連續(xù)型隨機(jī)變量

1、第6講 連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的分布函數(shù)教學(xué)目的：使學(xué)生理解連續(xù)型隨機(jī)變量和隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念，了解幾個(gè)常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，會(huì)求離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)：連續(xù)型隨機(jī)變量和隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念。教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)生對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量和隨機(jī)變量分布函數(shù)概念的理解。教學(xué)時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)教學(xué)過程：第二章 隨機(jī)變量及其分布§2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量是不能在某個(gè)區(qū)間上連續(xù)取值的，但在自然和社會(huì)的現(xiàn)象中，有許多隨機(jī)變量是可以在某個(gè)區(qū)間上連續(xù)取值的，這類非離散型隨機(jī)變量中最常見的是連續(xù)型隨機(jī)變量。定義1 若隨機(jī)變量的取值范圍是某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間（有界或無(wú)界），且存在非負(fù)函數(shù)

2、，使得對(duì)于任意區(qū)間有則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)稱為連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。概率密度函數(shù)的性質(zhì)：（1），（2）。注 （1）滿足性質(zhì)（1）和性質(zhì)（2）的函數(shù)必為某一連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)；（2）對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量來(lái)說，這表明連續(xù)型隨機(jī)變量取任何實(shí)數(shù)的概率都為零。（3）發(fā)生的概率為0的事件未必不發(fā)生。（4）對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，有例1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為求：（1）系數(shù)；（2）隨機(jī)變量X的概率分布的中值，即應(yīng)滿足等式解 （1）由概率密度函數(shù)的性質(zhì)（2）有即，故有。（2）因?yàn)?，所以?yīng)有而故例2 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為（1）確定常數(shù)；（2）求。解 （1）由，得解得，于是X

3、的概率密度為（2）。§2.5 幾種常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布1. 均勻分布定義2 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為則稱隨機(jī)變量X在區(qū)間上服從均勻分布，記作，其中是分布參數(shù)。注 (1) 因?yàn)閷?duì)于任意,所以服從均勻分布的隨機(jī)變量落在內(nèi)任何長(zhǎng)為的小區(qū)間內(nèi)的概率與小區(qū)間的位置無(wú)關(guān)，只與其長(zhǎng)度成正比。(2)在數(shù)值計(jì)算中，由于“四舍五入”最后一位數(shù)字所引起的隨機(jī)誤差，在刻度器上讀數(shù)時(shí)，把零頭數(shù)化為最近整分度時(shí)所發(fā)生的隨機(jī)誤差等都可以認(rèn)為服從均勻分布的。例3 用電子表計(jì)時(shí)一般準(zhǔn)確至百分之一秒，即若以秒為時(shí)間的計(jì)量單位，則小數(shù)點(diǎn)后第二位數(shù)字是按“四舍五入”原則得到的。求由此產(chǎn)生的計(jì)時(shí)誤差的概率密度。解 由題

4、意知，計(jì)時(shí)誤差X可能取得區(qū)間上的任意數(shù)值，并在此區(qū)間上服從均勻分布，X的概率密度為例4 設(shè)電阻值R是一個(gè)隨機(jī)變量，R在上服從均勻分布，求R的概率密度及R在上取值的概率。解 按題意，R的概率密度為故有2指數(shù)分布定義3 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為則稱隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，記作，其中是分布參數(shù)。注 可用服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量描述的現(xiàn)象有：（1）隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間；（2）電話問題中的通話時(shí)間；（3）無(wú)線電元件的壽命及動(dòng)物的壽命，指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似。 例5 已知某電子元件廠生產(chǎn)的電子元件的壽命(h)服從指數(shù)分布(3000)。該廠規(guī)定壽命低于300（h）的元件可以退換，問該廠被退換

5、元件的數(shù)量大約占總產(chǎn)量的百分之幾？解 因?yàn)榈母怕拭芏葹楣视兴?，該廠退換元件的數(shù)量大約占總產(chǎn)量的9.5%。§2.6 隨機(jī)變量的分布函數(shù)1隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念為了更進(jìn)一步研究隨機(jī)變量的概率分布，我們引入隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念。定義4 設(shè)是隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則事件的概率稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，記作，即注（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，（2）分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過它使我們能用數(shù)學(xué)分析的方法來(lái)研究隨機(jī)變量。（3）如果把隨機(jī)變量的取值看成是數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么，分布函數(shù)在處的函數(shù)值就等于隨機(jī)變量取區(qū)間上的值的概率。2離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的求法設(shè)是離散型隨機(jī)變量，并有概率函數(shù)，則由分布函數(shù)的定義知例6 設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為-123求：（1）的分布函數(shù)；（2）求。解 （1）由得 即（2），由例6可知，離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是分段階梯函數(shù)，在的可能取值處發(fā)生間斷，間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn)，在間斷點(diǎn)處有躍度。3連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的求法設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，并有概率密度，則由分布函數(shù)的定義知且在的連續(xù)點(diǎn)處，有。例7 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為求：（1）X的分布函數(shù)；（2）。解 （1）由得即（2）。由例7可知，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在上處處連續(xù)連