十章動(dòng)量矩定理ppt課件

1、動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)10-1 10-1 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的普通公式一、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的普通公式 2iilmJOxyzirlixiyizyihxihzihiMidmJ2l剛體對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量: : )z(ymhmJ2i2ii2xiix)x(zmhmJ2i2ii2yiiy)y(xmhmJ2i2ii2ziiz)JJ(J21)zy(xmrmJzyx2i2i2ii2ii0 xyzOimixiyir不計(jì)厚度的平面剛體不計(jì)厚度的平面剛體: : 2iixymJ 2iymxJ yx2i2iizJJ)y(xmJ第十章第十章 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理ab例例10-1： 知質(zhì)量知質(zhì)量m的勻質(zhì)桿，桿長(zhǎng)

2、為的勻質(zhì)桿，桿長(zhǎng)為l，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑2llmJ mJll即：即：dmxJ2zdxlmx2l02l2mml31zxdxdmxOl31l例例10-210-2：勻質(zhì)平板如圖示：勻質(zhì)平板如圖示, ,邊長(zhǎng)分別為邊長(zhǎng)分別為a,ba,b長(zhǎng)度長(zhǎng)度. .求求:(1):(1)對(duì)邊的對(duì)邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,(2),(2)對(duì)平板角端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)平板角端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。imOxy2am31Jiy22i2iyma31)am(31am31J2xmb31J )bm(a31JJJ22yxOzOxyR例例10-310-3：試計(jì)算半徑為：試計(jì)算半徑為R R的均質(zhì)等厚圓板對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的均質(zhì)等厚圓板

3、對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 dd2dm解：解：d2J2R00z243R0mR21R21d22ozyxmR41J21JJ例例10-410-4：試計(jì)算半徑為：試計(jì)算半徑為R R的均質(zhì)圓柱體對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的均質(zhì)圓柱體對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 xyzO2izRm21J im22i2izmR21)Rm(21Rm21J二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸公式二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸公式質(zhì)心質(zhì)心C C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為d,0,zCd,0,zC 任一質(zhì)量元任一質(zhì)量元dmdm的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為x x、y y、z z xyOzOCCzddm222yx)dmy(xJ22zOxdm2ddmd)dmy(xdmyd)(xJ22222zCm

4、dmxxdmC2zzmdJJOC2zzmdJJCO轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸公式轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸公式zCxOzOC例例10-5： 勻質(zhì)桿質(zhì)量勻質(zhì)桿質(zhì)量m，桿長(zhǎng)，桿長(zhǎng)l，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JzC2zml31JO2zz)2lm(JJCO222zml121ml41ml31JCvmr)v(mMLOO定義：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定義：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量 對(duì)對(duì)O點(diǎn)的矩點(diǎn)的矩vm質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì) z 軸的矩軸的矩d)v(m)v(mMLzz設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)A的動(dòng)量為的動(dòng)量為 ，對(duì)固定點(diǎn)的矢徑為，對(duì)固定點(diǎn)的矢徑為r。vmnnn222111OvmrvmrvmrL定義：定義：10-2 10-2 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 OzAOLOzA

5、zAvmzrBvm abdiiivmr)v(mMiiOxyzOiMivdmQQrrriQirrrdtrddtrddtrdiQidtrdvviQi思索到質(zhì)心公式思索到質(zhì)心公式 dmrrmCdmvvmC和和)dmdtrdv ()rr ()dmvr (LQQO)dmdtrdr ()dmvr ()dmdtrdv (rQQQ)dmdtrdr ()dmvr ()dmvr (QQQQQCQL)vrm(prQCrmdmr其中其中)vrm(prLLQQCQOQ)vrm(prLLQQCQOQ1、Q點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心C點(diǎn)重合：點(diǎn)重合： 討論：討論：0rQCprLLCCO質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定參考點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任

6、一固定參考點(diǎn)O O的動(dòng)量矩，等于質(zhì)點(diǎn)系相的動(dòng)量矩，等于質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩與質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩與質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)O O點(diǎn)之矩的矢量和點(diǎn)之矩的矢量和 2 2、當(dāng)、當(dāng)Q Q點(diǎn)與質(zhì)心點(diǎn)與質(zhì)心C C重合：重合： CLLO0p 3 3、當(dāng)、當(dāng)Q Q點(diǎn)為固定點(diǎn)點(diǎn)為固定點(diǎn) ：prLLQOQ0vQ4 4、當(dāng)、當(dāng) 時(shí)時(shí) ：QQCvr/0vrQQCprLLQOQ三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩：三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩： JdmrrdmvLz2zCJLCzCz作平面運(yùn)動(dòng)的剛體對(duì)任一固定點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體對(duì)任一固定點(diǎn)O O的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩 k)v(mMJprLLCzCzCCzOxyzOirivdmiM)rv(xy

