華中科技大學(xué)理論力學(xué)習(xí)題答案ppt課件

1、 101 質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理 102 質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理 103 定軸轉(zhuǎn)動剛體的動力學(xué)定軸轉(zhuǎn)動剛體的動力學(xué) 104 質(zhì)點(diǎn)系的相對運(yùn)動動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的相對運(yùn)動動量矩定理 105 剛體平面運(yùn)動動力學(xué)剛體平面運(yùn)動動力學(xué) 習(xí)題課習(xí)題課第十章第十章 動量矩定理動量矩定理動量定理或質(zhì)心運(yùn)動定理：質(zhì)點(diǎn)系隨質(zhì)心平動的問題。動量定理或質(zhì)心運(yùn)動定理：質(zhì)點(diǎn)系隨質(zhì)心平動的問題。 如繞質(zhì)心軸定軸轉(zhuǎn)動剛體，vC=0，那么其動量恒等于零，質(zhì)心無運(yùn)動，可是剛體確受外力的作用而運(yùn)動。 動量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對于某固定點(diǎn)固定軸的動量矩的改動與外力對同一點(diǎn)軸之矩兩者之間的關(guān)系。10-1質(zhì)點(diǎn)

2、的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理一質(zhì)點(diǎn)的動量矩一質(zhì)點(diǎn)的動量矩質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)O的動量矩：的動量矩： 矢量矢量質(zhì)點(diǎn)對軸質(zhì)點(diǎn)對軸 z 的動量矩：的動量矩： 代數(shù)量代數(shù)量vmrvmmO)()()(xyOzvmmvmm質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)O的動量矩與對軸的動量矩與對軸z 的動量矩之間的關(guān)系：的動量矩之間的關(guān)系：OABvmmO2)(2)(BOAvmmz正負(fù)號規(guī)定與力對軸矩的規(guī)定一樣對著軸看：順時針為負(fù)逆時針為正kg2/s。動量矩度量物體在任一瞬時繞固定點(diǎn)動量矩度量物體在任一瞬時繞固定點(diǎn)(軸軸)轉(zhuǎn)動的強(qiáng)弱。轉(zhuǎn)動的強(qiáng)弱。)( )(vmmvmmzzOFdtvmd)(二質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理二質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理兩邊叉乘矢徑 ,

3、 有Frdtvmdr)(r左邊可寫成vmdtrdvmrdtddtvmdr)()(, )( , 0FmFrvmvvmdtrdO而)()( , )(FmvmmdtdFrvmrdtdOO 質(zhì)點(diǎn)對任一固定點(diǎn)的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對同一點(diǎn)之矩。這就是質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的動量矩定理。故：將上式在經(jīng)過固定點(diǎn)O的三個直角坐標(biāo)軸上投影，得)()( ),()( ),()(FmvmmdtdFmvmmdtdFmvmmdtdzzyyxx 上式稱質(zhì)點(diǎn)對固定軸的動量矩定理，也稱為質(zhì)點(diǎn)動量矩定理的投影方式。即質(zhì)點(diǎn)對任一固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對同一軸之矩。稱為質(zhì)點(diǎn)的動量矩守恒。假設(shè))0)

4、( 0)(FmFmzO那么)( vmmO常矢量)(常量vmmz運(yùn)動分析： 。2)(mllmlvmmOOMlv , 由動量矩定理即)()(FmvmmdtdOO0sin , sin)(2lgmglmldtd 微幅擺動時，并令，那么 , sinlgn202n 解微分方程,并代入初始條件 那么運(yùn)動方程)0, 0(00ttlgcos0，擺動周期lgT2sin)()()(mglgmmTmFmOOO解：將小球視為質(zhì)點(diǎn)。解：將小球視為質(zhì)點(diǎn)。受力分析；受力圖如圖示。受力分析；受力圖如圖示。例例1 單擺知單擺知m，l，t =0時時= 0，從靜止，從靜止 開場釋放。開場釋放。 求單擺的運(yùn)動規(guī)律。求單擺的運(yùn)動規(guī)律。注

