異面直線所成角求法-總結(jié)加分析

1、異面直線所成的角一、平移法：常見三種平移方法：直接平移：中位線平移（尤其是圖中出現(xiàn)了中點(diǎn)）：補(bǔ)形平移法：“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過補(bǔ)形，可將問題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來處理，利用“補(bǔ)形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1在空間四邊形ABCD中，ADBC2，E，F(xiàn)分別為AB、CD的中點(diǎn)，EF，求AD、BC所成角的大小解：設(shè)BD的中點(diǎn)G，連接FG，EG。在EFG中 EF FGEG1EGF120° AD與BC成60°的角。2正ABC的邊長為a，S為ABC所在平面外的一點(diǎn)，SASBSCa，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點(diǎn)求異面直線SA和EF所成角答案

2、：45°BMANCS3S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，如圖SASBSC，且ASBBSCCSA，M、N分別是AB和SC的中點(diǎn)求異面直線SM與BN所成的角的余弦值證明：連結(jié)CM，設(shè)Q為CM的中點(diǎn)，連結(jié)QN 則QNSMQNB是SM與BN所成的角或其補(bǔ)角連結(jié)BQ，設(shè)SCa，在BQN中BN NQSMa BQCOSQNB4如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90°，M、N分別是A1B1和A1C1的中點(diǎn)，若BCCACC1，求BM與AN所成的角解：連接MN，作NGBM交BC于G，連接AG，易證GNA就是BM與AN所成的角設(shè)：BCCACC12，則AGAN，GNBM，cosGNA。

3、5如圖，在正方體中，E、F分別是、CD的中點(diǎn)求與所成的角。證明：取AB中點(diǎn)G，連結(jié)A1G，F(xiàn)G， 因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以GFAD，又A1D1AD，所以GFA1D1，故四邊形GFD1A1是平行四邊形，A1GD1F。設(shè)A1G與AE相交于H，則A1HA是AE與D1F所成的角。因?yàn)镋是BB1的中點(diǎn)，所以RtA1AGABE, GA1A=GAH,從而A1HA=90°,即直線AE與D1F所成的角為直角。B¢(圖128)A¢ABC¢D¢CDFE6如圖128的正方體中，E是AD的中點(diǎn) (1)圖中哪些棱所在的直線與直線BA成異面直線? (2)求直線BA和CC所成

4、的角的大??； (3)求直線AE和CC所成的角的正切值； (4)求直線AE和BA所成的角的余弦值解：(1) A¢Ï平面BC，又點(diǎn)B和直線CC都在平面BC內(nèi)，且BÏCC, 直線BA與CC是異面直線 同理，正方體12條棱中的CD、DD、DC、AD、BC所在的直線都和直線BA成異面直線 (2) CCBB， BA和BB所成的銳角就是BA和CC所成的角 ABB=45° BA和CC所成的角是45° (3) AABBCC，故AE和AA所成的銳角AAE是AE和CC所成的角在RtAAE中，tanAAE，所以AE和CC所成角的正切值是 (4)取BC的中點(diǎn)F，連EF、

5、BF，則有EFA¢B¢AB, ABFE是平行四邊形，從而BFAE, 即BFAE且BF=AE. BF與BA所成的銳角ABF就是AE和BA所成的角A¢BFM(圖129)設(shè)正方體各棱長為2，連AF，利用勾股定理求出ABF的各邊長分別為AB2，AFBF，由余弦定理得：cosABF7. 長方體ABCDA1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求異面直線B1D與BC1所成角的大小。解法一：如圖，過B1點(diǎn)作B1EBC1交CB的延長線于E點(diǎn)。則DB1E或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與BC1所成角，連結(jié)DE交AB于M，DE=2DM=3，DB1E= DB1E=。解法二：如圖，在平

6、面D1DBB1中過B點(diǎn)作BEDB1交D1B1的延長線于E，則C1BE就是異面直線DB1與BC1所成的角，連結(jié)C1E，在B1C1E中，C1B1E=135°，C1E=3，C1BE=，C1BE=。練習(xí)：8. 如圖，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD與PC所成角的余切值為。9. 在長方體ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=，求D B和AC所成角的余弦值. 中位線平移法：構(gòu)造三角形找中位線，然后利用中位線的性質(zhì)，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面問題，解三角形求之。解法一：如圖連結(jié)B1C交BC1于0，過0點(diǎn)作OEDB1，則BOE為所求的異面直線DB1與

7、BC1所成的角。連結(jié)EB，由已知有B1D=，BC1=5，BE=，BOE= BOE=解法二：如圖，連DB、AC交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作OEDB1，過E點(diǎn)作EFC1B，則OEF或其補(bǔ)角就是兩異面直線所成的角，過O點(diǎn)作OMDC，連結(jié)MF、OF。則OF=，OEF=，異面直線B1D與BC1所成的角為。解法三：如圖，連結(jié)D1B交DB1于O，連結(jié)D1A，則四邊形ABC1D1為平行四邊形。在平行四邊形ABC1D1中過點(diǎn)O作EFBC1交AB、D1C1于E、F，則DOF或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與BC1所成的角。在ADF中DF=，DOF=，DOF=。課堂練習(xí)10. 在正四面體ABCD中，已知E是棱BC的中點(diǎn)，求異面直線

