課程釋疑2第二章隨機(jī)變量課件

1、課程釋疑2第二章隨機(jī)變量第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量問問2.1：引入隨機(jī)變量有何意義？引入隨機(jī)變量有何意義？ 答：答：隨機(jī)變量的引入是概率論發(fā)展走向成熟的隨機(jī)變量的引入是概率論發(fā)展走向成熟的一個(gè)標(biāo)志，它彌補(bǔ)了隨機(jī)試驗(yàn)下的隨機(jī)事件種一個(gè)標(biāo)志，它彌補(bǔ)了隨機(jī)試驗(yàn)下的隨機(jī)事件種類繁多，不易一一總結(jié)它們?nèi)≈狄?guī)律的缺陷，類繁多，不易一一總結(jié)它們?nèi)≈狄?guī)律的缺陷，因?yàn)槿绻离S機(jī)變量的分布，隨機(jī)試驗(yàn)下任因?yàn)槿绻离S機(jī)變量的分布，隨機(jī)試驗(yàn)下任一隨機(jī)事件的概率也隨之可以得到；另則引入一隨機(jī)事件的概率也隨之可以得到；另則引入隨機(jī)變量后，可以使用數(shù)學(xué)中的微積分工具討隨機(jī)變量后，可以使用數(shù)學(xué)中的微積分工具討論隨機(jī)變

2、量的分布。論隨機(jī)變量的分布。 課程釋疑2第二章隨機(jī)變量問問2.2：隨機(jī)變量的分布函數(shù)、分布律、密度函隨機(jī)變量的分布函數(shù)、分布律、密度函數(shù)有何聯(lián)系與區(qū)別？數(shù)有何聯(lián)系與區(qū)別？ 答：答：隨機(jī)變量的分布函數(shù)刻劃了隨機(jī)變量的取隨機(jī)變量的分布函數(shù)刻劃了隨機(jī)變量的取值規(guī)律，不管是連續(xù)型還是離散型或既不是連值規(guī)律，不管是連續(xù)型還是離散型或既不是連續(xù)型又不是離散型隨機(jī)變量都可用分布函數(shù)來續(xù)型又不是離散型隨機(jī)變量都可用分布函數(shù)來描述其取值規(guī)律；而分布律只能描述離散型隨描述其取值規(guī)律；而分布律只能描述離散型隨機(jī)變量的取值規(guī)律；密度函數(shù)只能描述連續(xù)型機(jī)變量的取值規(guī)律；密度函數(shù)只能描述連續(xù)型隨機(jī)變量的取值規(guī)律。隨機(jī)變量

3、的取值規(guī)律。 課程釋疑2第二章隨機(jī)變量 它們的聯(lián)系在于對離散型隨機(jī)變量它們的聯(lián)系在于對離散型隨機(jī)變量X，當(dāng)知，當(dāng)知道了道了X的分布律，可通過求概率的分布律，可通過求概率P(X x)（x取任意取任意的值）求得的值）求得X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)；反之也一樣。對；反之也一樣。對連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X，當(dāng)知道了，當(dāng)知道了X的密度函數(shù)的密度函數(shù)f(x)，可通過積分可通過積分 求得分求得分布函數(shù)布函數(shù)F(x)；反之，當(dāng)知道了分布函數(shù)；反之，當(dāng)知道了分布函數(shù)F(x)，可，可通過對通過對F(x)求導(dǎo)，即求導(dǎo)，即 （對一切的連續(xù)（對一切的連續(xù)點(diǎn)處）求得密度函數(shù)點(diǎn)處）求得密度函數(shù)f(x)。 )( ,

4、)()( xxdxxfxF)()(xfxF 課程釋疑2第二章隨機(jī)變量問問2.3：二項(xiàng)分布的背景是什么？二項(xiàng)分布的背景是什么？ 答：答：做做n次重復(fù)獨(dú)立的試驗(yàn)，在每次試驗(yàn)中事件次重復(fù)獨(dú)立的試驗(yàn)，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)發(fā)生的概率為生的概率為p，如果記隨機(jī)變量，如果記隨機(jī)變量X為為n次試驗(yàn)中事件次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱隨機(jī)變量發(fā)生的次數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布服從二項(xiàng)分布B(n,p).在實(shí)際生活中有很多問題都可歸結(jié)為二項(xiàng)分布。例在實(shí)際生活中有很多問題都可歸結(jié)為二項(xiàng)分布。例有一張?jiān)嚲碛∮惺李}目，每個(gè)題目都為四個(gè)選項(xiàng)有一張?jiān)嚲碛∮惺李}目，每個(gè)題目都為四個(gè)選項(xiàng)的選擇題，四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是正確

5、的。某位學(xué)的選擇題，四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是正確的。某位學(xué)生在做每道題時(shí)都是隨機(jī)的選擇，生在做每道題時(shí)都是隨機(jī)的選擇，X表示該學(xué)生十表示該學(xué)生十道題中答對的題數(shù)，則道題中答對的題數(shù)，則X服從服從n=10,p=1/4(每道題答每道題答對的概率）的二項(xiàng)分布。該學(xué)生得零分的概率為對的概率）的二項(xiàng)分布。該學(xué)生得零分的概率為 056.043)0(10 XP課程釋疑2第二章隨機(jī)變量問問2.4：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為 所求的分布函數(shù)為所求的分布函數(shù)為 X-1 0 1概率概率 問這樣的求法正確嗎？錯(cuò)在哪里？問這樣的求法正確嗎？錯(cuò)在哪里？ 1100114/14/12/10)( xxxxxF課程釋