5、：計算動量矩與力矩時，符號規(guī)定應(yīng)一致此題規(guī)定逆時針注：計算動量矩與力矩時，符號規(guī)定應(yīng)一致此題規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)檎D(zhuǎn)向?yàn)檎毁|(zhì)點(diǎn)系的動量矩一質(zhì)點(diǎn)系的動量矩質(zhì)點(diǎn)系對點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對點(diǎn)O動量矩：動量矩：質(zhì)點(diǎn)系對軸質(zhì)點(diǎn)系對軸z 動量矩：動量矩：10-2質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理iiiiiOOvmrvmmL)( zOiizzLvmmL )(二質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理二質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理左邊交換求和與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的順序，而則, 0)( ),()(iiOiiOOFmvmmL)()()(eOeiOOMFmdtLd一質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)的動量矩定理), 3 , 2 , 1( )()()()()(niFmFmvmmdtdeiO

6、iiOiiO 對質(zhì)點(diǎn)系，有), 3 , 2 , 1( )()()()()(niFmFmvmmdtdeiOiiOiiO 對質(zhì)點(diǎn)Mi ：)()()()()()()( ,)( ,)(ezeizzeyeiyyexeixxMFmdtdLMFmdtdLMFmdtdL將上式在經(jīng)過固定點(diǎn)O的三個直角坐標(biāo)軸上投影，得 質(zhì)點(diǎn)系對固定軸的動量矩定理。質(zhì)點(diǎn)系的動量矩守恒質(zhì)點(diǎn)系的動量矩守恒當(dāng)時，常矢量。當(dāng)時，常矢量。當(dāng)時，常量。當(dāng)時，常量。0)(eOM0)(ezMOLzL 定理闡明內(nèi)力不會改蛻變點(diǎn)系的動量矩，只需外力才干改蛻變點(diǎn)系的動量矩。解：解： 系統(tǒng)的動量矩守恒。系統(tǒng)的動量矩守恒。 , 0)()(eOFmrvvmr

7、vmABAA)(02vvA猴A與猴B向上的絕對速度是一樣的,均為 。2v例例2 知：猴子知：猴子A重重=猴子猴子B重，猴重，猴B以相對繩速度以相對繩速度上爬，猴上爬，猴A不動，問當(dāng)猴不動，問當(dāng)猴B向上爬時，猴向上爬時，猴A將如何動？將如何動？動的速度多大？輪重不計動的速度多大？輪重不計vm0020221maamaLz2)sin(22lamLz00202)sin(laa21zzLL3平面運(yùn)動剛體平面運(yùn)動剛體平面運(yùn)動剛體對垂直于質(zhì)量對稱平面的固定軸的動量矩，等于平面運(yùn)動剛體對垂直于質(zhì)量對稱平面的固定軸的動量矩，等于剛體伴隨質(zhì)心作平動時質(zhì)心的動量對該軸的動量矩與繞質(zhì)心軸剛體伴隨質(zhì)心作平動時質(zhì)心的動量

8、對該軸的動量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動時的動量矩之和。作轉(zhuǎn)動時的動量矩之和。ziiiizzJrmvmmL2)(CCzzJvmmL)(剛體動量矩計算：剛體動量矩計算：1平動剛體平動剛體CCCOOvmrvmmL)()(CCCiiiiivmrvrmvmr)(CzzvmmL 平動剛體對固定點(diǎn)軸的動量矩等于剛體質(zhì)心的動量對該點(diǎn)軸的動量矩。2定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對該軸轉(zhuǎn)動慣量與角速定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對該軸轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。度的乘積。11222321RRvv3232222221)(vRmmRJRJLOOCOBOAOLLLL 2332222211)(RvmR

9、vmJJ解：解：例例4 滑輪滑輪A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑輪滑輪B：m2，R2，J2 ；物體；物體C：m3 求系統(tǒng)對求系統(tǒng)對O軸的動量矩。軸的動量矩。RmgMMeOsin)(RmgMmvRJtsindd22sinmRJmgRMRa,MJRmaRvmJLORvatvdd1v12Vq2v222cosd1rvtqnLVCDcd111cosd1rvtqnLVABab)coscos(dd)(111222rvrvqtLnFMVOO)coscos(d1d111222rvrvtqnLVOnABabCDcdABCDabcdOLLLLLd，不計摩擦。，不計摩擦。mOJ1m2m1r2rNF1TF2TF)

