九類常見遞推數(shù)列求通項公式方法[1]

1、遞推數(shù)列通項求解方法舉隅類型一：（）思路1（遞推法）：。思路2（構造法）：設，即得，數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，則，即。例1 已知數(shù)列滿足且，求數(shù)列的通項公式。解：方法1（遞推法）：。方法2（構造法）：設，即，數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，則，即。類型二： 思路1（遞推法）：。思路2（疊加法）：，依次類推有：、，將各式疊加并整理得，即。例2 已知，求。解：方法1（遞推法）：。方法2（疊加法）：，依次類推有：、，將各式疊加并整理得，。類型三： 思路1（遞推法）：。思路2（疊乘法）：，依次類推有：、，將各式疊乘并整理得，即。例3 已知，求。解：方法1（遞推法）：。方法2（疊乘法）：，依次

2、類推有：、，將各式疊乘并整理得，即。類型四： 思路（特征根法）：為了方便，我們先假定、。遞推式對應的特征方程為，當特征方程有兩個相等實根時， (、為待定系數(shù)，可利用、求得；當特征方程有兩個不等實根時、時，(、為待定系數(shù)，可利用、求得；當特征方程的根為虛根時數(shù)列的通項與上同理，此處暫不作討論。例4 已知、,求。解：遞推式對應的特征方程為即，解得、。設，而、，即，解得，即。類型五： （）思路（構造法）：，設，則，從而解得。那么是以為首項，為公比的等比數(shù)列。例5 已知，求。解：設，則，解得，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即，。類型六： （且）思路（轉化法）：，遞推式兩邊同時除以得，我們令，那么問題就

3、可以轉化為類型二進行求解了。例6 已知，求。解：，式子兩邊同時除以得，令，則，依此類推有、，各式疊加得，即。類型七： （）思路（轉化法）：對遞推式兩邊取對數(shù)得，我們令，這樣一來，問題就可以轉化成類型一進行求解了。例7 已知，求。解：對遞推式左右兩邊分別取對數(shù)得，令，則，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即，因而得。類型八：（）思路（轉化法）：對遞推式兩邊取倒數(shù)得，那么，令，這樣，問題就可以轉化為類型一進行求解了。例8 已知，求。解：對遞推式左右兩邊取倒數(shù)得即，令則。設，即，數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，則，即，。類型九： （、）思路（特征根法）：遞推式對應的特征方程為即。當特征方程有兩個

4、相等實根時，數(shù)列即為等差數(shù)列，我們可設（為待定系數(shù)，可利用、求得）；當特征方程有兩個不等實根、時，數(shù)列是以為首項的等比數(shù)列，我們可設（為待定系數(shù)，可利用已知其值的項間接求得）；當特征方程的根為虛根時數(shù)列通項的討論方法與上同理，此處暫不作討論。例9 已知， （），求。解：當時，遞推式對應的特征方程為即，解得、。數(shù)列是以為首項的等比數(shù)列，設，由得則，即，從而，。寒假專題常見遞推數(shù)列通項公式的求法重、難點：1. 重點：遞推關系的幾種形式。2. 難點：靈活應用求通項公式的方法解題。【典型例題】例1 型。（1）時，是等差數(shù)列，（2）時，設 比較系數(shù)： 是等比數(shù)列，公比為，首項為 例2 型。（1）時，若可

5、求和，則可用累加消項的方法。例：已知滿足，求的通項公式。解： 對這（）個式子求和得： （2）時，當則可設 解得：， 是以為首項，為公比的等比數(shù)列 將A、B代入即可（3）（0，1）等式兩邊同時除以得令 則 可歸為型例3 型。（1）若是常數(shù)時，可歸為等比數(shù)列。（2）若可求積，可用累積約項的方法化簡求通項。例：已知：，（）求數(shù)列的通項。解： 例4 型。考慮函數(shù)倒數(shù)關系有 令 則可歸為型。練習：1. 已知滿足，求通項公式。解：設 是以4為首項，2為公比為等比數(shù)列 2. 已知的首項，（）求通項公式。解： 3. 已知中，且求數(shù)列通項公式。解： 4. 數(shù)列中，求的通項。解： 設       5. 已知：，時，求的通項公式。解：設 解得： 是以3為首項，為公比的等比數(shù)列 【模擬試題】1. 已知中，求。2. 已知中，（）求。3. 已知中，（）求。4. 已知中，（）求。5. 已知中，其前項和與滿足（）（1）求證：為等差數(shù)列 （2）求的通項公式6. 已知在正整數(shù)數(shù)列中，前項和滿足（1）求證：是等差數(shù)列 （2）若求的前n項和的最小值1. 解：由，得 2. 解：由得： 即是等比數(shù)列 3. 解：由得 成等差數(shù)列， 4. 解： （） （）設即 是等差