授課題目： 第七章 參數估計 - 仲愷農業(yè)技術學院

1、授課題目： 第七章參數估計教學目的、要求（分掌握、熟悉、了解三個層次）： 1、理解參數的點估計、估計量與估計值的概念； 2、掌握矩估計法（一階、二階）和最大似然估計法； 3、了解估計量的無偏性，有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會驗證估計量的無偏性； 4、了解區(qū)間估計的概念，會求單正態(tài)總體的均值與方差的置信區(qū)間。教學重點及難點： 矩法估計，極大似然估計；估計量的評價準則；正態(tài)總體參數的區(qū)間估計課時安排：7課時授課方式：理論課教學基本內容：7.3 區(qū)間估計1. 區(qū)間估計的一般步驟 我們在討論抽樣分布時曾提到過區(qū)間估計。與點估計不同的是，它給出的不是參數空間的某一個點，而是一個區(qū)間（

2、域）。按照一般的觀念，似乎我們總是希望能得到參數的一個具體值，也就是說用點估計就夠了，為什么還要引入區(qū)間估計呢？這是因為在使用點估計時，我們對估計量是否能“接近”真正的參數的考察是通過建立種種評價標準，然后依照這些標準進行評價，這些標準一般都是由數學特征來描繪大量重復試驗時的平均效果，而對于估值的可靠度與精度卻沒有回答。即是說，對于類似這樣的問題：“估計量在參數的鄰域的概率是多大？”點估計并沒有給出明確結論，但在某些應用問題中，這恰恰是人們所感興趣的，如 例7.12 某工廠欲對出廠的一批電子器件的平均壽命進行估計，隨機地抽取件產品進行試驗，通過對試驗的數據的加工得出該批產品是否合格的結論？并要

3、求此結論的可信程度為95%，應該如何來加工這些數據？ 對于“可信程度”如何定義，我們下面再說，但從常識可以知道，通常對于電子元器件的壽命指標往往是一個范圍，而不必是一個很準確的數。因此，在對這批電子元器件的平均壽命估計時，壽命的準確值并不是最重要的，重要的是所估計的壽命是否能以很高的可信程度處在合格產品的指標范圍內，這里可信程度是很重要的，它涉及到使用這些電子元器件的可靠性。因此，若采用點估計，不一定能達到應用的目的，這就需要引人區(qū)間估計。 區(qū)間估計粗略地說是用兩個統(tǒng)計量，（）所決定的區(qū)間，作為參數取值范圍的估計。顯然，一般地這樣說是沒有多大的意義的，首先，這個估計必須有一定的精度，即是說-不

4、能太大，太大不能說明任何問題；第二，這個估計必須有一定的可信程度，因此-又不能太小，太小難以保證這一要求。比如從區(qū)間1，100去估計某人的歲數，雖然絕對可信，卻不能帶來任何有用的信息；反之，若用區(qū)間30，31去估計某人的歲數，雖然提供了關于此人年齡的信息，卻很難使人相信這一結果的正確性。我們希望既能得到較高的精度，又能得到較高的可信程度，但在獲得的信息一定（如樣本容量固定）的情況下，這兩者顯然是不可能同時達到最理想的狀態(tài)。通常是采取將可信程度固定在某一需要的水平上，求得精度盡可能高的估計區(qū)間。下面給出區(qū)間估計的正式的定義。 定義7. 4 對于參數，如果有兩個統(tǒng)計量,，滿足對給定的，有則稱區(qū)間，

5、是的一個區(qū)間估計或置信區(qū)間(Confidence Interval)，分別稱作置信下限(Confidence lower limit)、置信上限(Confidence upper limit)，稱為置信水平(Confidence level)。 這里的置信水平，就是對可信程度的度量。置信水平為1-，在實際上可以這樣來理解:如取，就是說若對某一參數取100個容量為的樣本，用相同方法做100個置信區(qū)間。，=1,2,100,那么其中有95個區(qū)間包含了真參數因此,當我們實際上只做一次區(qū)間估計時，我們有理由認為它包含了真參數。這樣判斷當然也可能犯錯誤，但犯錯誤的概率只有5%. 下面我們來討論一下區(qū)間估計

6、的一般步驟。 1) 設欲估參數為，先取的一個點估計，它滿足兩點：一是它較前面提出的標準應該是一個“好的”估計量，二是它的分布形式應該已知，只依賴未知參數 2) 所求的區(qū)間考慮為的一個鄰域,(或者等等)，使得對于=1- 且一般要求盡可能小。為確定，須用解不等式的方法將(6.22)式中的隨機事件變成類似于下述等價形式： 其中，為可逆的的已知函數,的分布與無關且已知，一般其分位點應有表可查，這是關鍵的一步。于是就可得出，為某個分位點,如，. 3) 從，的表達式中解出即可。區(qū)間估計涉及到抽樣分布，如節(jié)中所述,對于一般分布的總體,其抽樣分布的計算通常有些困難，因此，我們將主要研究正態(tài)總體參數的區(qū)間估計問

7、題。2. 單個正態(tài)總體參數的區(qū)間估計 設為的樣本，對給定的置信水平，我們來分別研究參數與的區(qū)間估計。 例7.13 在上述前提下，求的置信水平為的區(qū)間估計。 解； 考慮的點估計為，確定使且使區(qū)間長盡可能小。下面分兩種情況 1) 已知，變換事件，使表成式：這里。為使，又要盡量使最小，亦即使最小，如圖7-1，從密度函數的特點來看（對稱、原點附近密度最大，往兩邊密度減小），只有取，即，從而所求的區(qū)間是 圖7-1 2) 未知，將事件變換成式：其中由例7.14知，為使，且區(qū)間盡量短。與情形一樣，只有取因此所求區(qū)間為 例7.14 在上述前提下求的置信水平為1-的區(qū)間估計。 解； 的點估計量為，注意到，考慮，

8、及的鄰域，使變換事件由定理5.3（ii）知，故為使，通常取于是，所求區(qū)間為 這里要使區(qū)間最短，計算太麻煩，因此，在取分位點時采用類似主對稱型分布的取法，使密度函數圖形兩端的尾部面積均為（如圖7-2）。圖7-2 例7.15 一批零件尺寸服從，對進行區(qū)間估計（未知）,要求估計精度不低于2，置信水平保持為，問至少要抽取多少件產品作為樣本？ 解； 顯然，此處要求由例7.24，故 7.5式（7.5）不是的顯式，但對于具體數值，可采取“試算法”來確定一般是先對作個大致估計(可以由以往的經驗確定),然后用試算的方式確定適合方程7.5的例如若估計出200，又已知,來試算： 顯然，如果任正整數不可能嚴格滿足方程（7。5）的話，則應取使式（7.5）左邊大于右邊的最小的，因此應該取=11參考書目：1吳贛昌，大學數學立體化教材：概率論與數理統(tǒng)計（經濟類），中國人民大學出版社，2006年3月。2盛 驟，謝式千等，概率論與數理統(tǒng)計（第三版），高等教育出版社，2003年2月。作業(yè)和思考題： 作業(yè)：P127 1 4-7 9-11 課后小結： 本章中介紹了參數估計的基本方法。 參數的估計有點估計、貝葉斯估計和區(qū)間估計。矩估計法和極大似然估計法是