二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

1、對(duì)于非齊次一階線性常微分方程(A.2)，在其兩端同乘以函數(shù)e附錄 A 線性常微分方程本課程的研究內(nèi)容與常微分方程理論有非常密切的聯(lián)系，因此在本附錄里，我們將對(duì)線性常微分方程的知識(shí)一一包括解的存在性、解的結(jié)構(gòu)和求解方法做一些回顧和總結(jié)。把包含未知函數(shù)和它的 j 階導(dǎo)數(shù)y(j)的方程稱為常微分方程。線性常微分方程的標(biāo)準(zhǔn) 形式y(tǒng)(n)Pni(x)y(n1)L p(x)y p(x)yf(x)(A.1)其中 n 稱為方程的階數(shù)，p/x)和f (x)是給定的函數(shù)?？晌⒑瘮?shù)y y(x)在區(qū)間 I 上滿 足方程(A.1)，則稱其為常微分方程(A.1 )在 I 上的一個(gè)解。，f (x)稱為方程(A.1 )的 自

2、由項(xiàng)，當(dāng)自由項(xiàng)f (x) 0時(shí)方程(A.1 )稱為是齊次方程，否則稱為非齊次方程。一般來說常微分方程的解是不唯一的，我們將方程的全部解構(gòu)成的集合稱為 解集合，解集合中 全部元素的一個(gè)通項(xiàng)表達(dá)式稱為方程的 通解，而某個(gè)給定的解稱為方程的 特解。在本附錄里，我們重點(diǎn)介紹一階和二階常微分方程的相關(guān)知識(shí)。A.1 一階線性常微分方程一階線性常微分方程表示為y P(x)y f(x)，x I.(A.2)當(dāng)f (x)0，方程退化為y P(x)y 0,(A.3)假設(shè)y(x)不恒等于零，則上式等價(jià)于而乂ln |y| ，從而(A.3)的通解為yp(x)dx對(duì)于非齊次一階線性常微分方程(A.2)，在其兩端同乘以函數(shù)e

3、y(x) Ce( A.4)p(x)dx從定理 A.4,A.5 可以得到求解二階線性非齊次常微分方程(A.6)的通解的一般步驟:注意到上面等式的左端因此有兩端積分其中 C 是任意常數(shù)。進(jìn)一步有綜上有如下結(jié)論定理 A.1 假設(shè)P(x)和f(X)在I上連續(xù)，則一階線性非齊次常微分方程(A.1)的通解 具有如下形式P(x)dx P(x)dx P( x)dxy(x)Cee e f (x)dx(A.5)其中 C 是任意常數(shù)。觀察(A.4)式和(A.5 )式，我們發(fā)現(xiàn)一階線性非齊次常微分方程(A.1 )的解等于一 階 線 性 齊 次 常 微 分 方 程 ( A.2 ) 的 通 解CeP(x)dx加 上 函

4、數(shù)P( x)dx P(x)dxy*( x) ee f (x)dx。容易驗(yàn)證，y*( x)是方程(A.1)的一個(gè)特解。這符合線性方程解的結(jié)構(gòu)規(guī)律。例 1 求解一階常微分方程解 此時(shí)p(x) 2，f (x)1,由(A.5)式，解為其中 C 是任意常數(shù)。A.2 二階線性常微分方程將具有以下形式的方程y p(x)y q(x)y f (x)，x I，(A.6)稱為二階線性常微分方程，其中p(x),q(x), f (x)都是變量 x 的已知連續(xù)函數(shù)。稱y p(x)y q(x)y 0，x I，(A.7)為與(A.6)相伴的齊次方程.A21 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)首先討論齊次方程(A.7)解的結(jié)構(gòu)。定理 A

5、.2 如果函 數(shù)y/x)與y2(X)是線性齊次方 程(A.7 )的兩個(gè)解，則函數(shù)y Ciyi(x) C2y2(x)仍為該方程的解，其中GQ是任意的常數(shù)。定理 1 說明齊次線性常微分方程(A.7)的解如果存在的話，一定有無窮多個(gè)。為了 說明齊次線性常微分方程(A.7)通解的結(jié)構(gòu)，首先給出函數(shù)線性無關(guān)的定義。定義 A.1 設(shè)函數(shù)y1(x), y2(x),L ,yn(x)是定義在區(qū)間 I 上的 n 個(gè)函數(shù)，如果存在 n 個(gè)不全為零的常數(shù)k1,k2，L ,kn， 使得k1y1(x) k2y2(x) L knyn(x) 0在區(qū)間 I 上恒成 立， 則稱函數(shù)y1(x), y2(x),L , yn(x)在區(qū)