7、RrCCvO例例10-610-6： 知半徑為知半徑為r r的均質(zhì)輪，在半徑為的均質(zhì)輪，在半徑為R R的固定凹面上的固定凹面上只滾不滑，輪重只滾不滑，輪重W W，均質(zhì)桿，均質(zhì)桿OCOC重重P P，桿長(zhǎng)，桿長(zhǎng)l l，在圖示瞬時(shí)桿，在圖示瞬時(shí)桿OCOC的角速度為的角速度為 ，求系統(tǒng)在該瞬時(shí)對(duì)，求系統(tǒng)在該瞬時(shí)對(duì)O O點(diǎn)的動(dòng)量矩點(diǎn)的動(dòng)量矩 lgp31J)(L2OOCO解：解：r)(RvgWJ)(LCCCCOr)(RgWrr)(RrgW21223r)r)(2R(R2gW3r)r)(2R(R2gWl3gp)(L)(LL2COOCOO10-3 10-3 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理一、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)一、質(zhì)

8、點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O O的動(dòng)量矩定理的動(dòng)量矩定理 iiiOvmrdtddtLddtvdmrvmdtrdiiiiiiiiiiiiamrvmv0vmviiiiieiiiiFFFamiOieOiiiieiiOMMFrFrdtLd0MiOieOiOMdtLd質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的一切外力對(duì)于同一點(diǎn)之矩的矢量和。用于質(zhì)點(diǎn)系的一切外力對(duì)于同一點(diǎn)之矩的矢量和。 留意到：留意到：exixMdtdLeyiyMdtdLezizMdtdL投影方式：投影方式： 例例10-7A:10-7A:分量為分量為P P的物體繞的物體繞O O支座擺動(dòng)支座擺

9、動(dòng), ,寫出擺動(dòng)周期寫出擺動(dòng)周期解解:Plsin)lgP(ldtd0lg gl2T Pl動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理: :擺動(dòng)方程擺動(dòng)方程: :AvllgPlmvLAOxyPlOA例例10-7B: 10-7B: 將將O O支座處添加彈性系數(shù)支座處添加彈性系數(shù)k k的螺旋彈簧的螺旋彈簧, ,寫出擺動(dòng)周期寫出擺動(dòng)周期解解: sinPlklgP 202 gPlkPl g)kPl(PlT 22 擺動(dòng)方程擺動(dòng)方程: :xylPO例例10-8 知：半徑為知：半徑為r，滑輪重為，滑輪重為G，將其視為圓環(huán)。，將其視為圓環(huán)。A物重物重為為P，B物重為物重為Q，且，且PQ。 求：兩重物的加速度及輪的角加速度。求：兩重物的

10、加速度及輪的角加速度。ABO解：解：研討對(duì)象為輪、物體研討對(duì)象為輪、物體A A和和B B。分析受力，分析受力，rgGrvgQrvgPL2BAz運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析QPxFyFGAvBviv對(duì)對(duì)O點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)量矩定理點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)量矩定理OiOMdtdLvrgGQPQrPrdtdvrgGQP得GQPQ)g(PdtdvaG)rQ(PQ)g(Pra二、質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理二、質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 prLLCCOeiCCCCCCOFrpvdtLddtpdrpdtrddtLddtLd0vmvpvCCCeiCCOFrdtLddtLd eiieiCeiiCeiieiOFrFrF)rr (Fr)F(M又：又

11、：121=2eiiCFrdtLd eCieiiMFreCiCMdtLd質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系一切外力對(duì)質(zhì)心之矩的矢量和。用于該質(zhì)點(diǎn)系一切外力對(duì)質(zhì)心之矩的矢量和。 ex ixMdtdLey iyMdtdL eCieiiMFr三、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定律三、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定律 t dMLdeOiOdtMLdeOittOLL212O1OdtMLLeOittOO2112動(dòng)量矩定理的積分方式動(dòng)量矩定理的積分方式 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O O的動(dòng)量矩在一段時(shí)間內(nèi)的增量，等于作的動(dòng)量矩在一段時(shí)間內(nèi)的增量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力在同一時(shí)

12、間段內(nèi)對(duì)用于質(zhì)點(diǎn)系的外力在同一時(shí)間段內(nèi)對(duì)O O點(diǎn)的沖量矩之和。點(diǎn)的沖量矩之和。 1、0MeOi常量OL0Mexi2、常量xL質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒動(dòng)量矩守衡定理實(shí)例動(dòng)量矩守衡定理實(shí)例冰上芭蕾冰上芭蕾,M00 cL0 ,cLx1,Mx0 1J1 2J2 1 J1= 2 J2 J1 J2, 1 J2, 1 PBr2.2B1Arv ,rv)r(gmgmmaF1111AA動(dòng)量矩動(dòng)量矩:外力矩外力矩:動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理:運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系:解得解得:質(zhì)點(diǎn)定理質(zhì)點(diǎn)定理:BA2yFFgmFvAvBAm1vAFAm1BvBFB0 xFFxFyAm1m1Bm2r1r20 FxFy例例10-1310