8、AE和BD所成角的余弦值。補(bǔ)形平移法：在已知圖形外補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以例于找出平行線。解法一：如圖，以四邊形ABCD為上底補(bǔ)接一個(gè)高為4的長方體ABCD-A2B2C2D2，連結(jié)D2B，則DB1D2B，C1BD2或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與BC1所成的角，連C1D2，則C1D2C2為Rt，C1BD2=，異面直線DB1與BC1所成的角是。課堂練習(xí)：11. 求異面直線A1C1與BD1所成的角的余弦值。在長方體ABCD-A1B1C1D1的面BC1上補(bǔ)上一個(gè)同樣大小的長方體，將A1C1平移到BE，則D1BE或其補(bǔ)角就是異面直線A1C1與BD1所成的角，在BD1E中，BD1=3，  

9、0;二、利用模型求異面直線所成的角模型1引理：已知平面的一條斜線a與平面所成的角為1，平面內(nèi)的一條直線b與斜線a所成的角為，與它的射影a所成的角為2。求證：cos= cos1·cos2。在平面a的斜線a上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作直線c、b的垂線PO、PB，垂足為O、B連接OB，則OBb.在直角AOP中，.在直角ABC中，.在直角ABP中，.所以 所以PbABO證明：設(shè)PA是的斜線，OA是PA在上的射影，OB/b，如圖所示。則PAO=1，PAB=，OAB=2，過點(diǎn)O在平面內(nèi)作OBAB，垂足為B，連結(jié)PB。可知PBAB。所以cos1=， cos=，cos2=。所以cos= cos1

10、3;cos2。利用這個(gè)模型來求兩條異面直線a和b所成的角，即引理中的角。需：過a的一個(gè)平面，以及該平面的一條斜線b以及b在內(nèi)的射影。12. 如圖，MA平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且MA=AB=a，試求異面直線MB與AC所成的角。ABCDM解：由圖可知，直線MB在平面ABCD內(nèi)的射影為AB，直線MB與平面ABCD所成的角為45°，直線AC與直線MB的射影AB所成的角為45°，所以直線AC與直MB所成的角為，滿足cos=cos45°· cos45°=，所以直線AC與MB所成的角為60°。13. 已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，

11、在底面上的射影為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為（ D ）（A） （B） （C） (D) 解：設(shè)的中點(diǎn)為D，連結(jié)D，AD，易知即為異面直線與所成的角,由三角余弦定理，易知.故選D PEDFABC14. 如圖，在立體圖形P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)直角梯形，BAD=90°，AD/BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD與底面成30°角，AEPD于D。求異面直線AE與CD所成的角的大小。解：過E作AD的平行線EF交AD于F，由PA底面ABCD可知，直線AE在平面ABCD內(nèi)的射影為AF，直線AE與平面ABCD所成的角為DAE，其大小為60°

12、，射影AF與直線CD所成的角為CDA，其大小為45°，所以直線與直線所成的角滿足cos=cos60°· cos45°=，所以其大小為arccos。模型2 定理：四面體ADBCD兩相對棱AC、BD間的夾角為q，則有證明： 所以有：15. 長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成的角。 解：連結(jié)BC1、A1B在四面體為，易求得  由定理得：   所以  二、向量法求異面直線所成的角16. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是相鄰兩

13、側(cè)面BCC1B1及CDD1C1的中心。求A1E和B1F所成的角的大小。解法一：（作圖法）作圖關(guān)鍵是平移直線，可平移其中一條直線，也可平移兩條直線到某個(gè)點(diǎn)上。BACDFEB1A1D1C1GHSRPQ作法：連結(jié)B1E，取B1E中點(diǎn)G及A1B1中點(diǎn)H，連結(jié)GH，有GH/A1E。過F作CD的平行線RS，分別交CC1、DD1于點(diǎn)R、S，連結(jié)SH，連結(jié)GS。由B1H/C1D1/FS，B1H=FS，可得B1F/SH。在GHS中，設(shè)正方體邊長為a。GH=a（作直線GQ/BC交BB1于點(diǎn)Q，連QH，可知GQH為直角三角形），HS=a（連A1S，可知HA1S為直角三角形），GS=a（作直線GP交BC于點(diǎn)P，連PD

