空間曲線的曲率撓率和Frenet公式

1、空間曲線的曲率、撓率和Frenet公式摘 要：本文研究了刻畫空間曲線在某點鄰近的彎曲程度和離開平面程度的量曲率和撓率以及空間曲線論的基本公式-Frenet公式,并且舉例有關(guān)曲率、撓率的計算和證明. 關(guān)鍵詞：空間曲線；曲率；撓率；Frenet公式Spatial curvature,torsion and Frenet formulasAbstract: This paper studies space curves depict a point near the bend in the degree and extend of the amount of leave plane-the curv

2、ature and torsion and the basic formula of space curves-Frenet formulas,and for example the curvature and torsion of the calculation and proof.Key Words: space curves; curvature; torsion; Frenet formulas前言 空間曲線的曲率、撓率和Frenet公式是空間曲線基本理論的一部分,它是以空間曲線的密切平面和基本三棱形的知識作為基礎(chǔ)的.空間曲線的曲率、撓率和Frenet公式在空間曲例如:時為直線,時為平

3、面曲線.本文將從定義、公式推導(dǎo)和具體舉例三方面逐步解析空間曲線的曲率、撓率和Frenet公式.本文第一部分講述曲率和撓率的定義,第二部分講述Frenet公式和曲率、撓率的一般參數(shù)表示的推導(dǎo),第三部分具體舉例有關(guān)曲率、撓率的計算和證明.1. 空間曲線的曲率和撓率的定義1.1準(zhǔn)備知識空間曲線的伏雷內(nèi)標(biāo)架給出類空間曲線和上一點.設(shè)曲線的自然參數(shù)表示是其中是自然參數(shù)，得是一單位向量. 稱為曲線上點的單位切向量.由于，則，即.在上取單位向量 ， (1)稱為曲線上點的主法向量.再作單位向量，稱為曲線上點的副法向量. 我們把兩兩正交的單位向量稱為曲線上點的伏雷內(nèi)(Frenet)標(biāo)架.1.2 空間曲線的曲率

4、我們首先研究空間曲線的曲率的概念.在不同的曲線或者同一條曲線的不同點處，曲線彎曲的程度可能不同.例如半徑較大的圓彎曲程度較小，而半徑較小的圓彎曲程度較大.為了準(zhǔn)確的刻畫曲線的彎曲程度，我們引進曲率的概念.要從直觀的基礎(chǔ)上引出曲率的確切定義，我們首先注意到，曲線彎曲的程度越大，則從點到點變動時，其切向量的方向改變的越快.所以作為曲線在已知一曲線段的平均彎曲程度可取為曲線在間切向量關(guān)于弧長的平均旋轉(zhuǎn)角.設(shè)空間中類曲線的方程為曲線上一點，其自然參數(shù)為，另一鄰近點，其自然參數(shù)為.在、兩點各作曲線的單位切向量和.兩個切向量的夾角是，也就是把點的切向量平移到點后，兩個向量和的夾角為.我們把空間曲線在處的切

5、向量對弧長的旋轉(zhuǎn)速度來定義曲線在點的曲率.定義 空間曲線在點的曲率為，其中為點及其鄰近點間的弧長，為曲線在點和的切向量的夾角.再利用命題“一個單位變向量（即）的微商的模的幾何意義是對于的旋轉(zhuǎn)速度”.把這個結(jié)果應(yīng)用到曲線的切向量上去，則有.由于，所以曲率也可表示為.由上述空間曲線的曲率的定義可以看出，它的幾何意義是曲線的切向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度.當(dāng)曲線在一點的彎曲程度越大，切向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度就越大，因此曲率刻畫了曲線的彎曲程度.對于空間曲線，曲線不僅彎曲而且還要扭轉(zhuǎn)（離開密切平面），所以研究空間曲線只有曲率的概念是不夠的，還要有刻畫曲線扭轉(zhuǎn)的程度的量撓率.1.3 空間曲線的撓率 當(dāng)曲線扭轉(zhuǎn)

