關解從而方程的通解為y = C&* +C22a2提y =y；'= 2ex +4x2ex：y"2 =ex + 2x2ev：

4、）£'=6xex2 +4x% 卩4 驗證尸W+C20+吉宀（久G是任意常數(shù)）是方程 X厶y 3y 2y ex的通解解令Me y2exv*=<120因為yi3yi2yiX e3e 2e 0y23y22y24/3 (2 孑 2ex 0且21“不恒為常數(shù) 所以m與上是齊次方程y 3y 2y 0的線性無關解 從而Y Ge G/是齊次方程的通解又因為)*_3)*+2y*=0Qx_3 丄小丫+2 丄小丫=小丫. 12 12 12所以 穴是方程p3y 2y的特解因此,=6"+02心+吉戶是方程y 3y 2y的 1厶G是任意常通解(2) y=Ccos3x+C2sin3x+(4

5、xcosx+sinx) (G、數(shù))是方程y 9y xcos x的通解M 令 M cos3x y2 sin3x >?*=_L(4%COsx+sinx) 因y 9yi 9cos3x 9cos3x 0 y2 9y2 9sin3x 9sin3x 0且A=tan3x不恒為常數(shù) 所以"與上是齊次方程y 9y 0的線性無關解 從而Y Ge G/是齊次方程的通解又因為y +9y*=呂(-9s ill x4acosx)+9 尋(4xc osa+s in x)=xc osx所以穴是方程y9y xcos x的特解因 此 y=Q cos3x+C2 sin3x+-(4xcosx+sin x) 是 方 程

6、9y xcos x的通解p ax Gxln x（G、Q是任意常數(shù)）是方程2x y 3xy 4y 0的通解解令y xy2xnx因為x yi3xy4yixX23xX2x 4Xx2 02X y23xy24/2xX (2Inx 3)3%X (2x1 n x x) 4 X x21 n x 0且互=1“不恒為常數(shù)所以m與M是方程xy 3xy 4y 0的線性無關解 從而卩Oxx是方程的通解尸cf+冬-曽1心（久G是任意常數(shù)）是方程xy3xy 5y x'ln x的通解解令y X ” =丄 y*=-*lnx 因為xyxyy3xy 5/i x X20x3 3xX5x4 5X x 0且A=x6不恒為常數(shù) 所

7、以影與必是齊次方程 >2x y3xy 5y 0 的線性無關解 從而bcf+邑是齊次方程的通解 X又因為兀2_3 一5 y *=/.(一害 I 一 £)-3x(-夸 lnx-壬)-5(-lnx)=Wlnx所以y*是方程3xy 5y x I n x的特解因此yc+inx是方程 xy 3xy 5y xn x的通解(5)y=L(Clex+C2e-x)+- (G、G 是任意常數(shù))是方程xy2y xy e的通解解令心因為朋2卩"(脊-筆+蘭)+2(呂+6Q=0X- XX- XX°。一x 。一工 xx xx?。?2£_小=牙(_ $ +)+2( _)_x=0-x

8、- xx- x x且0=0不恒為常數(shù) 所以/與上是齊次方程xy2y xy 0 的線性無關解從而丫#（CQ +C2廠）是齊次方程的通解又因為jq* +2 y 水-xy=x 今+2厶exTx所以j/*是方程xy 2y xy e"的特解因此）u丄（C“+C2廠'）+右是方程xyXL通解2y xy e 的y Ge Cie x Geos x Gsin x ,(G、G、Q、G是任意常數(shù)）是方程yy，的通解解令yi e y2 eyz cos x yh sin xy*x2因為yi<4)XXy e e0/2<4)yi e x ex 0ysM)yz cos xCOSy4 sin xs

9、 i n并且ex ex cosx sinx ex 一 -sinx cosx ex ex 一cosx -sinx ex ex sinx -cosa=4工0所以yiX ey2 e x73X 0X 0y(4) y 0的線性無關解cos x y4 sinx 是方程從而Y ae be x Geos x Gsin x是方程的通解 又因為0( x) x所以y* ，是方程y4 y x的特解因此 p C6 Ce Geos xGs i n x /是方程令k、6k2e %A3cos xkAsn x 0則kyekie %/sin x久cos x 0kyek2e %Zr3cos x處 i n x 0kekie %kss i nx久cos x 0上術等式構成的齊次線性方程組的系數(shù)行列式為cosx siiix -sinx cosx =4h0-cosx -sinx sinx 一 cos%所以方程組只有零解即“ e" y2 e y3 cos x y4 sin %線性無關如有侵權請聯(lián)系告知刪