第十八 曲線的凸性與拐點(diǎn)、漸近線

1、第十八 曲線的凸性與拐點(diǎn)、漸近線函數(shù)圖形的描繪重點(diǎn)：曲線凹凸性的判別定理，函數(shù)的作圖難點(diǎn)：函數(shù)的作圖前面兩節(jié)我們利用導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的單調(diào)性與極值，這對(duì)于作函數(shù)的圖形有很大幫助。但是，僅僅知道這些，還不能比較準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖形。為此，本節(jié)繼續(xù)討論利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的有關(guān)性態(tài)，進(jìn)而作出函數(shù)的圖形。一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)如圖311所示，函數(shù)在（,）內(nèi)的曲線弧雖然是一直上升的，但是，在（,）和（,）內(nèi)，弧和彎曲的方向是不同的，點(diǎn)是它們的分界點(diǎn)。曲線彎曲的方向及其分界點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)作圖是很有用的。下面討論這個(gè)問題。由圖明顯地看出，弧上各點(diǎn)的切線均在該段弧的下方，弧上各點(diǎn)的切線均在該段弧的上方。由此給出凸性

2、的定義。定義 設(shè)曲線的方程為，且處處有切線。若在某區(qū)間內(nèi)，該曲線弧位于其上任一點(diǎn)的切線的上方，稱此曲線弧是凹的（圖312）；若在某區(qū)間內(nèi)，該曲線弧位于其上任一點(diǎn)的切線的下方，稱此曲線弧是凸的（圖313）。連接曲線凸弧與凹弧的分界點(diǎn)，稱為該曲線的拐點(diǎn)。圖313圖312如果函數(shù)在（,）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，那么可以利用二階導(dǎo)數(shù)來判斷曲線的凹凸性。 定理3.10 設(shè)函數(shù)在（,）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，那么（1）若在（,）內(nèi)，則曲線在（,）內(nèi)是凹的；（2）若在（,）內(nèi)，則曲線在（,）內(nèi)是凸的。定理3.11 若函數(shù)在處二階導(dǎo)數(shù)存在，且點(diǎn)（,）為曲線的拐點(diǎn)，則。注意，是點(diǎn)（,）為拐點(diǎn)的必要條件，而非充分條件。例如，則，

3、當(dāng)時(shí)，=0，但是點(diǎn)（0,0）不是曲線的拐點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)（0,0）兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)。下面給出曲線拐點(diǎn)的充分條件。定理3.12 若，且在兩側(cè)變號(hào)，則點(diǎn)（,）是曲線的拐點(diǎn)。例1 討論曲線的凹凸性和拐點(diǎn)。解 函數(shù)的定義域?yàn)?（-¥,+¥）。 =，=令得 ，。由點(diǎn)，把（-¥,+¥）分成（-¥,-1）、(-,.1)和（1,+¥）三個(gè)部分區(qū)間。列表討論（-¥,-1） -1(-1,1) 1（1,+¥） + 0 - 0 + È 拐點(diǎn)（-1,-6） Ç拐 點(diǎn)（1,-6） È由表上知，曲線的凹區(qū)間為（-&#

4、165;,-1）和（1,+¥），凸區(qū)間為(-,1)。 曲線的拐點(diǎn)為(-1,-6)和(1,-6)。例2 判定函數(shù)的凸性和拐點(diǎn)。解 函數(shù)的定義域?yàn)椋?¥,+¥）。=，令，方程無解。又為函數(shù)的不可導(dǎo)的點(diǎn)。點(diǎn)把（-¥,+¥）分成（-¥,0）和（0,+¥）兩個(gè)部分。列表討論（-¥,0）0（0,+¥）+不存在-È拐點(diǎn)（0,0）Ç由表上知，曲線的凹區(qū)間為（-¥,0），凸區(qū)間為（0,+¥）。 曲線的拐點(diǎn)為（0,0）。二、曲線的漸近線在平面上，當(dāng)曲線伸向無窮遠(yuǎn)處時(shí)，一般很難把曲線畫準(zhǔn)