6、間上 線性相關(guān) ，否則稱為 線性無關(guān) 。例如函數(shù)1,cos2x,sin2x在整個(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的，而函數(shù)ex和ex在任何區(qū)間(a,b)內(nèi)是線性無關(guān)的。特別的，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的情形，它們線性相關(guān)與否，只需要看它們的比值是否為常數(shù) 即可，比值為常數(shù)，那么它們線性相關(guān)，否則線性無關(guān)。有了函數(shù)線性無關(guān)的概念，就有如下二階線性齊次微分方程(A.7)通解結(jié)構(gòu)的定理。定理 A.3 假設(shè)線性齊次方程(A.7)中，函數(shù)p(x)與q(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則方程(A.7) 一定存在兩個(gè)線性無關(guān)的解。類似于代數(shù)學(xué)中齊次線性方程組，二階線性齊次常微分方程的解集合也存在 基礎(chǔ)解 系。定理 A.4 若yi(x)與y2(x)

7、是二階線性齊次常微分方程(A.7)的兩個(gè)線性無關(guān)的特 解，則y Ciyi(x)C2y2(x)是該方程的通解，其中Ci,C2是任意的常數(shù)。從定理 A.4 可以看出二階線性齊次常微分方程(A.7)的任何兩個(gè)線性無關(guān)的特解構(gòu) 成其基礎(chǔ)解系。關(guān)于二階線性非齊次常微分方程(A.6)的通解，有如下結(jié)論定理 A.5 若函y*( x)是方程(A.6)的一個(gè)特解，Y(x)是方程(A.6)相伴的齊次方程的通解，則y(x) y*( x) Y x是二階線性非齊次常微分方程(A.6 )的通解。(1)求解與(A.6)相伴的齊次方程(A.7)的線性無關(guān)的兩個(gè)特解y1(x)與y2(x)，得該從定理 A.4,A.5 可以得到求

8、解二階線性非齊次常微分方程(A.6)的通解的一般步驟:齊次方程的通解Y(x) c1y1(x) c2y2(x)；(2)求二階線性非齊次常微分方程(A.6)的一個(gè)特解y*(x)，那么方程(A.6)的通解 為y(x) y*( x) Y x對(duì)于一些相對(duì)復(fù)雜的問題，如下的線性微分方程的疊加原理是非常有用的。定理 A.6 設(shè)二階線性非齊次常微分方程為y p(x)y q(x)y fi(x)f2(x),(A.8)且y1*( x)與y2*( x)分別是和的特解，貝U yi*( x) y2*( x)是方程(A.8)的特解。A21 二階常系數(shù)線性常微分方程的解法 如果二階線性常微分方程為y py qy f(x),(

9、A.9)其中p,q均為常數(shù)，貝稱為二階常系數(shù)線性常微分方程。以下分兩種情形討論方程(A.9)的解法。一、二階常系數(shù)線性齊次方程的解法此時(shí)問題為y py qy 0,(A.10)考慮到方程中的系數(shù)p,q均為常數(shù)， 可以猜想該方程具有形如y erx的解， 其中 r 為待定 常數(shù)， 將y rerx和y r2erx及y 代入方程y py qy 0得，erx(r2pr q) 0,由于e 0，因此，只要 r 滿足方程2r pr q 0,(A.11)即只要 r 是上述一元二次方程的根時(shí)，y erx就是(A.10)的解， 方程(A.11)稱為方程(A.10) 的特征方程，它的根稱為特征根。關(guān)于特征方程(A.11