14、，可知四邊形GPDS為直角梯形）。CosGHS=。BACDFEB1A1D1C1所以直線A1E與直線B1F所成的角的余弦值為。解法二：（向量法）分析：因?yàn)榻o出的立體圖形是一個(gè)正方體，所以可以在空間建立直角坐標(biāo)系，從而可以利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出空間中每一個(gè)向量，從而可以用向量的方法來求出兩條直線間的夾角。以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，設(shè)BC長度為2。則點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（0，2，2），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0，1），點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（0，0，2），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1，1）；所以向量的坐標(biāo)為（-1，2，1），向量的坐標(biāo)為（2，1，-1），所以這兩個(gè)向量的夾角滿足cos=-。所以直線A1E與直

15、線B1F所成的角的余弦值為ABCDMN17. 已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分別為BC和AD的中點(diǎn)，設(shè)AM和CN所成的角為，求cos的值。（平移法也可）解：由已知得，空間向量，不共面，且兩兩之間的夾角均為60°。由向量的加法可以得到=（+），=+所以向量與向量的夾角（即角或者的補(bǔ)角）滿足cos=，其中·=（+）·（+）=（·+·+（）·+·）=a2（+1）=a2；|2=（+）·（+）=（1+1+1）a2= a2；|2=（+）·（+）=+1 a2= a2。所以cos

16、=| cos|=。ABCDEFG18. 已知空間四邊形ABCD中，AB=CD=3，E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=，求AB和CD所成的角的大小。解：取AC上點(diǎn)G，使AG：GC=1：2。連結(jié)EG、FG，可知EG/AB，F(xiàn)G/CD，3EG=2AB，3FG=CD。由向量的知識(shí)可知=+=+，設(shè)向量和的夾角為。則由|2=（+）·（+）=4+1+4cos=7，得cos=，所以AB和CD所成的角為60°。19. （思考題）如圖，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱AA1長為b,且AA1與AB、AD的夾角都是1

17、20°.求：(1)AC1的長； (2)直線BD1與AC所成的角的余弦值.技巧與方法：數(shù)量積公式及向量、模公式的巧用、變形用. BD1與AC所成角的余弦值為.判斷是非：(1)(3)(8)(10)正確，其余錯(cuò)；選擇：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)5(2)相交，(5)平行，其余異面；（6）：(D)，取AB中點(diǎn)M，CC1中點(diǎn)N，連B1E和B1F；（7）答案：(A)，延長B1A1至M，使A1MA1D1，連MA，取AB中點(diǎn)N8(D)；9(E)；10(D)；11(C)；三，取AD中點(diǎn)E，則MEN90°；四，取AC中點(diǎn)F，連EF、BF，求得BEAD5，BFAC3；五，分別取AC、B

18、1C1的中點(diǎn)P、Q，則PMQN是矩形，設(shè)CC1MQa，則MPa；六，取AC中點(diǎn)F，連EF、BF，則EF4，BEBF3異面直線所成的角-作業(yè)班級： 姓名： 學(xué)號： 一、判斷是非(下列命題中，正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)梯形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)； (2)對邊相等的四邊形是平行四邊形； (3)平行于同一直線的兩直線平行； (4)垂直于同一直線的兩直線平行； (5)兩條直線確定一個(gè)平面； (6)經(jīng)過三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面； (7)無公共點(diǎn)的兩直線異面； (8)兩異面直線無公共點(diǎn)； (9)兩異面直線可以同時(shí)平行于一直線； (10)兩異面直線可以同時(shí)垂直于一直線； (11)不同在一個(gè)已知

19、平面內(nèi)的兩直線異面； (12)互相垂直的兩條直線必可確定一平面二、選擇題1. 沒有公共點(diǎn)的兩條直線的位置關(guān)系是( ) (A)平行 (B)異面 (C)平行或異面 (D)不能確定2. 分別在兩相交平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是( ) (A)異面 (B)平行 (C)平行或異面 (D)平行或異面或相交3. 兩條異面直線指的是( ) (A)在空間不相交的兩條直線(B)某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線 (C)分別位于兩個(gè)不同平面的兩條直線 (D)不同在任一平面內(nèi)的兩條直線4. a、b是異面直線，b、c也是異面直線，那么a、c的位置是( ) (A)異面 (B)異面或平行 (C)異面或相交 (D)相交

20、、平行或異面5. 說出正方體中各對線段的位置關(guān)系： (1) AB和CC1； (2)A1C和BD1； (3)A1A和CB1； (4)A1C1和CB1； (5)A1B1和DC； (6)BD1和DC.6. 在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成角的余弦值是( )7. 如圖，A1B1C1ABC是直三棱柱(三側(cè)面為矩形)，BCA=90°，點(diǎn)D1、F1 分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)若BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是( ) 8. 正方體ABCDA1B1C1D1中，直線BC1與AC (A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)異面且垂直 (D)異面但不垂直9. 設(shè)a、b、c是空間中的三條直線，下面給出四個(gè)命題： 如果ab、bc，則ac； 如果a和b相交，b和c相交，則a和c也相交；如果a、b是異面直線，c、b是異面