電磁波第四章作業(yè)題解答

1、第四章 恒定電流的磁場 作業(yè)題解答4-1求如圖所示各種形狀的線電流I在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁通密度矢量（假設(shè)介質(zhì)為真空）。解 （1）首先計(jì)算半徑為a的通電圓形電流回路在軸線上任一點(diǎn)的磁通密度矢量。選取柱坐標(biāo)系，電流回路放置于XY平面，軸線與Z軸重合，如圖41（a）所示。根據(jù)比奧莎伐爾定律，線電流分布圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)的磁通密度矢量為 題4-1圖（a）由圖可知 代入積分式，有 又 則積分 所以 當(dāng)z=0時(shí)，圓環(huán)電流中心處P點(diǎn)的磁通密度矢量為 （2）對于如圖41（b）所示的電流回路，可分三個(gè)部分進(jìn)行計(jì)算：左邊半無限長電流線、半圓環(huán)電流線和右半無限長電流線。對于兩半無限長電流線，有題4-1（b）圖 由比奧莎伐爾

2、定律 可知，兩半無限長電流線在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁通密度矢量B為零。 對于半圓環(huán)電流線，由（1）有得到第一項(xiàng)積分為 而第二項(xiàng)積分為題41（c）圖 所以，當(dāng)z=0時(shí)，圓環(huán)中心處P點(diǎn)的磁通密度矢量為 （3）對于如圖41（c）所示的電流回路，也可分三個(gè)部分進(jìn)行計(jì)算，左邊兩半無限長電流線和右半圓環(huán)電流線。對于兩半無限長電流線，有 由比奧莎伐爾定律 可知，兩半無限長電流線在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁通密度矢量B為可見上、下兩半無限長電流線在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁通密度矢量大小相等、方向相同。由積分公式可得半圓環(huán)電流的磁場與（2）相同，即則整個(gè)電流回路在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁通密度矢量為題4-2圖4-2真空中載流長直導(dǎo)線旁有一等邊三角形回路，如圖

3、所示，求通過三角形回路的磁通量。 解 在柱坐標(biāo)系下無限長載流導(dǎo)線周圍的磁通密度矢量為 則通過三角形回路的磁通量為 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)斜式得到AB和AC邊的直線方程分別為 又 4-6（文獻(xiàn)11、P122）已知某電流在空間產(chǎn)生的磁矢位是 求磁通密度矢量B。解 根據(jù)磁通密度矢量與矢量磁位之間的關(guān)系 有 題4-8圖4-8邊長為a和b的小矩形回路，通有電流I，如圖所示。求遠(yuǎn)處一點(diǎn)P(x, y, z)的磁矢位。解 根據(jù)線電流分布的矢量磁位表達(dá)式 可把閉合電流回路分為四段：、和，分別計(jì)算四段線電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位，然后進(jìn)行矢量疊加。對于段，有 同理，有 因此，P點(diǎn)的矢量磁位為 對上式中被積

4、函數(shù)兩項(xiàng)進(jìn)行有理化，有在近似條件下，得到 由于，略去該項(xiàng)，有 由柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)的關(guān)系式 代入得到 又由柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)單位矢量之間的變換關(guān)系 最后得到 4-11一個(gè)電流為I1的長直導(dǎo)線和一個(gè)電流為I2的圓環(huán)在同一平面上，圓心與導(dǎo)線的距離為d，證明兩電流間相互作用的安培力為題4-11圖 解 如圖所示，可寫出無限長載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁通密度矢量為利用安培定律 可知，圓環(huán)上關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)A和A，由于相同，力和在垂直方向的分力大小相等，方向相反。同樣，對稱點(diǎn)B、B，由于由于相同，力和在垂直方向的分力大小相等，方向相反。所以，在垂直方向，兩電流線間的作用力為零。但是，因?yàn)锳、A和B、B點(diǎn)的不同，因而在

5、水平X方向的力不為零。由圖可知 積分，有 查積分表 得到 又 則 負(fù)號表示力的方向沿負(fù)X方向。4-12在XY平面上沿+X方向有均勻面電流JS，如圖所示。如果將XY平面視為無窮大，求空間任一點(diǎn)的磁場強(qiáng)度矢量H。題4-12圖解 將面電流JS看成是通電流的無限長細(xì)導(dǎo)線排列而成，如圖所示。由比奧莎伐爾定律知，無限長通電導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場沒有X分量。另外，在X方向兩個(gè)對稱線電流產(chǎn)生的磁場在空間點(diǎn)疊加，磁場的Z分量相互抵消。因此，在XY平面內(nèi)沿X方向的面電流產(chǎn)生的磁場僅有Y分量，且XY面上、下兩側(cè)的磁場是大小相等，而方向相反。取如圖所示垂直于XY面的矩形閉合回路，根據(jù)安培環(huán)路定律，有則 寫成矢量形式，有 題4

6、-15圖4-15如圖所示，求長為l的兩條傳輸線的自感（）。解 無限長載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場具有柱對稱性，選取如圖所示坐標(biāo)系，可寫出兩無限長載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場為兩傳輸線間平面上的磁場方向相同，有則穿過兩導(dǎo)線間長為l的平面上的磁通為由于，取近似，有因此，兩傳輸線單位長度的自感為4-20均勻電流密度（A/m2）產(chǎn)生的磁矢量位為 （1）應(yīng)用矢量泊松方程驗(yàn)證此結(jié)論；（2）利用A的表達(dá)式求H；（3）應(yīng)用J的表達(dá)式以及安培定律求H。解 （1）由題可知，矢量磁位僅有Z分量，即且Az與z無關(guān)，則矢量泊松方程的分量方程為將Az代入得到而題4-20圖顯然，Az滿足泊松方程，結(jié)論成立。（2）根據(jù)矢量磁位與磁通密度矢量的關(guān)系和有 （3）由題知，電流均勻分布且僅有Z分量，因此，磁場分布具有柱對稱性，