13、-13：齒輪傳動(dòng)安裝，開場(chǎng)時(shí)角速度分別為：齒輪傳動(dòng)安裝，開場(chǎng)時(shí)角速度分別為0101，0202，重分別為，重分別為P1P1，P2P2，求耦合后的，求耦合后的1 1值。值。解解:t01211dtFRdR2gP101t02222dtFRdR2gP2022211RR)(2gPR)(2gPR0222201111121022201111)RP（PPRPR左輪左輪:右輪右輪:運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系:方程右端化簡(jiǎn)相等方程右端化簡(jiǎn)相等:有有: 1R1 2R2 02 01R1R2FNFFFN12111FRdtdR2gPdtdJ例例10-14：知：自動(dòng)輪：知：自動(dòng)輪A的半徑為的半徑為r1，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1

14、，轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為為M ，從動(dòng)輪，從動(dòng)輪B的半徑為的半徑為r2，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，均質(zhì)膠帶長(zhǎng)為，均質(zhì)膠帶長(zhǎng)為l，質(zhì)量為質(zhì)量為m。求：自動(dòng)輪的角加速度求：自動(dòng)輪的角加速度解：解： 1. 受力分析，設(shè)受力分析，設(shè)A輪和輪和B輪的皮帶長(zhǎng)分輪的皮帶長(zhǎng)分別為別為l1、l2，單位長(zhǎng)度膠帶的質(zhì)量為，單位長(zhǎng)度膠帶的質(zhì)量為，2. 運(yùn)動(dòng)分析：設(shè)輪運(yùn)動(dòng)分析：設(shè)輪A和輪和輪B的角速度和的角速度和角加速度分別為角加速度分別為 1、 2、a1、a2 。122121rr有有BxFByFgmBgl21T2TgmAgl11T2TAxFAyF分別對(duì)分別對(duì)A A輪和輪和B B輪用動(dòng)量矩定理：輪用動(dòng)量矩定理：對(duì)對(duì)A A

15、： 211111ArlJL112A)rT(TMtddL222222BrlJL對(duì)對(duì)B B： 212B)rTT(dtdL(2)rTT()rl(J(1)rT(TM)rl(J2122222211212111聯(lián)立聯(lián)立未知量未知量121221TTTT、BxFByFgmBgl21T2TgmAgl11T2TAxFAyF1122TTTT由于由于2211rr(3)(4)將將(3)(4)(3)(4)代入代入(2) (2) 2121212222)rT(Trr)rl(J(5)由由 )5(1) 1 (121rr212221111212122211mrJrrJMM)rl(lJrrJ其中其中mll)(2110-5 10-5

16、剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程SyzxyzxSac iCFamciCMdtLdxiCxFmayiCyFmaiCMdtdLJLCCxiCCcxFxmma yiCCyFymma CiCCMJJ 剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程例例10-15：均勻圓盤沿斜坡滾下，知盤重：均勻圓盤沿斜坡滾下，知盤重P，半徑，半徑 r, 求：求：下滾時(shí)盤質(zhì)心的加速度與摩擦力。下滾時(shí)盤質(zhì)心的加速度與摩擦力。FmgsinamamaccxFrJCmarmsinmgmacc21rsing3232singacsinPF3解解:NcyFmgcos0mamrJ,arcc221有有:得得: CPCayx FN

17、F例例10-16：桿：桿OA長(zhǎng)長(zhǎng)l，重，重P?？衫@過。可繞過O點(diǎn)的程度軸轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)的程度軸轉(zhuǎn)動(dòng)，A端鉸接端鉸接一半徑為一半徑為R、重為、重為Q的均質(zhì)圓盤，初瞬時(shí)的均質(zhì)圓盤，初瞬時(shí)OA桿處于程度位置，桿處于程度位置，系統(tǒng)靜止。略去各處摩擦，求系統(tǒng)靜止。略去各處摩擦，求OA桿轉(zhuǎn)到恣意位置用桿轉(zhuǎn)到恣意位置用角表示角表示時(shí)的角速度時(shí)的角速度及角加速度及角加速度a。解：受力分析解：受力分析由圓輪受力圖由圓輪受力圖因此因此 00，圓盤在運(yùn)動(dòng)過程中作平移，圓盤在運(yùn)動(dòng)過程中作平移運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析xFyFQPQOxFOyF整體對(duì)整體對(duì)O O點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)量矩定理點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)量矩定理zizMdLdt求求OA桿的角加速度桿的角