10、(222211rmrmJOgrmrmFMeO)()(2211)(2222112211)(ddrmrmJgrmrmtO)(dd)(eOOFMtL222111rvmrvmJLOOCyNammmgmmmF)()(2121212211212211)(mmmrmrmmmmamammymyaiiiCCy 111111rmamFgmT)(111rgmFT)()(221121rmrmgmmmFN1m222222rmamgmFT)(222rgmFT2m 一、動力學(xué)方程一、動力學(xué)方程 對于一個定軸轉(zhuǎn)動剛體代入質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理，有zzJL )()(ezzMJdtd)(22)( ezzezzMdtdJMJ或剛體定軸轉(zhuǎn)

11、動微分方程處理兩類問題：處理兩類問題：知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律。知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律。知剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律，求作用于剛體的外力矩。知剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律，求作用于剛體的外力矩。但不能求出軸承處的約束反力，需用質(zhì)心運(yùn)動定理求解。但不能求出軸承處的約束反力，需用質(zhì)心運(yùn)動定理求解。10-310-3定軸轉(zhuǎn)動剛體的動力學(xué)定軸轉(zhuǎn)動剛體的動力學(xué) 特殊情況：特殊情況： 假設(shè)假設(shè) ,那么恒量，剛體作勻速那么恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)動或轉(zhuǎn)動或 堅持靜止。堅持靜止。 假設(shè)假設(shè) 常量，那么常量，那么 =常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動。常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動。 將將 與與 比較，剛體的轉(zhuǎn)動慣量比較，剛體的轉(zhuǎn)動慣

12、量 是剛是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量。體轉(zhuǎn)動慣性的度量。0)()()(ezezFmM, 0)(ezM)(ezzMJFam zI二、二、 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量的計算剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量的計算一定義：一定義：假設(shè)剛體的質(zhì)量是延續(xù)分布，那么假設(shè)剛體的質(zhì)量是延續(xù)分布，那么2iizrmJdmrJmz2 剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體對某軸轉(zhuǎn)動慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動形狀改動的難易程度。 轉(zhuǎn)動慣量恒為正值，國際單位制中單位kgm2 。積分法具有規(guī)那么幾何外形的均勻剛體可采用 例5 1勻質(zhì)細(xì)直桿長為l ,質(zhì)量為m 。 求：對z軸的轉(zhuǎn)動慣量 ； 對z 軸的轉(zhuǎn)動慣量 。zJ zJ二轉(zhuǎn)動慣量的計算二轉(zhuǎn)動慣量的計算2222

13、121 mldxlmxJllz202 31 mldxlmxJlz解：解：42)d2(402RrrrJARAO222mRmRRmJiizAiiirrmd22RmA221mRJO2. 回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑由所定義的長度由所定義的長度 稱為剛體對稱為剛體對 z 軸的回轉(zhuǎn)半徑。軸的回轉(zhuǎn)半徑。mIzz2zzmJ 對于均質(zhì)剛體，僅與幾何外形有關(guān)，與密度無關(guān)。對于幾何外形一樣而資料不同密度不同的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是一樣的。z 在機(jī)械工程設(shè)計手冊中，可以查閱到簡單幾何外形或已規(guī)范化的零件的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)剛體的，以供參考。zzJ和3. 平行移軸定理平行移軸定理同一個剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量

14、普通是不一樣的。同一個剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量普通是不一樣的。2mdJJzCz 剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對經(jīng)過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間間隔的平方之乘積。)(222iiiiizCyxmrmJ)(222iiiiizyxmrmJ)( , 22dyxmJdyyxxiiiziiiiiiiiiiymddmyxm2 )()(222證明：設(shè)質(zhì)量為m的剛體，質(zhì)心為C，CzzO/ 2 0 , mdJJmyymmmzCzCiii例如，對于例1中均質(zhì)細(xì)桿z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為22223141121)2(mlmlmllmJJzz剛體對經(jīng)過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量具有最小值。剛體對經(jīng)過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量

