第二章 隨機信號分析

1、2.3 隨機過程的一般表達一、隨機過程的概念及定義 通信過程中的隨機信號和噪聲均可歸納為依賴于時間參數(shù)t的隨機過程。 從一實例講起，設有n部性能完全相同的通信機，工作條件相同。 n部通信機，n臺記錄儀同時記錄通信機輸出熱噪聲電壓波形，一次記錄的一個波形，就是一個實現(xiàn)（抽樣函數(shù)）。無數(shù)個記錄構(gòu)成的總體（集合）就是隨機過程。 上述這一類隨機過程（隨機信號）有如下特征： 信號變化不可預測；如氣溫信號，知道今中午的溫度，但不能確切知道明天中午的溫度。 事物的變化過程不能用一個（或幾個）時間t的確定函數(shù)來加以描述。如通信機的輸出熱噪聲電壓，在相同條件下每次測量都將產(chǎn)生不同的熱噪電壓 時間函數(shù)，要用一簇函

2、數(shù)來描述。n部通信機輸出的熱噪電壓波形見下圖： 在上圖中，在任一時刻的值是不確定的。 在縱向：，是隨機變量，是樣本。 在橫向：，僅是一個實現(xiàn)（樣本函數(shù)）。 隨機過程兩個屬性 (1) 是一個時間函數(shù)。 (2) 給定任一時刻，是不含t 變化的隨機變量。二、分布函數(shù)及概率密度 一維分布函數(shù)： 隨機變量小于或等于某一數(shù)值的概率 則稱為的一維概率密度。 一維概率密度： 如果存在 則稱為的一維概率密度。 熱噪聲電壓的一維分布函數(shù)曲線如下： 熱噪電壓的一維分布有這樣的性質(zhì)： 顯然隨機過程的一維分布函數(shù)和概率密度僅僅描述了隨機過程在各個孤立時刻的統(tǒng)計特性，沒有反映隨機過程在各個時刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系，還需在足

3、夠多的時刻上考慮隨機過程的多維分布函數(shù)。 多維分布函數(shù)： 多維概率密度函數(shù)： 顯然，越大，對隨機過程統(tǒng)計特性的描述越充分。三、隨機過程的數(shù)學特征 上述隨機過程的概率分布函數(shù)和密度函數(shù)能完整的描述其統(tǒng)計特性，然而在一般情況，多采用數(shù)學特征來描述隨機過程的統(tǒng)計特性。 的數(shù)學期望（均值） 所有樣本函數(shù)在時刻t 的函數(shù)值的平均，也稱集平均，以區(qū)別時間平均的概念。 階矩定義：方差定義：（偏離均值的程度） 衡量隨機過程任意兩個時刻上獲得的隨機變量的統(tǒng)計相關特性時，定義： 協(xié)方差函數(shù)：二維概率密度 自相關函數(shù)： 顯然有： 互相關函數(shù)：兩個隨機過程二維概率密度 四、重溫隨機過程的基本概念 定義：若干“實現(xiàn)”（

4、樣本函數(shù)）構(gòu)成的總體是隨機過程。 從縱向上來看，如果我們在時刻對條樣本函數(shù)同時取樣，得隨機變量： 或者說，全體樣本在時刻的取值就構(gòu)成一個隨機變量。 從橫向上來看（沿時間軸上觀察），時間序列：是一個實現(xiàn)（樣本函數(shù)），全體實現(xiàn)才構(gòu)成隨機過程。 隨過程機看上去波形千變?nèi)f化，各不相同，似乎很難定量描述樣本函數(shù)及隨機變量，應該用統(tǒng)計的方法加以描述。 在靜態(tài)上：對于隨機變量，我們考察概率密度、分布函數(shù)等。 在動態(tài)上：對于樣本函數(shù)，我們考察其數(shù)字特征，有： 均值 隨機過程圍繞什么均值起伏變化？ 方差 對均值的偏離程度？ 自相關函數(shù) 隨機過程在不同時刻的取值它們之間的關聯(lián)程度。下面圖示兩個隨機過程、：過程是慢