10、)的根與微分方程(A.10)的解的關(guān)系 有如下結(jié)論。1.特征方程具有兩個(gè)不相等的實(shí)根幾與r2，即幾r2。此時(shí)函數(shù)y,(x) e和y2(x) er2x都是微分方程(A.10)的解，且因必e(r1 r2)x常y2數(shù)，所以ydx)，y2(x)線性無關(guān)，因而常微分方程的通解為y(x) qeriXc2er2X.2.特征方程具有兩個(gè)相等的實(shí)根，即r1r2。2這時(shí)函數(shù)(x) erix是微分方程(A.11)的一個(gè)特解，還需另找一個(gè)與之線性無關(guān)的特解y2(x)。為此設(shè)y2(x) u(x)yi(x)，其中u(x)為待定的函數(shù)，將y2(x)及其一、二階 導(dǎo)數(shù)代入方程(A.10)得，erixu (21p)u (r；

11、p* q)u 0，注意到A號(hào)是特征方程的根，且er1x0,因此只要u(x)滿足u(x) 0,則y2(x) u(x)er1x就是微分方程(A.10)的解。特別地取y2(x) xer1x，此時(shí)微分方程(A.11) 的通解為y(x) qe c2xerx(q gx)er1x.3.特征方程具有一對(duì)共軛復(fù)根，r1i與r2i。這時(shí)兩個(gè)線性無關(guān)的特解y1e( i )x2i(1)y y o；y y(1)特征方程為其根為121，所以微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解為y1(x)ex, y2(x)以通解可以表示為y(x) c1exc2ex。例 2 求解二階齊次常微分方程xe，因而coshx和sinh x也是微分方程的解，并

12、且它2們也是線性無關(guān)的，因此也可以構(gòu)成微分方程的基礎(chǔ)解系，即方程的通解也可以表示為coshxxxe e,sinhxy(x) c1coshxc2sinh x，這種表示方法在討論某些問題時(shí)更加方便。(2) 特征方程為r21 0，其根為r12i，所以微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解為y1(x) cosx, y2(x) sinx，所以通解可以表示為y(x) c1cos x c2sin x。在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常遇到帶有一些條件的微分方程，如y 4y ex, y(0) 0, y (0) 1或y2y3y sin2x, y(0) 0, y(1) 0等，這些問 題稱為初值問題 或邊值問題 。例 3 求方程y 4y

13、4y 0的滿足初始條件y(0) 1, y (0) 4的特解解y 4y性無關(guān)的特解為4y 0的特征方程為r24r 4 0，有重根r 2，其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線y1(x) e2 x，y2( x) xe2x,所以通解為y(x) (c1c2x)e2x,求導(dǎo)得y(x) c2xe2x2(c1c2x)e2x,將y(0) 1, y (0)4代入以上兩式得c11,c22c14解之得c11，c22，即得初值問題為y(x) (1 2x)e2x.例 4 求含參數(shù)方程y y 0( 為實(shí)數(shù))滿足邊界條件y(0) 0,y(l) 0的特解。解 微分方程的特征方程為r20， 為實(shí)數(shù)，分以下三種情形進(jìn)行討論：21當(dāng)0時(shí)，特征方程有兩個(gè)互

14、不相等的實(shí)根12-,此時(shí)微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解為y(x) ex,y2(x) ex，因此其通解為y(x) c1exc2ex,其中C|,C2是任意常數(shù)。由條件y(0)0, y(l)0,得C, C20Jc,e1Qe10解之得,c,c20,從而 y(x) 0,也即方程沒有非零解。2當(dāng)0時(shí)，方程退化為X 0,其特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根 0,此時(shí)微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解為y,(x) 1, y2(x)x，因此其通解為X(x) cdx.其中C0,d0是任意常數(shù)(當(dāng)然這個(gè)通解也可以直接由X0積分兩次得到)。由條件y(0) 0,y(1) 0,得q 0,d00，此時(shí)，方程沒有非零解。3當(dāng)0時(shí)，特征方程有兩

15、個(gè)互為共軛的復(fù)根12i,于是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解為y,(x) cos. x,y2(x) sinx，因此其通解為y(x) c,cos. x c2sin , x,其中c,c2是任意常數(shù)。代入邊界條件，得0J、 (c, sin - 1 geos、，1)0由于廣0,所以c,0,故 Gsi n 廠 I 0，要使y(x)不恒等于零，須c?0,因此必有cos、.I 0，從而、一|n丄 nn 0,1,2,L，也即220,1,2,L,相應(yīng)的解為I2y py qy R(x),(A.12)1nnx2c2s in 其中C2為任意的數(shù)。例 5 求解如下帶有周期條件的常微分方程問題Geos、x c2sin 一 x