18、加速度a2220333lgQPlgQlgPLcosQlcoslPlgQP2332coslQP22 JAa0cos2332lgQPQP由上式解出由上式解出coslgQPQPt2332dd求求OA桿的角速度桿的角速度wPQOxFOyF分別變量分別變量 ddcoslgQPQP2332coslgQPQPddtdddd2332dcos2332d00lgQPQP積分積分sin332lgQPQP得得 當(dāng)瞬心離質(zhì)心矩離是常數(shù)，或瞬心的加速度恒當(dāng)瞬心離質(zhì)心矩離是常數(shù)，或瞬心的加速度恒指向質(zhì)心時(shí)也可以選瞬心為動(dòng)量矩的矩心。指向質(zhì)心時(shí)也可以選瞬心為動(dòng)量矩的矩心。IIMdtdL例例1:例例2:vBvCvAAAB BI

19、vDDCCvI例例10-1710-17： 定齒輪固定在程度面上，分量為定齒輪固定在程度面上，分量為P P的桿繞的桿繞O O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿長(zhǎng)長(zhǎng)l l，并經(jīng)過，并經(jīng)過O1O1，帶動(dòng)半徑，帶動(dòng)半徑r r，重為，重為P1P1的動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng), ,知：自動(dòng)力知：自動(dòng)力偶為偶為M M。求動(dòng)齒輪的角加速度，兩個(gè)齒輪之間的切向力。求動(dòng)齒輪的角加速度，兩個(gè)齒輪之間的切向力。解解:lFMlgP023rFPr101232rl001lr)PP(Mg101926l )PP(MPF11923FrJOO11桿對(duì)桿對(duì)0取動(dòng)量矩取動(dòng)量矩:輪對(duì)輪對(duì)A取動(dòng)量矩取動(dòng)量矩:運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系:有有:輪對(duì)質(zhì)心取動(dòng)量矩輪對(duì)

20、質(zhì)心取動(dòng)量矩:001l600M 00600MFnFFNFFxFyFn01 01F A例例10-18：均勻圓盤分量均為：均勻圓盤分量均為P，半徑均為，半徑均為r。求：。求：B物體物體滾下時(shí)質(zhì)心的加速度與繩子張力。滾下時(shí)質(zhì)心的加速度與繩子張力。FrJAAFrJBBFPagPBBA BBAarrBBrgPPgPr212rgB52解解:gaB54PF51加速度加速度:繩子張力繩子張力:ABPPBBFFaBAA例例10-1910-19：均質(zhì)鼓輪放置粗糙的地面上，在半徑為：均質(zhì)鼓輪放置粗糙的地面上，在半徑為r r 的軸柱上的軸柱上繞著繩索，索的拉力為繞著繩索，索的拉力為F1F1，F(xiàn)2F2。求：輪的角加速度

21、，摩擦力。求：輪的角加速度，摩擦力。解解:maFFF12FRrFrFJ210Ra )rR(F)Rr(FJI21)s(ggJPR)rR(F)RrF2022111（RJrFFF0210:x:或或:運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系:得得:RF2F10IFNF a例例10-2010-20：一根筷子在光滑地面上，開場(chǎng)時(shí)手拿著如圖示位：一根筷子在光滑地面上，開場(chǎng)時(shí)手拿著如圖示位置，然后松手置，然后松手, ,求：筷子此時(shí)的角加速度和地面的正壓力。求：筷子此時(shí)的角加速度和地面的正壓力。解解:122lmJC)(sinlsing3122P)(sinF31312sinlFJc2FmgmaCsinlaaCyC2PF ，0PF52

22、45，條件條件:1. aCx=0Y方向投影方向投影:c:y:xyP Fl/2l/2ac AaACAACaaa2. t=0, w=0。例例10-2110-21：截面為：截面為A A的水管約束如圖，單位時(shí)間內(nèi)流過管的水管約束如圖，單位時(shí)間內(nèi)流過管道的水體質(zhì)量為道的水體質(zhì)量為m m，求：，求：A A，B B支座的動(dòng)反力。支座的動(dòng)反力。解解:ezMdtdLgAvmbFmva)cb(sinmvcosmvB動(dòng) 45045gba)cb(ArvFB2222動(dòng)動(dòng)AxFmvcosmv:x45)(vgAFAx1222動(dòng))FF(sinmv:yBAy動(dòng)動(dòng)45222vgAFFBAy動(dòng)動(dòng)FB動(dòng)動(dòng)FAx動(dòng)動(dòng)FAy動(dòng)動(dòng)mdtva)cb(s