5、確。但是，如果曲線伸向無窮遠(yuǎn)處，它能無限得靠近一條直線，那么我們就可以即快又好地畫出趨于無窮遠(yuǎn)處這條曲線的走向趨勢(shì)。如平面解析幾何中的雙曲線=1與直線和就是如此。這樣的直線叫做曲線的漸近線。定義 如果曲線上的點(diǎn)沿曲線趨于無窮遠(yuǎn)時(shí)，此點(diǎn)與某一直線的距離趨于零，則稱此直線是曲線的漸近線。漸近線有水平漸近線、垂直漸近線和斜漸近線。1水平漸近線若函數(shù)的定義域是無窮區(qū)間，且時(shí)，則稱直線為曲線的水平漸近線。例3 求曲線的水平漸近線。解 因?yàn)?=0所以是曲線的水平漸近線。例4 求曲線的水平漸近線。解 因?yàn)?，=所以和都是曲線的水平漸近線。2垂直漸近線。若函數(shù)在點(diǎn)處間斷，且 ，則稱直線為曲線的垂直漸近線。例5

6、 求曲線的漸近線。解 因?yàn)?=0，=¥所以是曲線的水平漸近線，是曲線的垂直漸近線（圖314）。3斜漸近線若對(duì)于函數(shù)，有=0成立，則稱直線為曲線的斜漸近線，其中，。例6 求曲線的漸近線。解 因?yàn)?=¥，所以為曲線的垂直漸近線。又因?yàn)?1， =所以直線是曲線的漸近線（圖315）。圖315圖314三、函數(shù)圖形的描繪在中學(xué)所采用的描點(diǎn)法作圖，其局限性在于選取的點(diǎn)不可能很多，因而一些關(guān)鍵性的點(diǎn)如極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等，往往有可能漏掉，曲線的單調(diào)性、凹凸性等一些重要性態(tài)也難以準(zhǔn)確地顯示出來?，F(xiàn)在，通過前幾節(jié)的介紹，我們可以利用導(dǎo)數(shù)來分析函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線等。這樣，就能較準(zhǔn)

7、確地將函數(shù)的圖形描繪出來。利用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)的圖形的一般步驟為：（1）確定函數(shù)的定義域，并討論其周期性、奇偶性、有界性；（2）求，解方程=0和=0求出在定義域內(nèi)的全部實(shí)根，并求出，不存在的點(diǎn)；（3）由第（2）步中所得到的點(diǎn)，將定義域分成相應(yīng)區(qū)間，列表分析各區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性，各區(qū)間的分界點(diǎn)是不是極值點(diǎn)和拐點(diǎn)；（4）確定曲線的漸近線；（5）適當(dāng)補(bǔ)充一些點(diǎn)，如曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等；（6）根據(jù)上述結(jié)果作圖。例7 畫出函數(shù)的圖形。解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?¥,+¥），且為奇函數(shù)。 =，令 得 ，令 得 ，在定義域內(nèi)沒有不可導(dǎo)的點(diǎn)。列表討論 0(0,1) 1(1,+¥)

8、+0- 0 - 拐 點(diǎn)(0，0)æ極大值2 ö顯然，曲線無漸近線。令，可知曲線與軸的交點(diǎn)為（-,0）、（,0）。綜合上述結(jié)果，畫出函數(shù)在（0,+¥）的圖形，由對(duì)稱性得出曲線在（-¥,+¥）內(nèi)的圖形（圖316）。例8 畫出函數(shù)的圖形。圖316解 函數(shù)的定義域?yàn)椋?¥,+¥），且為偶函數(shù)。 =，=令得，令=0得，在定義域內(nèi)沒有不可導(dǎo)的點(diǎn)。列表討論0（0,）（,+¥）0-0+極大值1ö拐 點(diǎn)（,）è因?yàn)?，所以直線為水平漸近線；曲線過點(diǎn)（0,1）。根據(jù)以上討論，即可畫出函數(shù)的圖形（圖317）。圖318圖317例9 畫出函數(shù)的圖形。解 函數(shù)的定義域?yàn)椋?¥,1）È（1,+¥）。 =，=令得，令得，在定義域內(nèi)沒有不可導(dǎo)的點(diǎn)。列表討論（,0）0（0,1）（1,+¥）-