15、具有最小值。當(dāng)物體由幾個規(guī)那么幾何外形的物體組成時，可先計算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動慣量, 然后再加起來就是整個物體的轉(zhuǎn)動慣量。 假設(shè)物體有空心部分, 要把此部分的轉(zhuǎn)動慣量視為負(fù)值來處置。4計算轉(zhuǎn)動慣量的組合法計算轉(zhuǎn)動慣量的組合法盤桿OOOJJJ222221)(2131RlmRmlm)423(213122221lRlRmlm解：解：例例8 鐘擺：鐘擺： 均質(zhì)直桿均質(zhì)直桿m1, l ； 均質(zhì)圓盤：均質(zhì)圓盤：m2 , R 。 求求 JO 。例例9 提升安裝中，輪提升安裝中，輪A、B的分量分別為的分量分別為P1 、 P2 ,半徑分別半徑分別為為 r1 、 r2 , 可視為均質(zhì)圓盤可視為均質(zhì)圓盤; 物體

16、物體C 的重的重量為量為P3 ; 輪輪A上作用常力矩上作用常力矩M1 。求求 物體物體C上升的加速度。上升的加速度。取輪B連同物體C為研討對象(2) )21(232232222rPrTvrgPrgPdtd補(bǔ)充運(yùn)動學(xué)條件112222 ,rarvr化簡(1) 得：化簡(2) 得：33222PTagPPTrMagP1112gPPPPrMa22/321311(1) 21111211TrMrgP解解: 取輪取輪A為研討對象為研討對象iiiiiCCvmrvmML irCivvv0mrmriiC iriiCvmrL iriiCiiCvmrvmrL0)( CiiCiivrmvmr10-3質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量

17、矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理 剛體平面運(yùn)動微分方程剛體平面運(yùn)動微分方程iiiCOvmrrL iiiiiCvmrvmrCiiiCiiLvmrvmvm,CCCOLvmrLCCOLvmM eiiCCCOFrLvmrttLdddd eiieiCFrFr0dd,ddCCCCvmtrvtrtLvmtrvmtrCCCCCdddddd eiCCCFrvmtrdd eiCeiCFrFr eiiCFrtLdd得得 )(ddeiCCFMtL或或 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心和固定點(diǎn)的動量矩定理，具有完全類似的數(shù)學(xué)方式，而對于質(zhì)心以外的其它動點(diǎn)，普通并不存在這種簡單的關(guān)系。三剛體平面運(yùn)動微分方程取質(zhì)心C為動系原點(diǎn)，那么此平

18、面運(yùn)動可分解為 隨質(zhì)心C的平動 (xC , yC) 繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動 可經(jīng)過質(zhì)心運(yùn)動定理和相對質(zhì)心的動量矩定理來確定。 CCCCCJJdtdLJL , )( , )()(eCCeCFmJFam )(eCCeyCyexCxFMJFmaFma )(eCCennCettCFMJFmaFmaCFrMmmgFmaFmaCNCyCx2raaaaCCCxCy, 0mgFmaFrrFMrmMraNCCCC,2222NsFfF rrmgfMCs22ratC很很小小sin,21,2mrJSaCtC sinmgFmatCFrJCcos2mgFrRvmNCrRs)sin(00tssrRg3220trRggrRvs32s

19、in230grRvs23,0000dd2322srRgts0t, 00vss一根本概念一根本概念1動量矩：物體某瞬時機(jī)械運(yùn)動強(qiáng)弱的一種度量。動量矩：物體某瞬時機(jī)械運(yùn)動強(qiáng)弱的一種度量。2質(zhì)點(diǎn)的動量矩：質(zhì)點(diǎn)的動量矩：3質(zhì)點(diǎn)系的動量矩：質(zhì)點(diǎn)系的動量矩：4轉(zhuǎn)動慣量：物體轉(zhuǎn)動時慣性的度量。轉(zhuǎn)動慣量：物體轉(zhuǎn)動時慣性的度量。vmrvmmO)(iiiOvmrL 對于均勻直桿，細(xì)圓環(huán)，薄圓盤圓柱對過質(zhì)心垂直于質(zhì)量對稱平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量要熟記。第十章動量矩定理習(xí)題課第十章動量矩定理習(xí)題課5剛體動量矩計算剛體動量矩計算平動：平動：定軸轉(zhuǎn)動：定軸轉(zhuǎn)動：平面運(yùn)動：平面運(yùn)動：)( , CzzCCOvmmLvmrLzzJ