6、時，副法向量（或密切平面）位置隨著改變（如圖一），所以我們用副法向量（或密切平面）的轉(zhuǎn)動速度來刻畫曲線的扭轉(zhuǎn)程度（在一點離開密切平面的程度）.現(xiàn)在設(shè)曲線上一點的自然參數(shù)為，另一鄰近點的參數(shù)為，在、兩點各作曲線的副法向量和.此兩個副法向量的夾角是(如圖一). （圖一）再利用命題“一個單位變向量（即）的微商的模的幾何意義是對于的旋轉(zhuǎn)速度” .把這個結(jié)果應(yīng)用到曲線的副法向量向量上去，得到，此式的幾何意義是它的數(shù)值為曲線的副法向量（或密切平面）對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度.當(dāng)曲線在一點的扭曲程度越大（離開所討論點的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度就越大.因此，我們可以用它來刻畫曲線

7、的扭轉(zhuǎn)程度.根據(jù)（1）和曲率的定義，我們有，即 . (2) 對求微商，有，因而.又因為是單位向量，所以.由以上兩個關(guān)系可以推出 . (3)現(xiàn)在我們給出撓率的定義如下：定義 曲線在點的撓率為：撓率的絕對值是曲線的副法向量（或密切平面）對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度. 介紹了曲率、撓率的定義之后，為了更好的應(yīng)用曲率和撓率,下面我們來看Frenet公式和曲率、撓率的一般參數(shù)表示式的推導(dǎo)過程.2. Frenet公式和曲率、撓率的一般參數(shù)表示式的推導(dǎo)2.1 Frenet公式的推導(dǎo)根據(jù)（3）及撓率的定義有 （4）另外，對求微商，并利用（4）和（2），可以推導(dǎo)出 （5）公式（2），（5），（4）稱為空間曲線的伏雷內(nèi)（F

8、renet）公式，即，這組公式是空間曲線的基本公式.它的特點是基本向量、關(guān)于弧長的微商可以用、的線性組合來表示.它的系數(shù)組成反稱的方陣2.2 曲率的一般參數(shù)表示式的推導(dǎo) 若給出類的空間曲線，則有，所以，由上式得.注意上式中，因而有.由此得到曲率的一般參數(shù)表示式.2.3撓率的一般參數(shù)表示式的推導(dǎo) 再由伏雷內(nèi)公式的（4）式，兩邊點乘得，因而再把代入中得，所以得到.這是一般參數(shù)表示的撓率計算公式.另外說一下密切圓，曲率中心，曲率半徑的定義.空間曲線在一點的密切圓（曲率圓）是過曲線上一點的主法線的正側(cè)取線段，使的長為，以為圓心，以為半徑在密切平面上確定一個圓，這個圓稱為曲線在點的密切圓（曲率圓），曲率

9、圓的中心稱為曲率中心，曲率圓的半徑稱為曲率半徑（如圖二）.（圖二）3. 有關(guān)曲率、撓率的計算和證明例 1 求圓柱螺線的曲率和撓率.解 由圓柱螺線方程，先計算 于是有代入曲率和撓率的公式得由以上可以看出，圓柱螺線的曲率和撓率都是常數(shù).例 2 證明曲率恒等于零的曲線是直線.證明 已知因而由此得到 （常向量）.再積分即得 其中也是常向量.這是一條直線的參數(shù)方程.例 3 證明撓率恒等于零的曲線是平面曲線.證明 若則是固定向量，但是我們已知因而有積分后得（常數(shù)），所以曲線在一個平面上，即曲線是平面曲線.以上即為有關(guān)曲率、撓率的計算和證明，充分說明了研究空間曲線的曲率、撓率對空間曲線的研究有重要意義.結(jié)語: 空間曲線的曲率、撓率和Frenet