6、疑2第二章隨機(jī)變量答：答：這樣的求法不正確，首先該弄清楚分布函數(shù)的定這樣的求法不正確，首先該弄清楚分布函數(shù)的定義即義即F(x)=P(Xx)，F(xiàn)(x)表示事件表示事件Xx的概率，因此的概率，因此當(dāng)當(dāng)0 x1時(shí)，概率時(shí)，概率P(X x )=P(X=1)+P(X=0)=1/2+1/4=3/4，當(dāng)，當(dāng)x 1時(shí)，時(shí)，事件事件X x為必然事件，因此，它也可用為必然事件，因此，它也可用 P(X x )=1 它也可用它也可用P(X x )=P(X=1)+P(X=0)P(X=1)=1/2+1/4+1/4=1求得。綜合后正確的分布函數(shù)為求得。綜合后正確的分布函數(shù)為 11001114/32/10)( xxxxxF課

7、程釋疑2第二章隨機(jī)變量問問2.5： 正態(tài)分布有哪些特點(diǎn)？什么是正態(tài)分布有哪些特點(diǎn)？什么是“3”原則？原則？ 答：設(shè)答：設(shè) ，即密度函數(shù)，即密度函數(shù) 從從f(x)的圖中可看到的圖中可看到f(x)關(guān)于關(guān)于對稱，當(dāng)對稱，當(dāng)x = 時(shí)，時(shí)，f(x)取最大值取最大值 ，而這個(gè)值隨，而這個(gè)值隨增大而減少，增大而減少，事實(shí)上在數(shù)字特征這一章中可知事實(shí)上在數(shù)字特征這一章中可知為為X的均值，的均值，為為X的標(biāo)準(zhǔn)差，因此正態(tài)分布描述這樣一種隨機(jī)變量，的標(biāo)準(zhǔn)差，因此正態(tài)分布描述這樣一種隨機(jī)變量，它取的值關(guān)于它取的值關(guān)于對稱，且取在平均值對稱，且取在平均值附近范圍的可附近范圍的可能性較大，取遠(yuǎn)離能性較大，取遠(yuǎn)離處的范

8、圍內(nèi)的可能性較小。服處的范圍內(nèi)的可能性較小。服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的取值可能性大小直觀上可從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的取值可能性大小直觀上可用用“兩頭小，中間大兩頭小，中間大”來形容。自然界中很多隨機(jī)來形容。自然界中很多隨機(jī)現(xiàn)象都有這一特點(diǎn)，因此正態(tài)分布在概率論中占有現(xiàn)象都有這一特點(diǎn)，因此正態(tài)分布在概率論中占有很重要的地位。很重要的地位。 ),(2 NX xexfX,21)(222)( 2/1課程釋疑2第二章隨機(jī)變量所謂所謂“3”原則原則是比較定量地說明正態(tài)分布的是比較定量地說明正態(tài)分布的“兩兩頭小，中間大頭小，中間大”的特點(diǎn)，具體為的特點(diǎn)，具體為 從以上計(jì)算中可看到服從正態(tài)分布從以上計(jì)算中可看到服

9、從正態(tài)分布 的隨的隨機(jī)變量機(jī)變量X取在取在3的范圍內(nèi)的概率幾乎達(dá)到的范圍內(nèi)的概率幾乎達(dá)到1. 這就這就是是“3”原則。原則。 ),(2 NX9974.019987.021)3(2)3()3(33)33()3( XPXP課程釋疑2第二章隨機(jī)變量這樣的計(jì)算是否正確，錯(cuò)在哪里？這樣的計(jì)算是否正確，錯(cuò)在哪里？ 問問2.6：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為則則X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 其其他他1002)( xxxf1100001100020)(200 xxxxxxxdxxdxxFxx課程釋疑2第二章隨機(jī)變量的形式依賴于變上限的形式依賴于變上限x.具體表現(xiàn)為當(dāng)具體表現(xiàn)為當(dāng)x0時(shí)

10、，時(shí)，答：答：這樣的計(jì)算是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)檫@樣的計(jì)算是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)閒(x)是一個(gè)分是一個(gè)分段函數(shù)，分布函數(shù)段函數(shù)，分布函數(shù) 中的被積函數(shù)中的被積函數(shù),當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，,當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，綜合有綜合有 xdttfxF)()(00)(0 dtxF10 x20020)()(xtdtdtdttfxFxx 1 x1020)()(1100 xxdttdtdtdttfxF110000)(2 xxxxxF課程釋疑2第二章隨機(jī)變量這里這里 是一單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)是一單調(diào)可導(dǎo)函數(shù), 是是 的反函數(shù)。的反函數(shù)。問問2.7: 對于連續(xù)型隨機(jī)變量對于連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為什么是的密度函數(shù)為什么是)(, )(XgYxfXx )()()(yhyhfyfXY )( xgy )( xgy )(yhx ,答答:為了說明這個(gè)結(jié)果為了說明這個(gè)結(jié)果,我們先給出我們先給出Y的分布函數(shù)的分布函數(shù) )()()(yXgPyYPyFY 當(dāng)當(dāng)g(x)為單調(diào)增加函數(shù)時(shí)為單調(diào)增加函數(shù)時(shí),可得可得 ,且且0)( yh課程釋疑2第二章隨機(jī)變量 此時(shí)此時(shí)當(dāng)當(dāng)g(x)為單調(diào)遞減函數(shù)時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)時(shí),可得可得 , 且且 即即 在使用這條性質(zhì)時(shí)在使用這條