16、 (0)Ci cosnQsinn (n 0)(n 0)、二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程的解法由定理 A.5,線性非齊次常微分方程y py qy f(x).的解可由其相伴齊次方程的通解Y(x)和非齊次方程的一個(gè)特解y*(x)之和構(gòu)成。因此，求 解二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程的關(guān)鍵就在于確定它的一個(gè)特解y*(x)。確定特解的方法很多，下面介紹常用的待定系數(shù)法，該方法的基本思想是：利用右端項(xiàng)f(x)的具體形式確定特解y*(x)的結(jié)構(gòu)， 然后代入到非齊次方程中確定其中系數(shù)。 下面分幾種情形來討 論特解的求法。y(x)解首先與上例同理可得常微分方程yy 0在參數(shù) 取不同值時(shí)的通解為y xcodx(0)

17、.(0)結(jié)合周期條件 y x 2 y x，可求得參數(shù)n2， n 0,1,2,L，而相應(yīng)的解為C0C2e xy py qy R(x),(A.12)1 自由項(xiàng)為多項(xiàng)式，即f (x) Pn(x)設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程其中Pn(x)為 x 的 n 次多項(xiàng)式。由于方程中系數(shù)p, q都是常數(shù)，且多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)仍為多項(xiàng) 式，所以可設(shè)(A.12 )的特解為*ky x Qn(x),其中Qn(x)是與Pn(x)同階的多項(xiàng)式，k 是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)系數(shù)q 0時(shí)，k 取0,當(dāng)q 0, p 0時(shí)，k 取1，當(dāng)q 0, p 0時(shí)，k 取2。例 6 求非齊次方程y” 2y y x2的一個(gè)特解。解 使用待定系數(shù)法。由于該

18、方程中自由項(xiàng)f(x) x2是二次多項(xiàng)式，且q 1，故取k 0，所以設(shè)特解為y*ax2bx c，代入方程，合并同類項(xiàng)后有22ax2( 4a b)x (2a 2b c) x2,比較兩端系數(shù)可得 a 1,b 4,c 6。于是求得特解為y*x24x 6。2.自由項(xiàng)f(x)為Aex型設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程y py qy Aex,(A.13)其中A,均為常數(shù)?？紤]到p, q都是常數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，所以可設(shè)(A.13 )的特解為y*bxkex,其中 b 為待定的系數(shù)，當(dāng) 不是(A.13)的相伴齊次方程的特征根時(shí)，k 取0;當(dāng) 是(A.13) 的相伴齊次方程的單特征根時(shí)，k 取1；當(dāng)

19、 是(A.13)的相伴齊次方程的重特征根時(shí)，k 取2。例 7 求方程y y y 2e2x的通解。解非齊次方程的相伴齊次方程的特征方程為r2r 1 0， 其特征根為3.自由項(xiàng)f(x)為ex(Acos x Bsin x)型設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程xy py qy e (Acos x Bsin x),(A.14)其中，A,B均為常數(shù)。考慮到指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為三角函數(shù)，所以可設(shè)(A.14 )的特解為*k xy x e (acos x bsin x).其中 a,b 為待定的系數(shù)，當(dāng)i不是方程(A.14)的相伴齊次方程的特征根時(shí)，k 取0;否則，k 取1。將y*代入非齊

20、次方程確定系數(shù) a, b。ri1 3i博，所以齊次方程的通解為ixJ3Y(x) e2(c1cosxc22方程得2不是特征方程r2r 10的特征根，取k0,所以設(shè)特解為y*be2x，代入比較系數(shù)得y(x) 7e2x2x2x2x4be 2be bec 2x2e2，故原方程的一個(gè)特解為y*(x) |e廣。因此y” y y 2e2x的通解為e2xCcos(x C2Sin今x).例 8 求方程y 3y y exCos2x的一個(gè)特解。解 非齊次方程的自由項(xiàng)為excos2 x，且1 2i不是相伴的齊次方程的特征根，故特解可設(shè)為*xy e (acos2 x bsin 2x).A. 2. 2 二階變系數(shù)線性常微