20、LCCzzJvmmL)( 二質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理及守恒二質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理及守恒1質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理)()( )()(FmvmmdtdFmvmmdtdzzOO或2質(zhì)點(diǎn)的動量矩守恒質(zhì)點(diǎn)的動量矩守恒 假設(shè)，那么 常矢量。 假設(shè)，那么 常量。0)(FmO0)(Fmz)( vmmO)( vmmz三質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理及守恒三質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理及守恒1質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理)()()()()( )(ezezzeOeOOMFmdtdLMFmdtLd或2質(zhì)點(diǎn)系的動量矩守恒質(zhì)點(diǎn)系的動量矩守恒 假設(shè)，那么常矢量 假設(shè)，那么常量0)(eOm0)(ezmOLzL)( )( ezCzCeCCMdt

21、dLMdtLd或四質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動量矩定理四質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動量矩定理)( )(zFmJFmJzzz 或五剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程和剛體平面運(yùn)動微分方程五剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程和剛體平面運(yùn)動微分方程1剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程2剛體平面運(yùn)動微分方程剛體平面運(yùn)動微分方程或XmaCxYmaCy)(FmJCCXxmC YymC )(FmJCC 六動量矩定理的運(yùn)用六動量矩定理的運(yùn)用運(yùn)用動量矩定理，普通可以處置以下一些問題：對單軸運(yùn)用動量矩定理，普通可以處置以下一些問題：對單軸傳動系統(tǒng)尤為方便傳動系統(tǒng)尤為方便1知質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動運(yùn)動，求系統(tǒng)所受的外力或外力矩。2知質(zhì)點(diǎn)系所受的外力矩是常力矩或時間的

22、函數(shù)，求剛體的角加速度或角速度的改動。3知質(zhì)點(diǎn)所遭到的外力主矩或外力矩在某軸上的投影代數(shù)和等于零，運(yùn)用動量矩守恒定理求角速度或角位移。七運(yùn)用舉例七運(yùn)用舉例例例1 均質(zhì)圓柱，半徑為均質(zhì)圓柱，半徑為r，分量為，分量為Q，置圓柱于墻角。初始，置圓柱于墻角。初始角速度角速度0，墻面、地面與圓柱接觸處的動滑動摩擦系數(shù)均為，墻面、地面與圓柱接觸處的動滑動摩擦系數(shù)均為 f ，滾阻不計，求使圓柱停頓轉(zhuǎn)動所需求的時間。，滾阻不計，求使圓柱停頓轉(zhuǎn)動所需求的時間。解：選取圓柱為研討對象。解：選取圓柱為研討對象。(留意只是一個留意只是一個剛體剛體)受力分析如圖示。受力分析如圖示。運(yùn)動分析：質(zhì)心運(yùn)動分析：質(zhì)心C不動，剛

23、體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。不動，剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。根據(jù)剛體平面運(yùn)動微分方程)0 , 0(CyCxaaBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212補(bǔ)充方程：BBAANfFNfF , 將式代入、兩式，有0) 1(2QNfB1 , 1 , 1 , 1 22222fQfFfQfNfQfFfQNAABB將上述結(jié)果代入式，有dtffrgfdrgfffdtdt0202112 , 2110解得：) 1 ( 2)1 (02fgfrftBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212補(bǔ)充方程：BBAANfFNfF , 例例2 兩根質(zhì)量各為兩根質(zhì)量各為8 kg的均質(zhì)細(xì)桿固連成的均質(zhì)細(xì)桿固連成T 字型，可繞經(jīng)過字型，可繞經(jīng)過O點(diǎn)的程度軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)點(diǎn)的程度軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)OA處于程度位置時處于程度位置時, T 形桿具有角速度形桿具有角速度 =4rad/s 。求該瞬時軸承。求該瞬時軸承O的反力。的反力。解：選解：選T 字型桿為研討對象。字型桿為研討對象。受力分析如圖示。受力分析如圖示。 rad