對數(shù)函數(shù)中的復合函數(shù)問題

1、對數(shù)函數(shù)中的復合函數(shù)問題教學目的：通過一些例題的講解，對對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、圖象及與二次函數(shù)的復合函數(shù)問題進行復習，使學生加深對函數(shù)的認識，能夠?qū)σ恍┯须y度的題進行分析解決。教學難點：復合函數(shù)中定義域、值域以及單調(diào)性的求解。教學過程：先復習對數(shù)函數(shù)以及性質(zhì)。下面我們來做幾道例題。我們在遇到的一些問題中往往對數(shù)函數(shù)不是單獨出現(xiàn)的，它總是和其他函數(shù)同時出現(xiàn)，特別是二次函數(shù)。那么如何來解決這類比較復雜的問題呢？把對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)結(jié)合起來，最常見的就是復合函數(shù)。下面就先來看這么一道題例1的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）。A. B. C. D. 分析：由于以1/2為底的對數(shù)函數(shù)是一個單調(diào)減函數(shù)，所以要求該函數(shù)的單調(diào)

2、遞增區(qū)間，也就是要求該二次函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。下面我們就把問題轉(zhuǎn)化為解決二次函數(shù)的問題。對于該二次函數(shù)進行配方，我們可以很容易看出是一個開口向上的拋物線，則其在x小于1/2時為單調(diào)遞減，x大于1/2時為單調(diào)遞增。 那么該題是否到此為止了呢？其實在此對于上面的二次函數(shù)是有范圍的，也就是說即x<-2或x>1綜上所述，我們應該選擇A。一般化：對于類似與上面這題的復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是怎樣的該二次函數(shù)圖象為一開口向上的拋物線。拋物線與x軸有兩個交點 拋物線與x軸只有一個交點 拋物線與x軸沒有交點利用幾何畫板作圖探究并驗證：（略）例2若函數(shù)的值域為一切實數(shù),求實數(shù)的取值范圍。按照通常的做法，要

3、使函數(shù)有意義，必須有：對一切實數(shù)x都成立，即 其實當 時， 可以看出 可見值域并非為R，說明上述解答有誤。要使函數(shù)的值域為R，即要真數(shù)取遍所有正數(shù)，故二次函數(shù)的圖象與x軸有交點，所以，得或。故實數(shù)a的取值范圍為。我們在考慮這類復合函數(shù)問題的時候，要仔細分析各函數(shù)的定義域和值域以及復合后的定義域和值域的變化。以上這兩題中的二次函數(shù)是作為對數(shù)函數(shù)的一部分出現(xiàn)的，那么，對數(shù)函數(shù)作為二次函數(shù)的一部分出現(xiàn)時，又該怎樣呢？下面來看這幾道題：例3若，且，求的最值。分析：先整理，可得：而。這道題要注意對數(shù)的計算，通過配方求出最值。例4若有兩個小于1的正根，且，求實數(shù)的取值范圍。分析：先化簡函數(shù)方程。，由于形式有點復雜，可作代換，（）。由于變量的代換，則其定義域也會隨之改變，有：x<1,則t<0。利用韋達定理列出一系列的不等式，在此題中，注意換元后其變量的定義域的變化。課堂小結(jié)：復合函數(shù)中有關(guān)定義域、值域的問題。注意兩點：一是復合函數(shù)單調(diào)性問題；另一個是整個函數(shù)的定義域的求解。含有對數(shù)函數(shù)的復雜函數(shù)，通過換元可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進行解題。也注意兩點：一是對數(shù)運算的熟練運用；另一個是二次函數(shù)中根的存在性分析。在解決對數(shù)函數(shù)問題