21、分方程的解法代入方程，合并同類項(xiàng)得ex(10ba)cos2 x(b10a)sin 2xexcos2x,即(10ba)cos2 x(b10a)sin2 xcos2 x,比較兩端系數(shù)得10b a 1 b 10a 0，解之得a101，b益，故所求特解為例 9 求方程y” y sin x的通解。解 非齊次方程的自由項(xiàng)為sinx，且i是相伴的齊次方程的特征根，故特解可設(shè)為y (x) x(a cosx bsin x),代入方程，合并同類項(xiàng)得2asinx 2bcosx sinx.而對(duì)應(yīng)的齊次方程y” y 0的通解為Y(x) c1cosx c2sin x,故所求的通解為x cos2 xGCOSXc2si nx

22、.2cos2x1011010sin 2x比較兩端系數(shù)得 a12，b 0，故所求特解為*y (x)xcos2x,2y(x)定理 A.4，定理 A.5 給出了二階線性微分方程(A.6) 的通解y(x) y*( x) Y x,其中丫(x)是微分方程(A.6)相伴的齊次方程的通解，y*( x)是它的一個(gè)特解。在上一小節(jié)中，我們給出了自由項(xiàng)為一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)的常系數(shù)微分方程的求解方 法。對(duì)于變系數(shù)微分方程，一般情況下處理起來比較困難，這里我們給出兩種方法分別用 以求齊次方程的通解丫(x)和非齊次方程的特解y *( x)o一、求二階齊次線性微分方程的特解對(duì)于二階齊次線性微分方程(A.7)y p(x)y

23、q(x)y 0,其通解為y(x) Ciyi(x) gy2(x)，這里的G,C2是任意常數(shù)，(x)，y2(x)是齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解?，F(xiàn)假設(shè)我們已知二階齊次線性微分方程的一個(gè)非零特解yx)，利用 A.1 小節(jié)中的定理 A.1，可以證明如下結(jié)論:o定理 A.7 假設(shè)在方程(A.7)中，函數(shù)p(x),q(x)連續(xù)，yi(x)是(A.7)的一個(gè)非零 特解，則是(A.7)的與yi(x)線性無關(guān)的特解。例10已知ex是二階齊次常微分方程xy“(1 x)y程的通解。解由定理 A.7，可以得到方程的通解為0的一個(gè)特解，求該方y(tǒng)2(x) exUdxex, 齊dxx2exxe17dxexxx /e xe d

24、x e (xexex)x 1所以y(x) c,exc2(x 1).、參數(shù)變異法參數(shù)變異法可以從相伴齊次方程的通解出發(fā)求得非齊次方程的一個(gè)特解y*( x)。設(shè)齊次方程的通解為y(x) c1y1(x) c2y2(x).所謂參數(shù)變異法就是設(shè)想非齊次方程( A.6 )有一個(gè)形如y(x) c1(x)y1(x) c2(x)y2(x),(A.15)的解，這里G(x),C2(x)是兩個(gè)待定的函數(shù)，即參數(shù)G, C2變異為函數(shù)了。下面我們來選擇G(X),C2(x)，使y(x)成為非齊次方程的一個(gè)解。由(A.15)有y(x) C1(x)y1(x) C2(x)y2(x) C1(x)y1(x) C2(x)y2(x).由

25、于要確定兩個(gè)函數(shù)Ci(x),C2(x)，但它們只需滿足一個(gè)方程，所以可以對(duì)Ci(x),C2(x)添加一個(gè)約束條件，事實(shí)上如下的條件可以同時(shí)起到簡化計(jì)算的作用，我們規(guī)定C1(x)y1(x) C2(x)y2(x) 0.(A.16)利用(A.15 )和(A.16),有y(x) C1(x)y1(x) C2(x)y2(x)，y“(x) C1(x)y1“(x) C2(x)y2(x) C1(x)y1(x) C2(x)y2(x)，將以上兩式代入方程(A.6)可得y p(x)y q(x)y (C1(x)y1“(x) C2(x)y2(x) C1(x) y1( x) C2(x)y2(x) p(x)(C1(x)y1(x) C2(x)y2(x)q(x)(C1(x)y1(x) C2(x)y2(x)C1(x)(1y14“(4x)4 4p(4x4)y21(4x)4 4q(x4)y41(4x3)0C2( x ) (1y24“(4x)4 4p(4x4)y