5、變化，過程是快變化，它們大致有相同的均值、方差，但是在不同時刻的取值，對于來說，相關性強；對于來說，相關性強弱。2.4 平穩(wěn)隨機過程一、平穩(wěn)隨機過程 一種特殊類型的隨機過程 平穩(wěn)隨機過程，對任意n和，滿足（n維概率密度函數(shù)）： 對于一維的情況來說，一維概率密度函數(shù)與時間無關。即 二維概率密度函數(shù)只與時間間隔有關，即 平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性：(1) 均值（數(shù)學期望）（如果為電壓電流信號，則表示直流分量）（見徐佩霞P39） (2) 方差（如果為電壓電流信號，則表示交流分量的平均功率。） (3) 自相關函數(shù) 平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)只與時間間隔有關：當為電壓電流信號時，則時的自相關函數(shù)表示總平均功率

6、。 在通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)均可視為平穩(wěn)隨機過程，因此研究平穩(wěn)過程有很大實際意義。二、各態(tài)歷經(jīng)過程 大量的實際觀測和理論分析表明，許多平穩(wěn)隨機過程具有所謂“各態(tài)歷經(jīng)性”。 許多平穩(wěn)過程的數(shù)學特征（均值、方差、自相關函數(shù)），完全可由過程中的任一實現(xiàn)（任一樣本函數(shù)）的數(shù)學特征來決定。 若一隨機過程是各態(tài)歷經(jīng)過程，則必滿足： 各態(tài)歷經(jīng)過程的任一實現(xiàn)都好象經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)似的。 任一實現(xiàn)都能代表整個隨機過程。 各態(tài)歷經(jīng)過程必須首先是平穩(wěn)過程，但平穩(wěn)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)過程。 各態(tài)歷經(jīng)過程的平均值，時間平均和對應的集合平均相等。2.5 平穩(wěn)過程的相關函數(shù)與功率譜密度一、相關函數(shù)

7、 在平穩(wěn)過程中，均值、方差、自相關、互相關函數(shù)這四個數(shù)學特征中，自相關函數(shù)是最重要的一個。 基本性質(zhì)： ，S 的平均功率，電壓信號在電阻上所消耗的平均功率。盡管平穩(wěn)隨機過程的總能量是無窮的，但平均功率為有限值。 平穩(wěn)過程只與時間間隔有關, 間隔。 ， 自己和自己相關值最大，因 此的相關值小于。 說明： 注：統(tǒng)計獨立，平穩(wěn)過程的均值與時間無關，為常數(shù)。 二、頻譜特性先看確定性信號：設確定性功率信號，有功率譜密度，自相關函數(shù)，的平均功率為：式中，是的截短函數(shù)的頻譜，確定性信號的功率譜密度： 自相關函數(shù)與的功率頻譜之間有確定的傅立葉變換關系： 平穩(wěn)隨機過程有否上述關系 ？隨機過程的能量往往不是有限值

8、，也就是說不滿足，因此隨機過程不存在信號能量頻譜。然而如果是平穩(wěn)隨機過程，那么其平均功率可能是有限值。我們定義，平穩(wěn)隨機過程的平均功率：平均功率 對于功率型的平穩(wěn)隨機過程而言，它的每一實現(xiàn)也將是功率信號，因而可以借用上述確定性信號的功率譜公式來表示每一“實現(xiàn)”的功率譜。但是，隨機過程的每一實現(xiàn)不可預測，因此，僅僅用某一實現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。隨機過程的功率譜應看作是每一實現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計平均。仿照確定性信號的分析（推導過程見徐佩霞書P42），設過程的截短函數(shù)（截短的隨機過程）， 截短函數(shù)的傅立葉變換： 平穩(wěn)隨機過程的平均功率，有： 的功率譜密度為： 過程的平均功率等于各個頻率分量（統(tǒng)計值）單獨貢獻出的功率之連續(xù)和。是在頻率域上描述隨機過程統(tǒng)計特性的最主要數(shù)字特征。下面考察頻譜與自相關函數(shù)之間的關系。注釋：偶函數(shù)： 注：平穩(wěn)過程只與時間間隔有關， 自相關函數(shù)： 令：，則得：于是， 故得， 平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)與功率頻譜之間也有確定的傅立葉變換關系：記作：2.6 高斯隨機過程 高斯過程又稱正態(tài)隨機過程，是一種普遍存在又十分重要的隨機過程。通信信道中的噪聲，通常是一種高斯過程。 先看一維分布的情況。 高斯過程在給定任一時刻上，則是一高斯隨機變量，其概率密度函數(shù)為：高斯概率