排列組合講解方法匯總

1、1. 排列的定義從 n 個不同元素中，任取 m 個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n 個不同元素中取岀 m 個元素的一個排列 .2. 組合的定義 :從 n 個不同元素中，任取 m 個元素，并成一組，叫做從 n 個不同元素中取岀m 個元素的一個組合.3. 排列數(shù)公式 :4. 組合數(shù)公式 :排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系 : 與順序有關的為排列問題 , 與順序無關的為組合問題 .分隔排列 - 插空法相鄰排列 - 捆綁法互斥分類 - 分類法先后有序 - 位置法反面明了 - 排除法方法 1 插空法 :對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題 , 可以用插入法 .即先排好沒有限制條 件的元素 , 然后將

2、有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可。例 1 學校組織老師學生一起看電影，同一排電影票 12 張。 8 個學生， 4 個老師，要求老師在學生之間， 且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？分析 此題涉及到的是不相鄰問題 , 并且是對老師有特殊的要求 , 因此老師是特殊元素 , 在解決時就要特 殊對待 . 所涉及問題是排列問題 .8解：先排學生共有A種排法，然后把老師插入學生之間的空檔，共有 7 個空檔可插，選其中的 4 個空檔，共有A74種選法 . 根據(jù)乘法原理 , 共有的不同坐法為A74A88種.方法 2 捆綁法：要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題.即將需要相

3、鄰的元素合并為一個元素 , 再與其它元素一起作排列 , 同時要注意合并元素內部也可以作排列 .例 2 5 個男生 3 個女生排成一排 ,3 個女生要排在一起 , 有多少種不同的排法 ?分析 此題涉及到的是排隊問題 , 對于女生有特殊的限制 ,因此, 女生是特殊元素 ,并且要求她們要相鄰 , 因此可以將她們看成是一個元素來解決問題 .解：因為女生要排在一起，所以可以將 3 個女生看成是一個人，與 5 個男生作全排列，有A66種排法，其363中女生內部也有A種排法，根據(jù)乘法原理，共有A A種不同的排法.方法 3 轉化法（插拔法）：對于某些較復雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉化思想，將其化歸

4、為簡單的、具體的問題來求解例 3在高二年級中的 8 個班,組織一個 12 個人的年級學生分會，每班要求至少 1 人，名額分配方案有多少種？分析 此題若直接去考慮的話，就會比較復雜.但如果我們將其轉換為等價的其他問題，就會顯得比較清楚,方法簡單，結果容易理解.解：此題可以轉化為：將 12 個相同的白球分成 8 份，有多少種不同的分法問題，因此須把這 12 個白球排成一排，在 11 個空檔中放上 7 個相同的黑球，每個空檔最多放一個，即可將白球分成 8 份,顯然有C117種不同的放法，所以名額分配方案有C117種.方法 4 剩余法：在組合問題中，有多少取法，就有多少種剩法，他們是一一對應的，因此，

5、當求取法困難時,可轉化為求剩法.例 4 袋中有不同的 5 分硬幣 23 個，不同的 1 角硬幣 10 個，如果從袋中取岀 2 元錢，有多少種取法？分析：此題是一個組合問題，若是直接考慮取錢的問題的話，情況比較多，也顯得比較凌亂，難以理岀頭緒來.但是如果根據(jù)組合數(shù)性質考慮剩余問題的話，就會很容易解決問題.解：把所有的硬幣全部取岀來，將得到x23+X10=元，所以比 2 元多元，所以剩下元即剩下3 個 5 分或 1個 5 分與 1 個 1 角，所以共有C233C231C101種取法.方法 5 對等法：在有些題目中，它的限制條件的肯定與否定是對等的，各占全體的二分之一.在求解中只要求岀全體,就可以得

6、到所求.例 5期中安排考試科目 9 門,語文要在數(shù)學之前考,有多少種不同的安排順序？分析：對于任何一個排列問題，就其中的兩個元素來講的話，他們的排列順序只有兩種情況，并且在整個排列中，他們岀現(xiàn)的機會是均等的，因此要求其中的某一種情況，能夠得到全體,那么問題就可以解決了.并且也避免了問題的復雜性.9解：不加任何限制條件，整個排法有A9種，“語文安排在數(shù)學之前考”，與“數(shù)學安排在語文之前考”的排法是相等的，所以語文安排在數(shù)學之前考的排法共有 方法 6 排O除法 :有些問題 ,正面直接考慮比較復雜 , 而它的反面往往比較簡捷 ,可以先求出它的反面 ,再 從整體中排除 .例 6 某班里有 43 位同學 ,從中任抽 5 人, 正、副班長、團支部書記至少有一人在內的抽法有多少種 分析：此題若是直接去考慮的話 , 就要將問題分成好幾種情況 , 這樣解題的話 , 容易造成各種情況遺漏或 者重復的情況 .而如果從此問題相反的方面去考慮的話 ,不但容易理解 , 而且在計算中